2020-2021学年安徽省淮南市某校高一（上）2月入学考试数学试卷

这是一份2020-2021学年安徽省淮南市某校高一（上）2月入学考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A={1, 2, 6}，B={2, 4}，C={x∈R|−1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=( )
A.{2}B.{1, 2, 4}
C.{1, 2, 4, 6}D.{x∈R|−1≤x≤5}

2. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3. 函数f(x)=x−2+1x−3的定义域是( )
A.[2, +∞)B.(3, +∞)
C.[2, 3)∪(3, +∞)D.(2, 3)∪(3, +∞)

4. 若不等式组x−1>a2,x−4<2a,的解集非空，则实数a的取值范围是（ ）
A.−13C.−31

5. 函数y=4xx2+1的图象大致为( )
A.B.
C.D.

6. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数，令a=f1，b=f2−0.3，c=f−20.3，则（ ）
A.b
7. 函数y=sin (2x+π3)的图象可由函数y=csx的图象（ ）
A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π6个单位
B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位
C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位
D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位

8. 设f(x)=ex−1,x<3lg3(x−2),x≥3, 则f(f(11))的值是( )
A.eB.1C.e2D.e−1

9. 3sinπ12+csπ12的值为（ ）
A.0B.1C.2D.3

10. 已知函数fx=sin4x−32πx∈R，下面结论错误的是（ ）
A.函数fx的最小正周期为π2
B.函数fx在区间0,π16上是增函数
C.函数fx的图象关于直线x=π4对称
D.函数fx是偶函数

11. 已知定义在a−1,2a上的偶函数fx，且当x∈0,2a时， fx单调递减，则关于x的不等式fx−1>f2x−3a的解集是（ ）
A.0,23B.16,56C.13,23D.23,56

12. 已知函数fx=x+lg39x+1，则使得fx2−x+1−1A.0,22B.−∞,0∪1,+∞
C.0,1D.−∞,1
二、填空题

不等式−3x2+x+2>0的解集为________.

已知函数fx=m2−m−1xm是幂函数，且fx在0,+∞上单调递增，则实数m=________.

已知125x=12.5y=1000，则y−xxy=________.

函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π)）的部分图象如图所示，则f2020=_________.

三、解答题

已知集合A=x|x2−3x<0，B=x|x+24−x≥0，C=x|a(1)求A∩B；

(2)若B∪C=B，求实数a的取值范围．

已知sinα−csα=12，且α∈0,π.
(1)求csα；

(2)求 sinα+π4sin2α+cs2α+1的值．

设函数f(x)=ax2+(b−2)x+3(a≠0)．
(1)若不等式f(x)>0的解集(−1, 1)，求a，b的值；

(2)若f(1)=2，
①a>0，b>0，求1a+4b的最小值；
②若f(x)>1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

如图，已知OPO是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，当x变化时，矩形ABCD的面积随之变化，记矩形ABCD的面积为fx.

(1)求矩形ABCD面积fx的表达式；

(2)当角x为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

已知实数a>0，定义域为R的函数f(x)=exa+aex是偶函数，其中e为自然对数的底数．

(1)求实数a值；

(2)判断该函数f(x)在(0, +∞)上的单调性并用定义证明；

(3)是否存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f(t−2)
已知点A(x1, f(x1))，B(x2, f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, −π2<φ<0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1, −3)，若|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π3.
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若方程3[f(x)]2−f(x)+m=0在x∈(π9, 4π9)内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省淮南市某校高一（上）2月入学考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【解析】
由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．
2.
【答案】
A
【解析】
由不等式解得a的范围，根据充分条件和必要条件的定义，即可判断得出结论.
3.
【答案】
C
【解析】
由函数解析式列出关于不等式组x−2≥0x−3≠0 ，求出它的解集就是所求函数的定义域．
4.
【答案】
A
【解析】
由题意得到1+a2<4+2a，求解即可.
5.
【答案】
A
【解析】
根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断.
6.
【答案】
A
【解析】
利用函数的奇偶性，单调性，以及指数函数的性质求解即可.
7.
【答案】
B
【解析】
利用诱导公式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
8.
【答案】
A
【解析】
根据题意，由函数的解析式求出f(11)的值，进而计算可得答案．
9.
【答案】
C
【解析】
利用辅助角公式求解即可.
10.
【答案】
B
【解析】

11.
【答案】
D
【解析】

12.
【答案】
C
【解析】

二、填空题
【答案】
x−23【解析】
本题考查了一元二次不等式的解法，首先将不等式化为二次项 系数大于0的情况，再求方程的根，进而得不等式的解集．
【答案】
2
【解析】
利用幂函数的定义得到m2−m−1=1，利用函数的单调性得到m>0，求解即可.
【答案】
13
【解析】
先求出x，y，再利用对数的运算求解即可.
【答案】
−22
【解析】
由函数的周期求出ω，利用函数的最值求出φ，得到函数的解析式，代入即可求解.
三、解答题
【答案】
解：(1)由x2−3x=xx−3<0解得0所以A=0,3；
由x+24−x≥0解得−2≤x≤4，
所以B=−2,4，
所以A∩B=0,3 .
(2)由(1)得B=−2,4，
由于B∪C=B，所以C⊆B，
而C=x|a所以a≥−2，a+1≤4，解得−2≤a≤3，
所以a的取值范围是−2,3 .
【解析】
（1）由x2−3x=xx−3<0解得0（2）由（1）得B=−2,4，由于B∪C=B，所以C⊆B，而C=x|a所以a≥−2a+1≥4，解得−2≤a≤3，所以a的取值范围是−2,3 .
【答案】
解：(1)∵ sinα−csα=12，
∴ 可得：sinα=csα+12．
∵ sin2α+cs2α=1，
∴ csα+122+cs2α=1，
可得：8cs2α+4csα−3=0，
∴ csα=−1±74.
∵ α∈0,π，csα=sinα−12∈−12,12，
∴ csα=7−14 .
(2)∵ csα=7−14，sinα=7+14 ，
∴ sin2α=2sinαcsα=34，
cs2α=2cs2α−1=−74，
∴ sinα+π4sin2α+cs2α+1=22sinα+csαsin2α+cs2α+1
=1447−74=14+26 .
【解析】
（1）∵ sinα−csα=12，∴ 可得：sinα=csα+12．∵ sin2α+cs2α=1，∴ csα+122+cs2α=1，可得：8cs2α+4csα−3=0．∴ csα=−1±74，∵ α∈0,π，csα=sinα−12∈−12,12，∴ csα=7−14 .
（2）∵ csα=7−14,sinα=7+14 .
∴ sin2α=2sinαcsα=34，cs2α=2cs2α−1=−74，
∴ sinα+π4sin2α+cs2α+1=22sinα+csαsin2α+cs2α+1=1447−74=14+26 .
【答案】
解：(1)由f(x)>0的解集是(−1, 1)知−1，1是方程f(x)=0的两根，
由根与系数的关系可得−1×1=3a,−1+1=−b−2a,
解得a=−3,b=2.
(2)由f(1)=2得a+b=1，
①a>0，b>0，
∴ 1a+4b=(1a+4b)(a+b)
=ba+4ab+5≥2ba⋅4ab+5=9，
当且仅当b=2a，即a=13,b=23时取等号，
∴ 1a+4b的最小值是9．
②不等式f(x)>1在R上恒成立，则ax2+(b−2)x+3>1在R上恒成立，
即ax2−(a+1)x+2>0恒成立，
∴ a>0,(a+1)2−8a<0,
解得3−22∴ 实数a的取值范围是(3−22,3+22)．
【解析】
（1）由不等式f(x)>0的解集得出方程f(x)＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值；
（2）①由f(1)＝2得a+b的值，将所求变形，利用基本不等式求出最小值；
②不等式恒成立化为ax2−(a+1)x+2>0恒成立，利用判别式△<0求出a的取值范围．
【答案】
解：(1)在Rt△OBC中，OB=csx，BC=sinx .
在Rt△OAD中，DAOA=tan60∘=3，
所以OA=33DA=33BC=33sinx，
所以AB=OB−OA=csx−33sinx .
因而矩形ABCD的面积fx=AB⋅BC=csx−33sinxsinx．
其定义域为0,π3 .
(2)因为fx=csx−33sinxsinx
=sinxcsx−33sin2x
=12sin2x−361−cs2x
=12sin2x+36cs2x−36
=1332sin2x+12cs2x−36
=13sin2x+π6−36 .
由0所以0=13⋅12−36<13⋅sin2x+π6−36
≤13−36=36，
即函数fx值域是0,36 .
故面积的最大值为36.
【解析】


【答案】
解：(1)定义域为R的函数f(x)=exa+aex是偶函数，
则f(−x)=f(x)恒成立，
即e−xa+ae−x=exa+aex，
故(1a−a)(ex−e−x)=0恒成立，
因为ex−e−x不可能恒为0，
所以当1a−a=0时，f(−x)=f(x)恒成立，
而a>0，
所以a=1.
(2)该函数f(x)=ex+1ex在(0, +∞)上递增，证明如下：
设任意x1，x2∈(0, +∞)，且x1f(x1)−f(x2)=(ex1+1ex1)−(ex2+1ex2)
=(ex1−ex2)+(1ex1−1ex2)
=(ex1−ex2)+ex2−ex1ex1ex2
=(ex1−ex2)(ex1ex2−1)ex1ex2，
因为0所以ex11,ex2>1，
所以(ex1−ex2)(ex1ex2−1)ex1ex2<0，
即f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)故函数f(x)=ex+1ex在(0, +∞)上递增．
(3)由(2)知函数f(x)在(0, +∞)上递增，
而函数f(x)是偶函数，
则函数f(x)在(−∞, 0)上递减．
若存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f(t−2)则|t−2|<|2t−m|恒成立，即|t−2|2<|2t−m|2，
即3t2−(4m−4)t+m2−4>0对任意的t∈R恒成立，
则Δ=(4m−4)2−12(m2−4)<0，
得到(m−4)2<0，m∈⌀，
所以不存在．
【解析】
(Ⅰ)由偶函数的定义得到关于x恒成立的表达式进而求解；
(Ⅱ)根据函数单调性的定义，对函数值作差，将其分子分母化成因式乘积的形式，判断每一个因式的正负即可；
(Ⅲ)根据函数的单调性和奇偶性，将函数符号f去掉，得到关于t的不等式，由恒成立问题求解即可．
【答案】
解：(1)角φ的终边经过点P(1, −3)，tanφ=−3.
∵ −π2<φ<0，
∴ φ=−π3．
由|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π3，
得T=2π3，即2πω=2π3，
∴ ω=3，
∴ f(x)=2sin(3x−π3).
(2)∵ x∈(π9, 4π9)，
∴ 3x−π3∈(0, π)，
∴ 0<2sin(3x−π3)≤2．
设f(x)=t，则问题等价于方程3t2−t+m=0在(0, 2)仅有一根或有两个相等的根．
①当方程3t2−t+m=0在(0, 2)有两个相等的根时Δ=0，
即(−1)2−4×3m=0，解得m=112；
②当方程3t2−t+m=0在(0, 2)仅有一根时，
3×(16)2−16+m<0，3×22−2+m>0,m≤0,
解得−10综上，m的取值范围是：−10【解析】
(1)由题意，先求tanφ=−3，根据φ的范围，可求φ的值，再求出函数的周期，再利用周期公式求出ω的值，从而可求函数解析式．
(2)由x∈(π9, 4π9)，可得0

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