6.2 等比数列（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份6.2 等比数列（精讲+精练+原卷+解析），共34页。

1．（2021·金昌市第一中学）等差数列的首项为，公差不为，若、、成等比数列，则前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的公差为，则，
由于、、成等比数列，则，即，可得，
，解得，因此，数列的前项和为.故选：B.
2．（2021·广西崇左市）已知等比数列的公比为3，且，则的值为（ ）
A．2B．6C．D．12
【答案】B
【解析】．故选：B.
3．（2021·全国课时练习）已知中，，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为中，，,所以数列是首项为,公比的等比数列,
设通项公式为: ,所以.故选:C
4．（2021·全国课时练习）等比数列2，4，8，…的公比为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【解析】由已知2，4，8，…为等比数列，则公比.故选：C.
5．（2021·河南信阳市）已知正项数列满足，的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由,得，又为正项数列，所以，所以数列是等比数列，且公比，设首项为，则，，则.故选：A.
6．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））正项等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【解析】因为，，
解得或（舍去）故选：A
7．（2021·四川成都市）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等比数列公比为，
若，则，不合题意，；
，；
，，解得：，
，解得：.故选：C.
8．（2021·广东汕头市·高三一模）在正项等比数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，由题意可知，对任意的，，，
由等比中项的性质可得，解得，
所以，，整理可得，
，解得，因此，.故选：A.
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则___.
【答案】
【解析】设等比数列的公比，则，则，即，
，则，，解得.
因此，.
故答案为：.
10．（2021·重庆高三）已知等比数列的前项和为，，，则___________.
【答案】
【解析】等比数列的前项和为，，，
，解得，．故答案为：．
【题组二 等比数列的性质】
1．（2021·广东高三专题练习）已知正项等比数列{an}，满足a2•a72•a2020＝16，则a1•a2…•a1017＝（ ）
A．41017B．21017C．41018D．21018
【答案】B
【解析】在正项等比数列{an}中， a2•a72•a2020＝16，
因为，所以，即 ，所以，
所以，故选：B．
2．（2021·河南濮阳市·高三一模（文））已知公比大于1的等比数列满足，，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【解析】由等比数列的性质知，解得，所以.故选：C
3．（2021·广西河池市）在等比数列中，若，则（ ）
A．B．3C．或2D．4
【答案】C
【解析】由等比数列的性质有，可得.故选：C
4．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ）
A．B．1010C．D．1011
【答案】C
【解析】由题得，
根据等比数列性质知：，于是，
则，故选：C
5．（2021·全国高三月考（文））已知正项等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
从而可得，
所以，
所以.
故选：B.
6．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））在递增的数列中，，若，且前项和，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】因为在递增的数列中，，所以数列是单调递增的等比数列，
因为，所以，
所以，解得 或(舍)，
所以，即，————①
又因为，即，———————②
①②联立，解得，.
故选：B.
7．（2021·山东日照市·高三二模）已知数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因为数列是等比数列，设公比为，
由得，即，即，
由等比数列的性质可得，.故选：A
8．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知命题成等比数列，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当成等比数列，能推出，
而不能推出成等比数列，如：，满足，但不成等比数列，
所以是的充分不必要条件，故选：A．
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于是等比数列，所以也成等比数列，
其中，所以，
所以.故选：A
10．（2021·湖北荆州市）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】是等比数列，也称等比数列，
，设，
则，，则，
.
故选：D.
11．（2021·天津南开中学高三三模）“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，，成等比数列，则，
此时，则，，成等比数列，即充分性成立，
反之当，，时满足，，成等比数列，但，，不成等比数列，即必要性不成立，
即“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，
故选：A.
12．（多选）（2021·全国高三专题练习）(多选)在正项等比数列{an}中，已知，，则（ ）
A．B．
C．D．n＝14
【答案】BD
【解析】设数列的公比为q，
由，可得，
又由，所以A、C不正确；
因为，可得，
所以，解得，所以B、D正确.
故选：BD.
13．（2021·全国高三月考（理））已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
14．（2021·全国高三专题练习）已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7＝________.
【答案】21
【解析】因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，
令m＝1，则a1·an＝a1＋n对任意的n∈N*恒成立，
∴数列{an}为等比数列，公比为a1，
由等比数列的性质有a3a5＝，因为a3·a5＋a4＝72，则＋a4＝72，
∵a4＞0，∴a4＝8，
∴lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7
＝lg2(a1·a2·…·a7)＝lg2＝lg287＝21.
故答案为：21．
15．（2021·全国专题练习）公差不为零的等差数列{an}中，，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
【答案】16
【解析】∵数列{an}为等差数列，
∴，
解得或，
又b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.
∴
故答案为：16
16．（2021·全国高二课时练习）已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.
【答案】
【解析】因为是的等差中项，所以，
因为是，的等比中项，所以，
，所以.故答案为：.
【题组三 等比数列的证明或判断】
1．（2021·全国专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
【答案】D
【解析】对于A、B、C： 当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误；
对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确，故选：D
2．（2021·全国单元测试）已知数列是等比数列，则下列数列中：①；②；③，等比数列的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】设的公比为，则，，故、均为等比数列.
取，，则，
此时，，故不是等比数列，故选：C.
3．（多选）（2021·全国课时练习）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为数列是公比为的等比数列,则,
对于选项A,,因为不是常数,故A错误；
对于选项B,,因为为常数,故B正确；
对于选项C,,因为为常数,故C正确；
对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.
故答案为:BC
4．（2021·广德市实验中学高三月考（理））已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A．、、成等比数列B．、、成等比数列
C．、、成等比数列D．、、成等比数列
【答案】C
【解析】由条件得，，即．故选：C.
5．（2021·全国专题练习）已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】D
【解析】因为不全相等的实数，，成等比数列，
所以该等比数列的公比，显然有，，
A：若，，成等差数列，显然成立，即，
化简为，解得，或（舍去），所以假设成立，故，，有可能是等差数列；
B：若，，成等差数列，显然成立，即，
化简为：，解得：，显然或，所以假设成立，故，，有可能成等差数列；
C：若，，成等差数列，显然，即，
化简为：，解得，因为，所以，因此假设成立，
故，，有可能 成等差数列；
D：若，，成等差数列，显然，即，
化简为：，解得，而，因此假设不成立，故，，一定不可能成等差数列，
故选：D
6．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
【答案】证明见解析，；
【解析】证明：∵，，∴，，又，
∴，故数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，故.
7．（2021·湖南岳阳市·高三一模）已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：
【答案】证明见解析；
【解析】由点在函数的图象上，
可得，
所以，即，
也即，
由，所以，
所以是首项和公比均为的等比数列，
则，
所以；
【题组四 实际生活中的等比数列】
1．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2B．2.4C．2.6D．2.8
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，
则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以第天后大老鼠打洞的总进度为，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以第天后小老鼠打洞的总进度为，
则由题可得，整理可得，
解得或，即（舍去）或，
.
故选：C.
2．（2021·全国高三专题练习）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解析】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．
3．（2021·湖南）《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（ ）
A．96B．126C．192D．252
【答案】C
【解析】由题意得，该人每天走的路程形成以为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有,
解得，
所以该人第1天所走路程里数为192，
故选：C
4．（2021·全国高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得
解得：或(舍)
故选：C
5．（2020·江西高三期中（文））中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】斗升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为
故选：D
6．（2021·海南高三专题练习）我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）.
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【解析】由题意可知：数列是以为首项，为公比的等比数列，，
若，则，即，，
又，，，
使得不等式成立的正整数的最小值为.
故选：B.
7．（2021·河北石家庄市）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243B．248C．363D．1092
【答案】D
【解析】记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，
由题意，即，所以，
总人数为人.
故选：D．
8．（2021·江苏南通市·海安高级中学高三月考）有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（ ）
A．35B．75C．155D．315
【答案】C
【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，
所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.
9．（多选）（2021·福建三明市·高三其他模拟）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BD
【解析】由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，
记该等比数列为，公比为，前项和为，
则，解得，
所以此人第三天走的路程为，故A错；
此人第一天走的路程比后五天走的路程多里，故B正确；
此人第二天走的路程为，故C错；
此人前三天走的路程为，后三天走的路程为，，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正确；
故选：BD.
【题组五 等比数列的最值】
1．（2021·陕西西安市）在等比数列{an}中，且a8＞a9，则使得的自然数n的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【解析】因为，即，所以，
又因为，所以数列为单调递减，
因为，
所以，所以.又因为为整数，故.故选：C
2．（2021·安徽芜湖市·高三二模（理））已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递减数列
C．数列有最小项D．数列有最大项
【答案】C
【解析】因为无穷等比数列满足，所以，即，
由，所以，又，所以
所以
当时，，递减，单调递增，所以有最小项；
当时，，不具有单调性，不单调，但，，，且，所以有最小项；
故选：C
3．（多选）（2021·全国高三专题练习）已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（ ）
A．a9•a10＜0B．a9＞a10C．b10＞0D．b9＞b10
【答案】AD
【解析】数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则，，∴a9•a10＝＜0，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；
由a9＞b9且a10＞b10，则＞12+8d，＞12+9d，
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D正确.
故选：AD.
4．（多选）（2021·广东东莞市）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【答案】ACD
【解析】由可得与异号，
或，
又，且，可得与同号，即，
且一个大于，一个小于，
若，则，不符合题意；
若，则，为递减数列，
满足，故A正确；
对于B选项，由于，数列为正项递减数列，
，所以，，故B选项错误；
对于C选项，由上可知，正项数列前项都大于，
而从第项起都小于，所以，是数列中的最大值，故C选项正确；
对于D选项，，
D选项正确.
故选：ACD.