![2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]01](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/12286897/0/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]02](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/12286897/0/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]03](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/12286897/0/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]04](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/12286897/0/3.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]05](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/12286897/0/4.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]06](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/12286897/0/5.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]07](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/12286897/0/6.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]08](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/12286897/0/7.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
还剩52页未读，
继续阅读
2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]
展开
这是一份2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题七 二次函数综合题 [Repaired]，共60页。PPT课件主要包含了专题训练，直线x＝1，0－2，－2＜x＜1，y＝x2＋x－2，PA＝PM，线段垂直平分线上，抛物线，-2-2，4-5等内容，欢迎下载使用。
专题七 二次函数综合题 （近9年每年1道解答题）
类型1 与函数性质有关的探究题（9年3考：2020、2015、2012）
例1（2020江西22题9分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0） 的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；（2）求抛物线的表达式及m，n的值；（3）请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′， 描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是 哪种曲线？（4）设直线y＝m（m＞－2）与抛物线及（3）中的点P′所在曲线都有两个交点， 交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2， A3A4之间的数量关系 ．
A3A4－A1A2＝1
【小试牛刀】已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
观察表格，回答下列问题：（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝ ，顶点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ， 抛物线开口 ；（2）当y随x的增大而增大时，自变量的取值范围是x≥ ；（3）当y＜0时，x的取值范围是 ；（4）二次函数的表达式是 ．
（1，0），（－2，0）
【自主解答】解：（1）上，直线x＝1；（2）把（－1，0），（0，－3），（2，－3）代入y＝ax2＋bx＋c，得 ，解得 ，∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，当x＝－2时，m＝4＋4－3＝5；当x＝1时，n＝1－2－3＝－4；
（3）画出抛物线如解图①，描出点P′的轨迹，是一条抛物线；（4）如解图②，A3A4－A1A2＝1.
1.（原创推荐）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐 标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式，并在图中画出此二次函数的图象；
（2）设直线y＝m（m<2）与此二次函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于 点C，分别取AC，BC的中点M，N，请在图中画出M，N所在的函数图象；（3）设直线y＝n（n<－ ）与抛物线 （a<0）的图象 相交于A，B两点，与y轴相交于点C，M，N分别为AC，BC的中点，则M， N所在的函数图象的表达式为 （用含 a，x1，x2的式子表示）．
解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋3）（x－1），∵二次函数的图象经过点（－1，2），∴－4a＝2，∴a＝－ ，∴y＝－ （x＋3）（x－1）＝－ x2－x＋ .描点、连线，画出函数图象如解图；（2）M，N所在函数图象如解图．（3） .
2. 抛物线C1：y1＝a1x2＋b1x＋c与抛物线C2：y2＝a2x2＋b2x＋c中，若 ，则 称抛物线C1，C2为“窗帘”抛物线． （1）已知y＝x2＋2x－3与y＝2x2＋bx－3是“窗帘”抛物线． ①b的值为 ； ②在平面直角坐标系中画出它们的大致图象，并直接写 出它们的交点坐标； （2）设抛物线y＝x2＋2x－3，y＝nx2＋2nx－3，y＝3nx2＋6nx －3（n＞0）的顶点分别为D，E，F； ①判断它们是否是“窗帘”抛物线？答： （填“是” 或“不是”）； ②若EF＝3DE，求n的值．
解：（1）①4；【解法提示】∵y＝x2＋2x－3与y＝2x2＋bx－3是“窗帘”抛物线，∴ ，∴b＝4.②它们的大致图象如解图，由图象可知交点坐标为（0，－3），（－2，－3）；
（2）①是；【解法提示】抛物线y＝x2＋2x－3，y＝nx2＋2nx－3，y＝3nx2＋6nx－3（n＞0）， ， ， ，∴它们是“窗帘”抛物线．②∵抛物线y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，∴顶点D的坐标为（－1，－4），∵y＝nx2＋2nx－3＝n（x＋1）2－3－n，∴顶点E的坐标为（－1，－3－n），∵y＝3nx2＋6nx－3＝3n（x＋1）2－3－3n，∴顶点F的坐标为（－1，－3－3n），∴EF＝|－3－n＋3n＋3|＝|2n|，DE＝|－4＋3＋n|＝|－1＋n|，∵EF＝3DE，∴|2n|＝3|n－1|，
当2n＝3（n－1）时，解得n＝3，当2n＝－3（n－1）时，解得n＝ ，故n的值为3或 .
3.（2020杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2＋bx＋a，y2＝ax2＋bx＋ 1（a，b是实数，a≠0）. （1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数 y1的表达式． （2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点 （ ，0）.（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m＋n＝0，求m，n的值．
（1）解：由题意得－ ＝3，解得b＝－6，∵函数y1的图象经过（a，－6），∴a2－6a＋a＝－6，解得a＝2或a＝3，∴函数y1的表达式为y1＝x2－6x＋2或y1＝x2－6x＋3；（2）证明：∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，∴r2＋br＋a＝0，∵r≠0，∴ ＝0，即a（ ）2＋b· ＋1＝0，∴ 是方程ax2＋bx＋1＝0的根，即函数y2的图象经过点（ ，0）；
（3）解：由题意知a＞0，∴m＝ ，n＝ ，∵m＋n＝0，∴ ＝0，∵a≠0，∴（a＋1）（4a－b2）＝0，∵a＋1＞0，∴4a－b2＝0，∴m＝n＝0.
4.（2020德州节选）如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，－2）， 在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于 AM的长为 半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线 GH于点P.根据以上操作，完成下列问题． 探究： （1）线段PA与PM的数量关系为 ，其理由为： , ,_____ ．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完 成下列表格：
的点到这条线段两个端点的距离相等
猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图②中连接起来； 观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是 ．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图①中线段PA与PM的关系，求出y关于x的 函数解析式．
解：（1）PA＝PM，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）（－2，－2），（4，－5）；【解法提示】当点M的坐标为（－2，0）时，设点P（－2，a）（a＜0），∵PA＝PM，∴ ＝－a，∴a＝－2，∴点P（－2，－2）；当点M的坐标为（4，0）时，设点P（4，b）（b＜0）.∵PA＝PM，∴ ＝－b，∴b＝－5，∴点P（4，－5）；
（3）依照题意，画出图象，如解图，猜想曲线L的形状为抛物线；（4）∵PA＝PM，∴设点P的坐标是（x，y）（y＜0），∴ ＝－y，∴y＝－ x2－1.
5.（2020北京）小云在学习过程中遇到一个函数y＝ |x|（x2－x＋1）（x≥－2）. 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当－2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝－x，当－2≤x＜0时，y1随x的 增大而 ，且y1＞0；对于函数y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0时，y2 随x的增大而 ，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对 于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增大而 ．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解 决问题：若直线l与函数y＝ |x|（x2－x＋1）（x≥－2）的图象有两个交点， 则m的最大值是 ．
解：（1）减小，减小，减小；（2）函数图象如解图；（3） .【解法提示】∵直线l与函数y＝ |x|（x2－x＋1）（x≥－2）的图象有两个交点，∴观察图象可知，当x＝－2时，m的值最大，最大值m＝ ×2×（4＋2＋1）＝ .
6.（2020河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0）， 则该抛物线的解析式可以表示为： y＝a（x－p）（x－q）＝ax2－a（p＋q）x＋apq. （1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解 析式和顶点坐标； （2）若a＝－1，如图①，A（－1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB 上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶 点为D.当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值； （3）已知抛物线C3与x轴交于A（－1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，
3），F（4，3）.若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图②中探究a的取值范围.
解：（1）抛物线的解析式为y＝x2－6x＋5，抛物线的顶点坐标为（3，－4）；（2）如解图①，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F.由题意知抛物线C1的解析式为y＝－（x＋1）（x－m）＝ ，∴C（ ， ），抛物线C2的解析式为y＝－（x－m）（x－3）＝ ，∴D（ ， ），∵A，C，D三点共线，CE∥DF，∴ ，
∴ ，解得m＝ ，经检验，m＝ 是分式方程的解，且符合题意，∴m＝ ；
（3）如解图②，当a＞0时，设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－3），当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，∴a＝ ，观察图象可知当a≥ 时，满足条件；如解图③中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），把（1，3）代入y＝a（x＋1）（x－3），可得a＝－ ，观察图象可知当a≤－ 时，满足条件．综上所述，满足条件的a的取值范围为a≥ 或a≤－ .
7.（2020益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一 个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝ PH. 【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则 MN2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2】 （1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）； （2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给 定坐标系中画出该函数的图象；
（3）点C关于x轴的对称点为C′，点P在直线C′F的下方 时，求线段PF长度的取值范围．
解：（1）当点P与C（0，5）重合时，PH＝5，PF＝ ＝5，∴PH＝PF，∴点P运动过程中经过点C；（2）y关于x的函数表达式为y＝ x2－2x＋5；5，2，1，2，5；画出函数图象如解图；【解法提示】由题意知y2＝（x－4）2＋（y－2）2，整理得，y＝ x2－2x＋5，∴y关于x的函数表达式为y＝ x2－2x＋5，当x＝0时，y＝5，当x＝2时，y＝2，当x＝4时，y＝1，当x＝6时，y＝2，当x＝8时，y＝5，
（3）由题意知C′（0，－5）， ∵ F（4，2），∴直线FC′的解析式为y＝ x－5，设抛物线交直线FC′于G，K，如解图，由 ，解得 或 ，∴G（ ， ），K（ ， ），观察图象可知满足条件的PF长度的取值范围为1≤PF＜ .
8.（2015江西23题10分）如图，已知二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0） 和二次函数L2：y＝－a（x＋1）2＋1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴 分别交于点E，F. （1）函数y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0）的最小值为 ； 当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时， x的取值范围是 ； （2）当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状 （直接写出，不必证明）； （3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角 形时，求方程－a（x＋1）2＋1＝0的解.
解：（1）3，－1≤x≤1；【解法提示】∵二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3＝a（x－1）2＋3，∴顶点M的坐标为（1，3），∵a＞0，∴函数y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0）的最小值为3，∵二次函数L1的对称轴为直线x＝1，∴当x≤1时，y随x的增大而减小；∵二次函数L2的对称轴为直线x＝－1，∴当x≥－1时，y随x的增大而减小，∴当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是－1≤x≤1.
（2）由二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3可知E（0，a＋3），由二次函数L2：y＝－a（x＋1）2＋1＝－ax2－2ax－a＋1可知F（0，－a＋1），∵M（1，3），N（－1，1），∴EF＝MN＝ ，∴a＋3－（－a＋1）＝2 ，∴a＝ －1.四边形ENFM是矩形；【解法提示】如解图①，连接EM，FN，NE，作MG⊥y轴于G，则MG＝1，OG＝3，作NH⊥y轴于H，则NH＝1，OH＝1，∴MG＝NH＝1，∵EG＝a＋3－3＝a，FH＝1－（－a＋1）＝a，∴EG＝FH，在△EMG和△FNH中，
，∴△EMG≌△FNH（SAS），∴∠MEF＝∠NFE，EM＝NF，∴EM∥NF，∴四边形ENFM是平行四边形．∵EF＝MN，∴四边形ENFM是矩形．（3）由△AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：①如解图②，当NA＝MN＝2 时，过点N作ND⊥x轴，垂足为D，则有ND＝1，DA＝m－（－1）＝m＋1，NA2＝（m＋1）2＋12，在Rt△NDA中，NA2＝DA2＋ND2，
即（2 ）2＝（m＋1）2＋12，∴m1＝ －1，m2＝－ －1（不合题意，舍去），∴A（ －1，0）.∵抛物线y＝－a（x＋1）2＋1（a＞0）的对称轴为直线x＝－1，∴它与x轴的另一个交点坐标为（－1－ ，0），∴方程－a（x＋1）2＋1＝0的解为x1＝ －1，x2＝－1－ . ②如解图③，当MA＝NA时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则有OG＝1，MG＝3，GA＝|m－1|，
∴在Rt△MGA中，MA2＝MG2＋GA2，即MA2＝32＋（m－1）2，又∵NA2＝（m＋1）2＋12，∴（m＋1）2＋12＝32＋（m－1）2，解得m＝2，∴A（2，0），则抛物线y＝－a（x＋1）2＋1（a＞0）与x轴的左交点坐标为（－4，0），∴方程－a（x＋1）2＋1＝0的解为x1＝2，x2＝－4；③当MN＝MA＝ 时，33＋（m－1）2＝（ ）2，∴m无实数解，舍去. 综上所述，当△AMN为等腰三角形时，方程－a（x＋1）2＋1＝0的解为x1＝ －1，x2＝－1－ 或x1＝2，x2＝－4.
类型2 与图象变换有关的探究题（9年2考：2018、2017）
例2（2017江西22题9分）已知抛物线C1：y＝ax2－ 4ax－5（a＞0）. （1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对 称轴； （2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过 两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折， 得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值. 【分析】请填写下表
【思路分析】（1）当a＝1时得出一个抛物线表达式，对称轴可求；令y＝0即可求得抛物线与x 轴交点坐标；（2）①将抛物线表达式变形，可求得两个定点的横坐标，即可解题； ②根据抛物线翻折的性质即可求出翻折后的抛物线表达式；（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，根据（2）中抛物线C2的表达式，分类讨 论y＝2和－2时a的值，即可解题.
解：（1）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2－4x－5＝（x－2）2－9，∴对称轴为直线x＝2，令y＝0，则x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∴抛物线C1的与x轴的交点坐标为（－1，0），（5，0）；（2）①抛物线C1的表达式为y＝ax2－4ax－5（a>0），整理得y＝ax（x－4）－5，∵当ax（x－4）＝0时，即x＝0或x＝4时，y恒定为－5，∴抛物线C1一定经过两个定点（0，－5），（4，－5）；
②C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5；【解法提示】这两个定点的连线为直线y＝－5，将抛物线C1沿直线y＝－5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，与y轴交点没变；∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5.（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则当x＝2时，y＝2或－2，当y＝2时，2＝－4a＋8a－5，解得a＝ ；当y＝－2时，－2＝－4a＋8a－5，解得a＝ .∴a＝ 或 .
1.（2020江西样卷一）如图，已知抛物线C：y＝x2－bx＋c与x轴交于点A（1， 0），B（3，0），与y轴交于点Q. （1）填空：b＝ ，c＝ ； （2）直线y＝a与抛物线C交于点E（x1，y1），F（x2，y2）， 与过点B，Q的直线交于点P（x3，y3）. ①若0≤a≤3，求x1＋x2＋x3的取值范围； ②若|EF|＝ ，求a的值； （3）将抛物线C向左平移m（m>0）个单位后得到抛物线C1，当－3≤x≤－2时， 抛物线C1对应的二次函数有最小值2，求m的值．
解：（1）4，3；（2）①由x1和x2都是a＝x2－4x＋3的解，可得x1＋x2＝4，x1x2＝3－a.由C：y＝x2－4x＋3可知Q（0，3），设直线BQ的解析式为y＝kx＋3（k≠0），又∵点B（3，0）在直线BQ上，∴0＝3k＋3，∴k＝－1，∴y＝－x＋3，∴x3＝3－a，∴x1＋x2＋x3＝7－a.又∵0≤a≤3，∴4≤x1＋x2＋x3≤7；
②∵x1＋x2＝4，x1x2＝3－a，∴|EF|＝2 ＝|x1－x2|＝ ，解得a＝1；（3）将抛物线C向左平移m个单位，可得C1：y＝（x－2＋m）2－1.①当2－m<－3时，m>5，ymin＝（－3－2＋m）2－1＝2，解得m＝5＋ 或m＝5－ （舍去）；②当－3≤2－m≤－2时，ymin＝－1（舍去）；③当－2<2－m时，m<4，ymin＝（－2－2＋m）2－1＝2.解得m＝4＋ （舍去）或m＝4－ .综上所述，m＝5＋ 或m＝4－ .
2.（原创推荐）已知点P（1，－4）是抛物线n：y＝x2＋bx＋c的顶点，h是抛物 线y＝x2＋bx＋c与x轴两交点间的距离． （1）求h的值； （2）求至少将抛物线n向下平移多少个单位，平移后的抛物线与x轴两交点间 的距离h1不小于8个单位； （3）若将抛物线n向下平移（m2－4）（其中m＞2）个单位，平移后的抛物线 与x轴两交点间的距离为h2，且s＝m2－h2－4m.当m为何值时，s最小，最 小值是多少？
解：（1）∵P（1，－4）是二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点坐标，∴y＝（x－1）2－4＝x2－2x－3，令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴两交点的坐标分别为（－1，0），（3，0），∴h＝3－（－1）＝4；（2）若向下平移k个单位，平移后表达式为y＝x2－2x－3－k，抛物线对称轴为x＝1， ∴当h1＝8时，与x轴两交点的坐标分别为（5，0），（－3，0）.把（－3，0）代入y＝x2－2x－3－k，得k＝12，∴将抛物线n至少向下平移12个单位，h1才不小于8个单位；
（3）根据题意，将抛物线n向下平移（m2－4）个单位，表达式为y＝x2－2x－3－（m2－4）＝（x－1）2－m2，∴顶点的坐标为（1，－m2），当y＝0时，（x－1）2－m2＝0，∴x1＝1＋m，x2＝1－m（m＞2）∴h2＝1＋m－（1－m）＝2m，则s＝m2－h2－4m＝m2－6m＝（m－3）2－9，当m＝3时，s最小，最小值为－9.
3.（原创推荐）已知抛物线m：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为M，抛物线上部分点的横坐标与对应 的纵坐标如下表：
（1）根据表中的各对对应值，写出三条与上述抛物线m有关（不能直接出现表 各对对应值）的性质；（2）若将抛物线m绕原点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线n的表达式， 并在坐标系中画出抛物线m、n的草图；（3）若抛物线n的顶点为N，与x轴的交点为E，F（点E，F分别与点A，B对应）， 四边形NFMB是何种特殊四边形？并说明其理由．
解：（1）①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为x＝1；③抛物线与x轴的交点坐标为A（－1，0）；④当x＝4时，对应的函数值y为5；⑤a＝1，b＝－2，c＝－3或抛物线的表达式为y＝x2－2x－3；⑥抛物线的顶点坐标为M（1，－4）（答案不唯一，写出三个合理即可）；
（2）抛物线m，n的草图如解图①，易得A（－1，0），B（3，0），C（0，－3），∴抛物线m的表式为y＝x2－2x－3，M（1，－4)，抛物线n的顶点为N（－1，4），E（1，0），F（－3，0），则抛物线n的表达式为y＝－（x＋1）2＋4即y＝－x2－2x＋3；（3）四边形NFMB是平行四边形，理由：如解图②，∵N与M关于原点中心对称，∴原点O是NM的中点，同理，原点O也是FB的中点，∴四边形NFMB是平行四边形．
4.（2020江西名校联盟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与y轴相交 于点A，y与x的部分对应值如下表（m为整数）：
（1）直接写出m的值和点A的坐标；（2）求出二次函数的表达式；（3）过点A作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿 直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一 个新图象．请你结合新图象回答：当直线y＝x＋n 与新图象只有一个公共点P（s，t）且t≤5时，求n 的取值范围．
解：（1）m=1,A(0,-3);[解法提示]根据抛物线的轴对称性可知：m＝1，由表格知，图象过点（0，－3），∵二次函数图象与y轴相交于A点，∴A（0，－3）；（2）∵抛物线的顶点坐标为（1，－4），∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2－4，抛物线与y轴相交于点A（0，－3），∴a－4＝－3，解得a＝1，∴二次函数的表达式为y＝（x－1）2－4，即y＝x2－2x－3；
（3）新图象如解图所示，①当y＝x＋n与y＝x2－2x－3交于点（0，－3）时，n＝－3，当y＝x＋n与y＝x2－2x－3交于（s，t），t＝5时，s2－2s－3＝5，解得s＝－2或s＝4，∴y＝x＋n与新图象交于点（4，5），则5＝4＋n，∴n＝1，∴当直线y＝x＋n与新图象只有一个公共点P（s，t）且t≤5时，－3＜n≤1；
②当y＝x＋n与y＝x2－2x－3只有一个交点时，令x2－2x－3＝x＋n，即x2－3x－3－n＝0，则Δ＝9－4（－3－n）＝0，∴n＝－ ，∴当直线y＝x＋n与新图象只有一个公共点时，n<－ .综上，n的取值范围为－3＜n≤1或n<－ .
5.定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l′的图象，我们 称函数l′是函数l关于点P的相关函数. 例如：当m＝1时，函数y＝（x＋1）2＋5关于点P（1，0）的相关函数为y＝ －（x－3）2－5. （1）当m＝0时， ①一次函数y＝x－1关于点P的相关函数为 ； ②点（ ， ）在二次函数y＝－ax2－ax＋1（a≠0）关于点P的相关函数的图象 上，求a的值；
（2）函数y＝（x－1）2＋2关于点P的相关函数为y＝－（x＋3）2－2，求m的值； （3）当m－1≤x≤m＋2时，函数y＝x2－mx－ m2关于点P（m，0）的相关函数 的最大值为6，求m的值.
解：（1）①y＝x＋1；②∵y＝－ax2－ax＋1＝－a（x＋ ）2＋1＋ a，∴函数y＝－ax2－ax＋1关于点P（0，0）的相关函数为y＝a（x－ ）2－1－ a，∵点A（ ， ）在函数y＝a（x－ ）2－1－ a的图象上，∴ ＝a（ － ）2－1－ a，解得a＝－ ；
（2）∵函数y＝（x－1）2＋2图象的顶点为（1，2），函数y＝－（x＋3）2－2图象的顶点为（－3，－2），这两点关于点P对称，∴ ＝m，∴m＝－1；（3）∵y＝x2－mx－ m2＝（x－ m）2－ m2，∴函数y＝x2－mx－ m2关于点P（m，0）的相关函数为 y＝－（x－ m）2＋ m2，①当 m≤m－1，即m≤－2时，当x＝m－1时，y有最大值是6，∴－（m－1－ m）2＋ m2＝6，
∴m1＝1－ ，m2＝1＋ （不符合题意，舍去）；②当m－1< m
解：（1）C1：y＝（x－2）2－6＝x2－4x－2，C2：y＝x2－6；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥AC交CA延长线于点D，如解图，设A（a，（a－2）2－6）（a>2），则BD＝a－2，AC＝|（a－2）2－6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD＋∠OAC＝∠OAC＋∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC（AAS），∴BD＝AC，∴a－2＝|（a－2）2－6|，解得a＝4或a＝－1（舍）或a＝0（舍）或a＝5，∴A（4，－2）或（5，3）；
（3）证明：把y＝kx代入y＝x2－6中得，x2－kx－6＝0，∴xE＋xF＝k，∴M（ ， ），把y＝－ x代入y＝x2－6中得，x2＋ x－6＝0，∴xG＋xH＝－ ，∴N（ －， ），设MN的解析式为y＝mx＋n（m≠0），则 ，解得 ，
∴直线MN的解析式为y＝ x＋2，当x＝0时，y＝2，∴直线MN：y＝ x＋2经过定点（0，2），即直线MN经过一个定点．
类型3 与图象规律有关的探究题（9年5考：2019、2018、2016、2014、2013）
例3（2019江西23题12分）特例感知（1）如图①，对于抛物线y1＝－x2－x＋1，y2＝－x2－2x＋1，y3＝－x2－3x＋1， 下列结论正确的序号是 ．
①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移 个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．形成概念（2）把满足yn＝－x2－nx＋1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用在（2）中，如图②.①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶
点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标分别为－k－1，－k－2，－k－3，…，－k－n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等？若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接CnAn，Cn－1An－1，判断CnAn，Cn－1An－1是否平行？并说明理由．
（ ， ）
【思路分析】（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3中，求出对应的y值即可；②分别求出抛物线y2和y3的对称轴即可；③分别令抛物线y1，y2，y3等于1，求出与直线y＝1的交点坐标，计算相邻两点之间的距离．（2）①依据顶点坐标公式求出yn＝－x2－nx＋1的顶点坐标，可得y与x之间的关 系； ②由横坐标分别求出纵坐标，得出两点之间的铅直高度和水平距离，再利 用勾股定理求相邻两点间距离； ③当y＝1时，－x2－nx＋1＝1，可求An，Cn，An－1，Cn－1的坐标，利用平行 线的判定定理，判断出同位角的正切值是否相等来确定同位角是否相等， 从而得出两线是否平行．
解：（1）①②③；（2）①yn＝－x2－nx＋1的顶点为Pn（－ ， ＋1），令x＝－ ，y＝ ＋1，∴y＝x2＋1；②相邻两点之间的距离都相等，CnCn－1＝ .【解法提示】根据题意得Cn（－k－n，－k2－nk＋1），Cn－1（－k－n＋1，－k2－nk＋k＋1），∴CnCn－1两点之间的铅直高度＝－k2－nk＋k＋1－（－k2－nk＋1）＝k，
CnCn－1两点之间的水平距离＝－k－n＋1－（－k－n）＝1，∴由勾股定理得Cn ＝k2＋1，∴CnCn－1＝ ；③CnAn与Cn－1An－1不平行．理由：根据题意得：Cn（－k－n，－k2－nk＋1），Cn－1（－k－n＋1，－k2－nk＋k＋1），An（－n，1），An－1（－n＋1，1）.过Cn，Cn－1分别作直线y＝1的垂线，垂足为D，E，连接AnCn，An－1Cn－1，如解图，
∴D（－k－n，1），E（－k－n＋1，1）.在Rt△DAnCn中，tan ∠DAnCn＝ ＝k＋n.在Rt△EAn－1Cn－1中，tan ∠EAn－1Cn－1＝ ＝k＋n－1.∵k＋n－1≠k＋n，∴tan ∠DAnCn≠tan ∠EAn－1Cn－1，∴∠DAnCn≠∠EAn－1Cn－1，∴CnAn与Cn－1An－1不平行．
1.（原创推荐）已知一系列抛物线y0＝－（x－1）2，y1＝－（x－3）2＋2，y2＝ －（x－5）2＋4，y3＝－（x－7）2＋6，y4＝－（x－9）2＋8，…，yk（k为非 负整数）．抛物线yk与x轴相交于点Ak、Bk（点Ak在点Bk的左边），顶点为Pk. （1）抛物线y1的顶点坐标是 ，与x轴的交点A1，B1的坐标是 ________________，_________________； （2）①通过该系列抛物线所有顶点的图象是 ，其函数表达式是 _________；②抛物线yk的表达式是 ； （3）探究下列结论： ①若PkBk－1⊥x轴于Bk－1，求k的值；
yk＝－[x－（2k＋1）]2＋2k
②将抛物线yk绕点（1，0）旋转180°得到抛物线yk′，抛物线yk′的顶点为Pk′，点Ak，Bk的对应点分别为Ak′，Bk′.Ⅰ：直接写出抛物线yk′的表达式；Ⅱ：设四边形PkAk′Pk′Ak的面积是S，求S与k的关系式.
解：（1）（3，2），（3－ ，0），（3＋ ，0）；（2）①一条直线，y＝x－1；②yk＝－[x－（2k＋1）]2＋2k；（3）①当yk＝0时，x＝2k＋1± ，Ak（2k＋1－ ，0），Bk（2k＋1＋ ，0），∴Bk－1（2k－1＋ ，0），∵抛物线yk的顶点为Pk（2k＋1，2k），PkBk－1⊥x轴，∴2k＋1＝2k－1＋ ，可得2k－2＝4，∴k＝3；②Ⅰ：抛物线yK′的表达式为yk′＝[x－（－2k＋1）]2－2k；Ⅱ：∵点Pk与点Pk′，点Ak与点Ak′关于点（1，0）中心对称，
∴四边形PkAk′Pk′Ak是平行四边形，∴Ak′的坐标为（－2k＋1＋ ，0），又∵四边形PkAk′Pk′Ak的面积等于△PkAk′Ak的2倍，∴S＝ [（2k＋1－ ）－（－2k＋1＋ ）]×2k×2 ＝2k（4k－2 ）＝8k2－4k .
2.（2020江西样卷二）情景观察 已知一系列的二次函数y1＝x2＋2x，y2＝2x2＋4x，y3＝3x2＋6x，…. 形成概念 具备以上正整数系数形式的二次函数称为“生长二次函数”． （1）某数学小组探究“生长二次函数”时发现以下结论： ①图象都开口向上；②对称轴都是直线x＝－1；③图象都经过原点（0， 0）和（－2，0）；④当x>－1时，y随着x的增大而增大．其中正确结论 的序号是 ． （2）过点P（m，0）的直线l⊥x轴，若直线l与“生长二次函数”图象中的两条相
相邻抛物线yn，yn＋1分别相交于点M，N.①写出线段MN的长与m之间的关系式，并判断当－2≤m≤0时此关系式是否具备（1）中“生长二次函数”的性质；②求出当－2≤m≤3时线段MN的最大长度．
（1）①②③④；（2）根据题意可知抛物线yn＝nx2＋2nx， yn＋1＝（n＋1）x2＋2（n＋1）x， 则点M（m，nm2＋2nm）， N（m，（n＋1）m2＋2（n＋1）m）， ①当m<－2时，MN＝m2＋2m； 当－2≤m≤0时，MN＝－m2－2m； 当m>0时，MN＝m2＋2m.
当－2≤m≤0时，此关系式的图象的开口方向、函数的增减性不具备（1）中“生长二次函数”的性质；②当－2≤m≤0时，MN＝－m2－2m ＝－(m ＋1）2 ＋ 1.当m＝－1时，MN取最大值为1.当0
解：（1）AB＝4；当a＝1时，y1＝（x－1）（x－5）＝x2－6x＋5＝（x－3）2－4，∴抛物线y1的对称轴为直线x＝3；（2）①n，y＝－4；②由抛物线y2与l交于点Q（－2，0），得a＋1＝－2，∴a＝－3，∴y1＝（x＋1）2－4，yn＝（x＋2－n）2－4.于是得点P（－2，－3），点R（－2，n2－4），∴PR＝（n2－4）＋3＝n2－1，∴四边形PARB的面积为 AB·PR＝70，即 ×4×（n2－1）＝70，解得n1＝6，n2＝－6（不合题意，舍去）.∴n的值为6.
4. （2020江西样卷四）已知抛物线yn＝mx2－2mnx＋mn2＋n＋1（m<0，n为自然 数）的顶点为Pn，与x轴的交点分别为点An，Bn（点An在点Bn的左边）. （1）该抛物线的顶点坐标是 （用含n的式子表示），该顶点所 在路径的函数解析式是 ； （2）当m＝－ 时，若△PnAnBn是等边三角形，求该二次 函数的解析式； （3）已知点C，D在抛物线y4上，点E，F在x轴上，若正方 形CDEF的边长为2，求m的值；
（4）若△P0A0B0为直角三角形，将抛物线yn绕原点旋转180°，点Pn的对应点为 P′n，若PnP′n＝10，求n的值.
解：（1）（n，n＋1），y＝x＋1；（2）当m＝－ 时，y＝－ x2＋nx－ n2＋n＋1，∵△PnAnBn是等边三角形，设An（x1，0），Bn（x2，0），∴n＋1＝ （x2－x1）＝ ，∴n＋1＝ .∴n1＝5，n2＝－1（舍去）.∴y＝－ x2＋5x－ ；
（3）如解图①，∵y4＝m（x－4）2＋5，∴可设点C（a，m（a－4）2＋5），∵正方形的边长为2，∴D（a＋2，m（a＋2－4）2＋5），∴m（a－4）2＋5＝m（a＋2－4）2＋5＝2，∴a＝3，∴m＋5＝2，∴m＝－3，
（4）如解图②，∵y0＝mx2＋1，P0（0，1），△P0A0B0为直角三角形，由抛物线的对称性知B0（1，0），∴m＝－1，∴yn＝－（x－n）2＋n＋1.∵Pn（n，n＋1），由旋转知Pn与P′n关于原点O对称，∴PnO＝ PnP′n＝5，∴n2＋（n＋1）2＝52，解得n1＝3，n2＝－4（舍去）.∴n的值为3.
5.（2020江西样卷八）已知抛物线yn＝－（x－an）2＋bn（n为正整数，且 0≤a1
解：（1）由A1（2，0），得c1＝2，则c2＝2＋2＝4.将点A，A1的坐标代入抛物线的解析式得 ，解得 .点A2（4，0），将点A，A2的坐标代入抛物线解析式，同理可得a2＝2，b2＝4.故y2＝－（x－a2）2＋b2＝－（x－2）2＋4；（2）（n，n2）；（n＋1，（n＋1）2）；y＝x2；【解法提示】同理可得a3＝3，b3＝9.故点Bn的坐标为（n，n2），以此推出：点Bn＋1（n＋1，（n＋1）2），故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x2.
（3）①存在．理由：点A（0，0），点An（2n，0），点Bn（n，n2），△AAnBn为等腰直角三角形，则 ，即（2n）2＝2（n2＋n4），解得n＝1（不合题意的值已舍去）.抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋1.②由（2）知：yn＝－（x－n）2＋n2，∴yCn－1＝－（m－n＋1）2＋（n－1）2，yCn＝－（m－n）2＋n2，Cn－1Cn＝yCn－yCn－1＝－（m－n）2＋n2＋（m－n＋1）2－（n－1）2＝2m.
6.（2020江西样卷五）已知抛物线y1＝x2－2x经过原点O及点A1，其顶点为B1；y2 ＝x2－4x经过原点O及点A2，其顶点为B2；y3＝x2－6x经过原点O及点A3，其顶 点为B3；…；yn＝x2－2nx经过原点O及点An（点An在x轴上），其顶点为Bn. （1）点A1的坐标为（____，____） ，点B1的坐标为（____，____）. （2）①直接写出点An及点Bn的坐标（用含n的代数式表示）； ②点B1，B2，B3，…，Bn是否在同一条抛物线上？若在， 求出此抛物线的解析式；若不在，请说明理由； （3）①求∠OB2A5的度数； ②若△A1B2An与△A1B2An＋3相似，求n的值．
解：（1）2，0，1，－1；（2）①An（2n，0），Bn（n，－n2）；②在；由（2）知Bn（n，－n2），则y＝－x2；（3）①∵B2（2，－4），A5（10，0），∴ ＝22＋42＝20， ＝（10－2）2＋42＝80， ＝102＝100，∴ ，∴∠OB2A5＝90°；
②∵An（2n，0），∴An＋3（2n＋6，0），A1（2，0），B2（2，－4），∴A1B2＝4，A1An＝2n－2，A1An＋3＝2n＋6－2＝2n＋4.分析可知只有：△A1B2An∽△A1An＋3B2，则A1B22＝A1An·A1An＋3，∴（2n－2）（2n＋4）＝16，即n2＋n－6＝0，解得n1＝－3（舍去），n2＝2.∴n＝2.
7.（2016江西23题12分）设抛物线的解析式为y＝ax2，过点B1（1，0）作x轴的 垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（ ，0）作x轴的垂线，交抛物线于 点A2，…；过点Bn（（ ）n－1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于 点An.连接AnBn＋1，得Rt△AnBnBn＋1. （1）求a的值； （2）直接写出线段AnBn，BnBn＋1的长（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn＋1中，探究下列问题： ①当n为何值时，Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形？②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk＋1与Rt△AmBmBm＋1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．
解：（1）∵点A1（1，2）在抛物线的解析式y＝ax2上，∴a＝2；（2）AnBn＝2x2＝2×[（ ）n－1]2＝（ ）2n－3， BnBn＋1＝（ ）n－1－（ ）n＝（ ）n×（2－1）＝（ ）n.（3）①由Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形得AnBn＝BnBn＋1，则（ ）2n－3＝（ ）n，2n－3＝n，解得n＝3，∴当n＝3时，Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形．
②存在．如解图所示．依题意得，∠AkBkBk＋1＝∠AmBmBm＋1＝90°，有两种情况：ⅰ）当Rt△AkBkBk＋1∽Rt△AmBmBm＋1时， ，即 ，（ ）2k－2m＝（ ）k－m，所以k＝m（舍去）；
ⅱ）当Rt△AkBkBk＋1∽Rt△Bm＋1BmAm时， ，即 ，（ ）2k－3－m＝（ ）k－2m＋3，∴2k－3－m＝k－2m＋3，∴k＋m＝6.∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），∴取 或 .当 时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，相似比为 ＝64；
当 时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，相似比为 ，∴存在Rt△AkBkBk＋1与Rt△AmBmBm＋1相似，其相似比为64 ∶1或8 ∶1.
8.（2018江西23题12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下 过程： 求解体验 （1）已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点（－1，0），则b＝ ，顶 点坐标为____________，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式 是______________． 抽象感悟 我们定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心， 作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生
（2）已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛 物线有交点，求m的取值范围. 问题解决（3）已知抛物线y＝ax2＋2ax－b（a≠0）. ①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2（b≠0），两抛物线有两个交 点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点（0，k＋12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点 （0，k＋22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k＋n2）的 中心”.
衍生抛物线为yn，其顶点为An；…（n为正整数）, 求AnAn＋1的长（用含n的式子表示）.
解：（1）－4；（－2，1）；y＝x2－4x＋5；【解法提示】∵抛物线y＝－x2＋bx－3经过点（－1，0），∴将点（－1，0）代入抛物线表达式得－1－b－3＝0，∴b＝－4；∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x－3＝－（x＋2）2＋1，∴抛物线的顶点坐标为（－2，1），∴抛物线的顶点坐标（－2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），即新抛物线的顶点坐标为（2，1），令原抛物线的x＝0，∴y＝－3，∴（0，－3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），
设新抛物线的表达式为y＝a（x－2）2＋1，将（0，5）代入新抛物线表达式可得5＝a（0－2）2＋1，∴a＝1，∴新抛物线的表达式为y＝（x－2）2＋1＝x2－4x＋5.
（2）∵抛物线y＝－x2－2x＋5＝－（x＋1）2＋6 ①，∴抛物线的顶点坐标为（－1，6），当x＝0时，y＝5，∴点（－1，6）和（0，5）关于点（0，m）的对称点为（1，2m－6）和（0，2m－5），
设衍生抛物线的解析式为y′＝a（x－1）2＋2m－6，∴将（0，2m－5）代入衍生抛物线表达式可得2m－5＝a＋2m－6，∴a＝1，∴衍生抛物线为y′＝（x－1）2＋2m－6＝x2－2x＋2m－5 ②，联立①②得，x2－2x＋2m－5＝－x2－2x＋5，整理得，2x2＝10－2m，∵这两条抛物线有交点，∴10－2m≥0，∴m≤5.
（3）①抛物线y＝ax2＋2ax－b＝a（x＋1）2－a－b，∴抛物线y的顶点坐标为（－1，－a－b），∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2＝b（x－1）2＋a2－b，∴抛物线y′的顶点坐标为（1，a2－b），∵两条抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴ ，解得 （舍）或 ，
∴抛物线y的顶点坐标为（－1，0），抛物线y的衍生抛物线y′的顶点坐标为（1，12），∴衍生中心的坐标为（0，6）；②由①可得抛物线y＝ax2＋2ax－b的顶点坐标为（－1，－a－b），∵点（－1，－a－b）关于点（0，k＋n2）的对称点为（1，a＋b＋2k＋2n2），∴抛物线yn的顶点An的坐标为（1，a＋b＋2k＋2n2），同理An＋1（1，a＋b＋2k＋2（n＋1）2），∴AnAn＋1＝a＋b＋2k＋2（n＋1）2－（a＋b＋2k＋2n2）＝4n＋2.
专题七 二次函数综合题 （近9年每年1道解答题）
类型1 与函数性质有关的探究题（9年3考：2020、2015、2012）
例1（2020江西22题9分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0） 的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；（2）求抛物线的表达式及m，n的值；（3）请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′， 描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是 哪种曲线？（4）设直线y＝m（m＞－2）与抛物线及（3）中的点P′所在曲线都有两个交点， 交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2， A3A4之间的数量关系 ．
A3A4－A1A2＝1
【小试牛刀】已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
观察表格，回答下列问题：（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝ ，顶点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ， 抛物线开口 ；（2）当y随x的增大而增大时，自变量的取值范围是x≥ ；（3）当y＜0时，x的取值范围是 ；（4）二次函数的表达式是 ．
（1，0），（－2，0）
【自主解答】解：（1）上，直线x＝1；（2）把（－1，0），（0，－3），（2，－3）代入y＝ax2＋bx＋c，得 ，解得 ，∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，当x＝－2时，m＝4＋4－3＝5；当x＝1时，n＝1－2－3＝－4；
（3）画出抛物线如解图①，描出点P′的轨迹，是一条抛物线；（4）如解图②，A3A4－A1A2＝1.
1.（原创推荐）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐 标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式，并在图中画出此二次函数的图象；
（2）设直线y＝m（m<2）与此二次函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于 点C，分别取AC，BC的中点M，N，请在图中画出M，N所在的函数图象；（3）设直线y＝n（n<－ ）与抛物线 （a<0）的图象 相交于A，B两点，与y轴相交于点C，M，N分别为AC，BC的中点，则M， N所在的函数图象的表达式为 （用含 a，x1，x2的式子表示）．
解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋3）（x－1），∵二次函数的图象经过点（－1，2），∴－4a＝2，∴a＝－ ，∴y＝－ （x＋3）（x－1）＝－ x2－x＋ .描点、连线，画出函数图象如解图；（2）M，N所在函数图象如解图．（3） .
2. 抛物线C1：y1＝a1x2＋b1x＋c与抛物线C2：y2＝a2x2＋b2x＋c中，若 ，则 称抛物线C1，C2为“窗帘”抛物线． （1）已知y＝x2＋2x－3与y＝2x2＋bx－3是“窗帘”抛物线． ①b的值为 ； ②在平面直角坐标系中画出它们的大致图象，并直接写 出它们的交点坐标； （2）设抛物线y＝x2＋2x－3，y＝nx2＋2nx－3，y＝3nx2＋6nx －3（n＞0）的顶点分别为D，E，F； ①判断它们是否是“窗帘”抛物线？答： （填“是” 或“不是”）； ②若EF＝3DE，求n的值．
解：（1）①4；【解法提示】∵y＝x2＋2x－3与y＝2x2＋bx－3是“窗帘”抛物线，∴ ，∴b＝4.②它们的大致图象如解图，由图象可知交点坐标为（0，－3），（－2，－3）；
（2）①是；【解法提示】抛物线y＝x2＋2x－3，y＝nx2＋2nx－3，y＝3nx2＋6nx－3（n＞0）， ， ， ，∴它们是“窗帘”抛物线．②∵抛物线y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，∴顶点D的坐标为（－1，－4），∵y＝nx2＋2nx－3＝n（x＋1）2－3－n，∴顶点E的坐标为（－1，－3－n），∵y＝3nx2＋6nx－3＝3n（x＋1）2－3－3n，∴顶点F的坐标为（－1，－3－3n），∴EF＝|－3－n＋3n＋3|＝|2n|，DE＝|－4＋3＋n|＝|－1＋n|，∵EF＝3DE，∴|2n|＝3|n－1|，
当2n＝3（n－1）时，解得n＝3，当2n＝－3（n－1）时，解得n＝ ，故n的值为3或 .
3.（2020杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2＋bx＋a，y2＝ax2＋bx＋ 1（a，b是实数，a≠0）. （1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数 y1的表达式． （2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点 （ ，0）.（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m＋n＝0，求m，n的值．
（1）解：由题意得－ ＝3，解得b＝－6，∵函数y1的图象经过（a，－6），∴a2－6a＋a＝－6，解得a＝2或a＝3，∴函数y1的表达式为y1＝x2－6x＋2或y1＝x2－6x＋3；（2）证明：∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，∴r2＋br＋a＝0，∵r≠0，∴ ＝0，即a（ ）2＋b· ＋1＝0，∴ 是方程ax2＋bx＋1＝0的根，即函数y2的图象经过点（ ，0）；
（3）解：由题意知a＞0，∴m＝ ，n＝ ，∵m＋n＝0，∴ ＝0，∵a≠0，∴（a＋1）（4a－b2）＝0，∵a＋1＞0，∴4a－b2＝0，∴m＝n＝0.
4.（2020德州节选）如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，－2）， 在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于 AM的长为 半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线 GH于点P.根据以上操作，完成下列问题． 探究： （1）线段PA与PM的数量关系为 ，其理由为： , ,_____ ．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完 成下列表格：
的点到这条线段两个端点的距离相等
猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图②中连接起来； 观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是 ．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图①中线段PA与PM的关系，求出y关于x的 函数解析式．
解：（1）PA＝PM，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）（－2，－2），（4，－5）；【解法提示】当点M的坐标为（－2，0）时，设点P（－2，a）（a＜0），∵PA＝PM，∴ ＝－a，∴a＝－2，∴点P（－2，－2）；当点M的坐标为（4，0）时，设点P（4，b）（b＜0）.∵PA＝PM，∴ ＝－b，∴b＝－5，∴点P（4，－5）；
（3）依照题意，画出图象，如解图，猜想曲线L的形状为抛物线；（4）∵PA＝PM，∴设点P的坐标是（x，y）（y＜0），∴ ＝－y，∴y＝－ x2－1.
5.（2020北京）小云在学习过程中遇到一个函数y＝ |x|（x2－x＋1）（x≥－2）. 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当－2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝－x，当－2≤x＜0时，y1随x的 增大而 ，且y1＞0；对于函数y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0时，y2 随x的增大而 ，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对 于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增大而 ．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解 决问题：若直线l与函数y＝ |x|（x2－x＋1）（x≥－2）的图象有两个交点， 则m的最大值是 ．
解：（1）减小，减小，减小；（2）函数图象如解图；（3） .【解法提示】∵直线l与函数y＝ |x|（x2－x＋1）（x≥－2）的图象有两个交点，∴观察图象可知，当x＝－2时，m的值最大，最大值m＝ ×2×（4＋2＋1）＝ .
6.（2020河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0）， 则该抛物线的解析式可以表示为： y＝a（x－p）（x－q）＝ax2－a（p＋q）x＋apq. （1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解 析式和顶点坐标； （2）若a＝－1，如图①，A（－1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB 上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶 点为D.当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值； （3）已知抛物线C3与x轴交于A（－1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，
3），F（4，3）.若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图②中探究a的取值范围.
解：（1）抛物线的解析式为y＝x2－6x＋5，抛物线的顶点坐标为（3，－4）；（2）如解图①，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F.由题意知抛物线C1的解析式为y＝－（x＋1）（x－m）＝ ，∴C（ ， ），抛物线C2的解析式为y＝－（x－m）（x－3）＝ ，∴D（ ， ），∵A，C，D三点共线，CE∥DF，∴ ，
∴ ，解得m＝ ，经检验，m＝ 是分式方程的解，且符合题意，∴m＝ ；
（3）如解图②，当a＞0时，设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－3），当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，∴a＝ ，观察图象可知当a≥ 时，满足条件；如解图③中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），把（1，3）代入y＝a（x＋1）（x－3），可得a＝－ ，观察图象可知当a≤－ 时，满足条件．综上所述，满足条件的a的取值范围为a≥ 或a≤－ .
7.（2020益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一 个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝ PH. 【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则 MN2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2】 （1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）； （2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给 定坐标系中画出该函数的图象；
（3）点C关于x轴的对称点为C′，点P在直线C′F的下方 时，求线段PF长度的取值范围．
解：（1）当点P与C（0，5）重合时，PH＝5，PF＝ ＝5，∴PH＝PF，∴点P运动过程中经过点C；（2）y关于x的函数表达式为y＝ x2－2x＋5；5，2，1，2，5；画出函数图象如解图；【解法提示】由题意知y2＝（x－4）2＋（y－2）2，整理得，y＝ x2－2x＋5，∴y关于x的函数表达式为y＝ x2－2x＋5，当x＝0时，y＝5，当x＝2时，y＝2，当x＝4时，y＝1，当x＝6时，y＝2，当x＝8时，y＝5，
（3）由题意知C′（0，－5）， ∵ F（4，2），∴直线FC′的解析式为y＝ x－5，设抛物线交直线FC′于G，K，如解图，由 ，解得 或 ，∴G（ ， ），K（ ， ），观察图象可知满足条件的PF长度的取值范围为1≤PF＜ .
8.（2015江西23题10分）如图，已知二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0） 和二次函数L2：y＝－a（x＋1）2＋1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴 分别交于点E，F. （1）函数y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0）的最小值为 ； 当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时， x的取值范围是 ； （2）当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状 （直接写出，不必证明）； （3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角 形时，求方程－a（x＋1）2＋1＝0的解.
解：（1）3，－1≤x≤1；【解法提示】∵二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3＝a（x－1）2＋3，∴顶点M的坐标为（1，3），∵a＞0，∴函数y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0）的最小值为3，∵二次函数L1的对称轴为直线x＝1，∴当x≤1时，y随x的增大而减小；∵二次函数L2的对称轴为直线x＝－1，∴当x≥－1时，y随x的增大而减小，∴当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是－1≤x≤1.
（2）由二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3可知E（0，a＋3），由二次函数L2：y＝－a（x＋1）2＋1＝－ax2－2ax－a＋1可知F（0，－a＋1），∵M（1，3），N（－1，1），∴EF＝MN＝ ，∴a＋3－（－a＋1）＝2 ，∴a＝ －1.四边形ENFM是矩形；【解法提示】如解图①，连接EM，FN，NE，作MG⊥y轴于G，则MG＝1，OG＝3，作NH⊥y轴于H，则NH＝1，OH＝1，∴MG＝NH＝1，∵EG＝a＋3－3＝a，FH＝1－（－a＋1）＝a，∴EG＝FH，在△EMG和△FNH中，
，∴△EMG≌△FNH（SAS），∴∠MEF＝∠NFE，EM＝NF，∴EM∥NF，∴四边形ENFM是平行四边形．∵EF＝MN，∴四边形ENFM是矩形．（3）由△AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：①如解图②，当NA＝MN＝2 时，过点N作ND⊥x轴，垂足为D，则有ND＝1，DA＝m－（－1）＝m＋1，NA2＝（m＋1）2＋12，在Rt△NDA中，NA2＝DA2＋ND2，
即（2 ）2＝（m＋1）2＋12，∴m1＝ －1，m2＝－ －1（不合题意，舍去），∴A（ －1，0）.∵抛物线y＝－a（x＋1）2＋1（a＞0）的对称轴为直线x＝－1，∴它与x轴的另一个交点坐标为（－1－ ，0），∴方程－a（x＋1）2＋1＝0的解为x1＝ －1，x2＝－1－ . ②如解图③，当MA＝NA时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则有OG＝1，MG＝3，GA＝|m－1|，
∴在Rt△MGA中，MA2＝MG2＋GA2，即MA2＝32＋（m－1）2，又∵NA2＝（m＋1）2＋12，∴（m＋1）2＋12＝32＋（m－1）2，解得m＝2，∴A（2，0），则抛物线y＝－a（x＋1）2＋1（a＞0）与x轴的左交点坐标为（－4，0），∴方程－a（x＋1）2＋1＝0的解为x1＝2，x2＝－4；③当MN＝MA＝ 时，33＋（m－1）2＝（ ）2，∴m无实数解，舍去. 综上所述，当△AMN为等腰三角形时，方程－a（x＋1）2＋1＝0的解为x1＝ －1，x2＝－1－ 或x1＝2，x2＝－4.
类型2 与图象变换有关的探究题（9年2考：2018、2017）
例2（2017江西22题9分）已知抛物线C1：y＝ax2－ 4ax－5（a＞0）. （1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对 称轴； （2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过 两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折， 得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值. 【分析】请填写下表
【思路分析】（1）当a＝1时得出一个抛物线表达式，对称轴可求；令y＝0即可求得抛物线与x 轴交点坐标；（2）①将抛物线表达式变形，可求得两个定点的横坐标，即可解题； ②根据抛物线翻折的性质即可求出翻折后的抛物线表达式；（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，根据（2）中抛物线C2的表达式，分类讨 论y＝2和－2时a的值，即可解题.
解：（1）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2－4x－5＝（x－2）2－9，∴对称轴为直线x＝2，令y＝0，则x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∴抛物线C1的与x轴的交点坐标为（－1，0），（5，0）；（2）①抛物线C1的表达式为y＝ax2－4ax－5（a>0），整理得y＝ax（x－4）－5，∵当ax（x－4）＝0时，即x＝0或x＝4时，y恒定为－5，∴抛物线C1一定经过两个定点（0，－5），（4，－5）；
②C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5；【解法提示】这两个定点的连线为直线y＝－5，将抛物线C1沿直线y＝－5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，与y轴交点没变；∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5.（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则当x＝2时，y＝2或－2，当y＝2时，2＝－4a＋8a－5，解得a＝ ；当y＝－2时，－2＝－4a＋8a－5，解得a＝ .∴a＝ 或 .
1.（2020江西样卷一）如图，已知抛物线C：y＝x2－bx＋c与x轴交于点A（1， 0），B（3，0），与y轴交于点Q. （1）填空：b＝ ，c＝ ； （2）直线y＝a与抛物线C交于点E（x1，y1），F（x2，y2）， 与过点B，Q的直线交于点P（x3，y3）. ①若0≤a≤3，求x1＋x2＋x3的取值范围； ②若|EF|＝ ，求a的值； （3）将抛物线C向左平移m（m>0）个单位后得到抛物线C1，当－3≤x≤－2时， 抛物线C1对应的二次函数有最小值2，求m的值．
解：（1）4，3；（2）①由x1和x2都是a＝x2－4x＋3的解，可得x1＋x2＝4，x1x2＝3－a.由C：y＝x2－4x＋3可知Q（0，3），设直线BQ的解析式为y＝kx＋3（k≠0），又∵点B（3，0）在直线BQ上，∴0＝3k＋3，∴k＝－1，∴y＝－x＋3，∴x3＝3－a，∴x1＋x2＋x3＝7－a.又∵0≤a≤3，∴4≤x1＋x2＋x3≤7；
②∵x1＋x2＝4，x1x2＝3－a，∴|EF|＝2 ＝|x1－x2|＝ ，解得a＝1；（3）将抛物线C向左平移m个单位，可得C1：y＝（x－2＋m）2－1.①当2－m<－3时，m>5，ymin＝（－3－2＋m）2－1＝2，解得m＝5＋ 或m＝5－ （舍去）；②当－3≤2－m≤－2时，ymin＝－1（舍去）；③当－2<2－m时，m<4，ymin＝（－2－2＋m）2－1＝2.解得m＝4＋ （舍去）或m＝4－ .综上所述，m＝5＋ 或m＝4－ .
2.（原创推荐）已知点P（1，－4）是抛物线n：y＝x2＋bx＋c的顶点，h是抛物 线y＝x2＋bx＋c与x轴两交点间的距离． （1）求h的值； （2）求至少将抛物线n向下平移多少个单位，平移后的抛物线与x轴两交点间 的距离h1不小于8个单位； （3）若将抛物线n向下平移（m2－4）（其中m＞2）个单位，平移后的抛物线 与x轴两交点间的距离为h2，且s＝m2－h2－4m.当m为何值时，s最小，最 小值是多少？
解：（1）∵P（1，－4）是二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点坐标，∴y＝（x－1）2－4＝x2－2x－3，令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴两交点的坐标分别为（－1，0），（3，0），∴h＝3－（－1）＝4；（2）若向下平移k个单位，平移后表达式为y＝x2－2x－3－k，抛物线对称轴为x＝1， ∴当h1＝8时，与x轴两交点的坐标分别为（5，0），（－3，0）.把（－3，0）代入y＝x2－2x－3－k，得k＝12，∴将抛物线n至少向下平移12个单位，h1才不小于8个单位；
（3）根据题意，将抛物线n向下平移（m2－4）个单位，表达式为y＝x2－2x－3－（m2－4）＝（x－1）2－m2，∴顶点的坐标为（1，－m2），当y＝0时，（x－1）2－m2＝0，∴x1＝1＋m，x2＝1－m（m＞2）∴h2＝1＋m－（1－m）＝2m，则s＝m2－h2－4m＝m2－6m＝（m－3）2－9，当m＝3时，s最小，最小值为－9.
3.（原创推荐）已知抛物线m：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为M，抛物线上部分点的横坐标与对应 的纵坐标如下表：
（1）根据表中的各对对应值，写出三条与上述抛物线m有关（不能直接出现表 各对对应值）的性质；（2）若将抛物线m绕原点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线n的表达式， 并在坐标系中画出抛物线m、n的草图；（3）若抛物线n的顶点为N，与x轴的交点为E，F（点E，F分别与点A，B对应）， 四边形NFMB是何种特殊四边形？并说明其理由．
解：（1）①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为x＝1；③抛物线与x轴的交点坐标为A（－1，0）；④当x＝4时，对应的函数值y为5；⑤a＝1，b＝－2，c＝－3或抛物线的表达式为y＝x2－2x－3；⑥抛物线的顶点坐标为M（1，－4）（答案不唯一，写出三个合理即可）；
（2）抛物线m，n的草图如解图①，易得A（－1，0），B（3，0），C（0，－3），∴抛物线m的表式为y＝x2－2x－3，M（1，－4)，抛物线n的顶点为N（－1，4），E（1，0），F（－3，0），则抛物线n的表达式为y＝－（x＋1）2＋4即y＝－x2－2x＋3；（3）四边形NFMB是平行四边形，理由：如解图②，∵N与M关于原点中心对称，∴原点O是NM的中点，同理，原点O也是FB的中点，∴四边形NFMB是平行四边形．
4.（2020江西名校联盟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与y轴相交 于点A，y与x的部分对应值如下表（m为整数）：
（1）直接写出m的值和点A的坐标；（2）求出二次函数的表达式；（3）过点A作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿 直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一 个新图象．请你结合新图象回答：当直线y＝x＋n 与新图象只有一个公共点P（s，t）且t≤5时，求n 的取值范围．
解：（1）m=1,A(0,-3);[解法提示]根据抛物线的轴对称性可知：m＝1，由表格知，图象过点（0，－3），∵二次函数图象与y轴相交于A点，∴A（0，－3）；（2）∵抛物线的顶点坐标为（1，－4），∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2－4，抛物线与y轴相交于点A（0，－3），∴a－4＝－3，解得a＝1，∴二次函数的表达式为y＝（x－1）2－4，即y＝x2－2x－3；
（3）新图象如解图所示，①当y＝x＋n与y＝x2－2x－3交于点（0，－3）时，n＝－3，当y＝x＋n与y＝x2－2x－3交于（s，t），t＝5时，s2－2s－3＝5，解得s＝－2或s＝4，∴y＝x＋n与新图象交于点（4，5），则5＝4＋n，∴n＝1，∴当直线y＝x＋n与新图象只有一个公共点P（s，t）且t≤5时，－3＜n≤1；
②当y＝x＋n与y＝x2－2x－3只有一个交点时，令x2－2x－3＝x＋n，即x2－3x－3－n＝0，则Δ＝9－4（－3－n）＝0，∴n＝－ ，∴当直线y＝x＋n与新图象只有一个公共点时，n<－ .综上，n的取值范围为－3＜n≤1或n<－ .
5.定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l′的图象，我们 称函数l′是函数l关于点P的相关函数. 例如：当m＝1时，函数y＝（x＋1）2＋5关于点P（1，0）的相关函数为y＝ －（x－3）2－5. （1）当m＝0时， ①一次函数y＝x－1关于点P的相关函数为 ； ②点（ ， ）在二次函数y＝－ax2－ax＋1（a≠0）关于点P的相关函数的图象 上，求a的值；
（2）函数y＝（x－1）2＋2关于点P的相关函数为y＝－（x＋3）2－2，求m的值； （3）当m－1≤x≤m＋2时，函数y＝x2－mx－ m2关于点P（m，0）的相关函数 的最大值为6，求m的值.
解：（1）①y＝x＋1；②∵y＝－ax2－ax＋1＝－a（x＋ ）2＋1＋ a，∴函数y＝－ax2－ax＋1关于点P（0，0）的相关函数为y＝a（x－ ）2－1－ a，∵点A（ ， ）在函数y＝a（x－ ）2－1－ a的图象上，∴ ＝a（ － ）2－1－ a，解得a＝－ ；
（2）∵函数y＝（x－1）2＋2图象的顶点为（1，2），函数y＝－（x＋3）2－2图象的顶点为（－3，－2），这两点关于点P对称，∴ ＝m，∴m＝－1；（3）∵y＝x2－mx－ m2＝（x－ m）2－ m2，∴函数y＝x2－mx－ m2关于点P（m，0）的相关函数为 y＝－（x－ m）2＋ m2，①当 m≤m－1，即m≤－2时，当x＝m－1时，y有最大值是6，∴－（m－1－ m）2＋ m2＝6，
∴m1＝1－ ，m2＝1＋ （不符合题意，舍去）；②当m－1< m
解：（1）C1：y＝（x－2）2－6＝x2－4x－2，C2：y＝x2－6；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥AC交CA延长线于点D，如解图，设A（a，（a－2）2－6）（a>2），则BD＝a－2，AC＝|（a－2）2－6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD＋∠OAC＝∠OAC＋∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC（AAS），∴BD＝AC，∴a－2＝|（a－2）2－6|，解得a＝4或a＝－1（舍）或a＝0（舍）或a＝5，∴A（4，－2）或（5，3）；
（3）证明：把y＝kx代入y＝x2－6中得，x2－kx－6＝0，∴xE＋xF＝k，∴M（ ， ），把y＝－ x代入y＝x2－6中得，x2＋ x－6＝0，∴xG＋xH＝－ ，∴N（ －， ），设MN的解析式为y＝mx＋n（m≠0），则 ，解得 ，
∴直线MN的解析式为y＝ x＋2，当x＝0时，y＝2，∴直线MN：y＝ x＋2经过定点（0，2），即直线MN经过一个定点．
类型3 与图象规律有关的探究题（9年5考：2019、2018、2016、2014、2013）
例3（2019江西23题12分）特例感知（1）如图①，对于抛物线y1＝－x2－x＋1，y2＝－x2－2x＋1，y3＝－x2－3x＋1， 下列结论正确的序号是 ．
①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移 个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．形成概念（2）把满足yn＝－x2－nx＋1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用在（2）中，如图②.①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶
点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标分别为－k－1，－k－2，－k－3，…，－k－n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等？若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接CnAn，Cn－1An－1，判断CnAn，Cn－1An－1是否平行？并说明理由．
（ ， ）
【思路分析】（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3中，求出对应的y值即可；②分别求出抛物线y2和y3的对称轴即可；③分别令抛物线y1，y2，y3等于1，求出与直线y＝1的交点坐标，计算相邻两点之间的距离．（2）①依据顶点坐标公式求出yn＝－x2－nx＋1的顶点坐标，可得y与x之间的关 系； ②由横坐标分别求出纵坐标，得出两点之间的铅直高度和水平距离，再利 用勾股定理求相邻两点间距离； ③当y＝1时，－x2－nx＋1＝1，可求An，Cn，An－1，Cn－1的坐标，利用平行 线的判定定理，判断出同位角的正切值是否相等来确定同位角是否相等， 从而得出两线是否平行．
解：（1）①②③；（2）①yn＝－x2－nx＋1的顶点为Pn（－ ， ＋1），令x＝－ ，y＝ ＋1，∴y＝x2＋1；②相邻两点之间的距离都相等，CnCn－1＝ .【解法提示】根据题意得Cn（－k－n，－k2－nk＋1），Cn－1（－k－n＋1，－k2－nk＋k＋1），∴CnCn－1两点之间的铅直高度＝－k2－nk＋k＋1－（－k2－nk＋1）＝k，
CnCn－1两点之间的水平距离＝－k－n＋1－（－k－n）＝1，∴由勾股定理得Cn ＝k2＋1，∴CnCn－1＝ ；③CnAn与Cn－1An－1不平行．理由：根据题意得：Cn（－k－n，－k2－nk＋1），Cn－1（－k－n＋1，－k2－nk＋k＋1），An（－n，1），An－1（－n＋1，1）.过Cn，Cn－1分别作直线y＝1的垂线，垂足为D，E，连接AnCn，An－1Cn－1，如解图，
∴D（－k－n，1），E（－k－n＋1，1）.在Rt△DAnCn中，tan ∠DAnCn＝ ＝k＋n.在Rt△EAn－1Cn－1中，tan ∠EAn－1Cn－1＝ ＝k＋n－1.∵k＋n－1≠k＋n，∴tan ∠DAnCn≠tan ∠EAn－1Cn－1，∴∠DAnCn≠∠EAn－1Cn－1，∴CnAn与Cn－1An－1不平行．
1.（原创推荐）已知一系列抛物线y0＝－（x－1）2，y1＝－（x－3）2＋2，y2＝ －（x－5）2＋4，y3＝－（x－7）2＋6，y4＝－（x－9）2＋8，…，yk（k为非 负整数）．抛物线yk与x轴相交于点Ak、Bk（点Ak在点Bk的左边），顶点为Pk. （1）抛物线y1的顶点坐标是 ，与x轴的交点A1，B1的坐标是 ________________，_________________； （2）①通过该系列抛物线所有顶点的图象是 ，其函数表达式是 _________；②抛物线yk的表达式是 ； （3）探究下列结论： ①若PkBk－1⊥x轴于Bk－1，求k的值；
yk＝－[x－（2k＋1）]2＋2k
②将抛物线yk绕点（1，0）旋转180°得到抛物线yk′，抛物线yk′的顶点为Pk′，点Ak，Bk的对应点分别为Ak′，Bk′.Ⅰ：直接写出抛物线yk′的表达式；Ⅱ：设四边形PkAk′Pk′Ak的面积是S，求S与k的关系式.
解：（1）（3，2），（3－ ，0），（3＋ ，0）；（2）①一条直线，y＝x－1；②yk＝－[x－（2k＋1）]2＋2k；（3）①当yk＝0时，x＝2k＋1± ，Ak（2k＋1－ ，0），Bk（2k＋1＋ ，0），∴Bk－1（2k－1＋ ，0），∵抛物线yk的顶点为Pk（2k＋1，2k），PkBk－1⊥x轴，∴2k＋1＝2k－1＋ ，可得2k－2＝4，∴k＝3；②Ⅰ：抛物线yK′的表达式为yk′＝[x－（－2k＋1）]2－2k；Ⅱ：∵点Pk与点Pk′，点Ak与点Ak′关于点（1，0）中心对称，
∴四边形PkAk′Pk′Ak是平行四边形，∴Ak′的坐标为（－2k＋1＋ ，0），又∵四边形PkAk′Pk′Ak的面积等于△PkAk′Ak的2倍，∴S＝ [（2k＋1－ ）－（－2k＋1＋ ）]×2k×2 ＝2k（4k－2 ）＝8k2－4k .
2.（2020江西样卷二）情景观察 已知一系列的二次函数y1＝x2＋2x，y2＝2x2＋4x，y3＝3x2＋6x，…. 形成概念 具备以上正整数系数形式的二次函数称为“生长二次函数”． （1）某数学小组探究“生长二次函数”时发现以下结论： ①图象都开口向上；②对称轴都是直线x＝－1；③图象都经过原点（0， 0）和（－2，0）；④当x>－1时，y随着x的增大而增大．其中正确结论 的序号是 ． （2）过点P（m，0）的直线l⊥x轴，若直线l与“生长二次函数”图象中的两条相
相邻抛物线yn，yn＋1分别相交于点M，N.①写出线段MN的长与m之间的关系式，并判断当－2≤m≤0时此关系式是否具备（1）中“生长二次函数”的性质；②求出当－2≤m≤3时线段MN的最大长度．
（1）①②③④；（2）根据题意可知抛物线yn＝nx2＋2nx， yn＋1＝（n＋1）x2＋2（n＋1）x， 则点M（m，nm2＋2nm）， N（m，（n＋1）m2＋2（n＋1）m）， ①当m<－2时，MN＝m2＋2m； 当－2≤m≤0时，MN＝－m2－2m； 当m>0时，MN＝m2＋2m.
当－2≤m≤0时，此关系式的图象的开口方向、函数的增减性不具备（1）中“生长二次函数”的性质；②当－2≤m≤0时，MN＝－m2－2m ＝－(m ＋1）2 ＋ 1.当m＝－1时，MN取最大值为1.当0
解：（1）AB＝4；当a＝1时，y1＝（x－1）（x－5）＝x2－6x＋5＝（x－3）2－4，∴抛物线y1的对称轴为直线x＝3；（2）①n，y＝－4；②由抛物线y2与l交于点Q（－2，0），得a＋1＝－2，∴a＝－3，∴y1＝（x＋1）2－4，yn＝（x＋2－n）2－4.于是得点P（－2，－3），点R（－2，n2－4），∴PR＝（n2－4）＋3＝n2－1，∴四边形PARB的面积为 AB·PR＝70，即 ×4×（n2－1）＝70，解得n1＝6，n2＝－6（不合题意，舍去）.∴n的值为6.
4. （2020江西样卷四）已知抛物线yn＝mx2－2mnx＋mn2＋n＋1（m<0，n为自然 数）的顶点为Pn，与x轴的交点分别为点An，Bn（点An在点Bn的左边）. （1）该抛物线的顶点坐标是 （用含n的式子表示），该顶点所 在路径的函数解析式是 ； （2）当m＝－ 时，若△PnAnBn是等边三角形，求该二次 函数的解析式； （3）已知点C，D在抛物线y4上，点E，F在x轴上，若正方 形CDEF的边长为2，求m的值；
（4）若△P0A0B0为直角三角形，将抛物线yn绕原点旋转180°，点Pn的对应点为 P′n，若PnP′n＝10，求n的值.
解：（1）（n，n＋1），y＝x＋1；（2）当m＝－ 时，y＝－ x2＋nx－ n2＋n＋1，∵△PnAnBn是等边三角形，设An（x1，0），Bn（x2，0），∴n＋1＝ （x2－x1）＝ ，∴n＋1＝ .∴n1＝5，n2＝－1（舍去）.∴y＝－ x2＋5x－ ；
（3）如解图①，∵y4＝m（x－4）2＋5，∴可设点C（a，m（a－4）2＋5），∵正方形的边长为2，∴D（a＋2，m（a＋2－4）2＋5），∴m（a－4）2＋5＝m（a＋2－4）2＋5＝2，∴a＝3，∴m＋5＝2，∴m＝－3，
（4）如解图②，∵y0＝mx2＋1，P0（0，1），△P0A0B0为直角三角形，由抛物线的对称性知B0（1，0），∴m＝－1，∴yn＝－（x－n）2＋n＋1.∵Pn（n，n＋1），由旋转知Pn与P′n关于原点O对称，∴PnO＝ PnP′n＝5，∴n2＋（n＋1）2＝52，解得n1＝3，n2＝－4（舍去）.∴n的值为3.
5.（2020江西样卷八）已知抛物线yn＝－（x－an）2＋bn（n为正整数，且 0≤a1
解：（1）由A1（2，0），得c1＝2，则c2＝2＋2＝4.将点A，A1的坐标代入抛物线的解析式得 ，解得 .点A2（4，0），将点A，A2的坐标代入抛物线解析式，同理可得a2＝2，b2＝4.故y2＝－（x－a2）2＋b2＝－（x－2）2＋4；（2）（n，n2）；（n＋1，（n＋1）2）；y＝x2；【解法提示】同理可得a3＝3，b3＝9.故点Bn的坐标为（n，n2），以此推出：点Bn＋1（n＋1，（n＋1）2），故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x2.
（3）①存在．理由：点A（0，0），点An（2n，0），点Bn（n，n2），△AAnBn为等腰直角三角形，则 ，即（2n）2＝2（n2＋n4），解得n＝1（不合题意的值已舍去）.抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋1.②由（2）知：yn＝－（x－n）2＋n2，∴yCn－1＝－（m－n＋1）2＋（n－1）2，yCn＝－（m－n）2＋n2，Cn－1Cn＝yCn－yCn－1＝－（m－n）2＋n2＋（m－n＋1）2－（n－1）2＝2m.
6.（2020江西样卷五）已知抛物线y1＝x2－2x经过原点O及点A1，其顶点为B1；y2 ＝x2－4x经过原点O及点A2，其顶点为B2；y3＝x2－6x经过原点O及点A3，其顶 点为B3；…；yn＝x2－2nx经过原点O及点An（点An在x轴上），其顶点为Bn. （1）点A1的坐标为（____，____） ，点B1的坐标为（____，____）. （2）①直接写出点An及点Bn的坐标（用含n的代数式表示）； ②点B1，B2，B3，…，Bn是否在同一条抛物线上？若在， 求出此抛物线的解析式；若不在，请说明理由； （3）①求∠OB2A5的度数； ②若△A1B2An与△A1B2An＋3相似，求n的值．
解：（1）2，0，1，－1；（2）①An（2n，0），Bn（n，－n2）；②在；由（2）知Bn（n，－n2），则y＝－x2；（3）①∵B2（2，－4），A5（10，0），∴ ＝22＋42＝20， ＝（10－2）2＋42＝80， ＝102＝100，∴ ，∴∠OB2A5＝90°；
②∵An（2n，0），∴An＋3（2n＋6，0），A1（2，0），B2（2，－4），∴A1B2＝4，A1An＝2n－2，A1An＋3＝2n＋6－2＝2n＋4.分析可知只有：△A1B2An∽△A1An＋3B2，则A1B22＝A1An·A1An＋3，∴（2n－2）（2n＋4）＝16，即n2＋n－6＝0，解得n1＝－3（舍去），n2＝2.∴n＝2.
7.（2016江西23题12分）设抛物线的解析式为y＝ax2，过点B1（1，0）作x轴的 垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（ ，0）作x轴的垂线，交抛物线于 点A2，…；过点Bn（（ ）n－1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于 点An.连接AnBn＋1，得Rt△AnBnBn＋1. （1）求a的值； （2）直接写出线段AnBn，BnBn＋1的长（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn＋1中，探究下列问题： ①当n为何值时，Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形？②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk＋1与Rt△AmBmBm＋1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．
解：（1）∵点A1（1，2）在抛物线的解析式y＝ax2上，∴a＝2；（2）AnBn＝2x2＝2×[（ ）n－1]2＝（ ）2n－3， BnBn＋1＝（ ）n－1－（ ）n＝（ ）n×（2－1）＝（ ）n.（3）①由Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形得AnBn＝BnBn＋1，则（ ）2n－3＝（ ）n，2n－3＝n，解得n＝3，∴当n＝3时，Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形．
②存在．如解图所示．依题意得，∠AkBkBk＋1＝∠AmBmBm＋1＝90°，有两种情况：ⅰ）当Rt△AkBkBk＋1∽Rt△AmBmBm＋1时， ，即 ，（ ）2k－2m＝（ ）k－m，所以k＝m（舍去）；
ⅱ）当Rt△AkBkBk＋1∽Rt△Bm＋1BmAm时， ，即 ，（ ）2k－3－m＝（ ）k－2m＋3，∴2k－3－m＝k－2m＋3，∴k＋m＝6.∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），∴取 或 .当 时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，相似比为 ＝64；
当 时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，相似比为 ，∴存在Rt△AkBkBk＋1与Rt△AmBmBm＋1相似，其相似比为64 ∶1或8 ∶1.
8.（2018江西23题12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下 过程： 求解体验 （1）已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点（－1，0），则b＝ ，顶 点坐标为____________，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式 是______________． 抽象感悟 我们定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心， 作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生
（2）已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛 物线有交点，求m的取值范围. 问题解决（3）已知抛物线y＝ax2＋2ax－b（a≠0）. ①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2（b≠0），两抛物线有两个交 点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点（0，k＋12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点 （0，k＋22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k＋n2）的 中心”.
衍生抛物线为yn，其顶点为An；…（n为正整数）, 求AnAn＋1的长（用含n的式子表示）.
解：（1）－4；（－2，1）；y＝x2－4x＋5；【解法提示】∵抛物线y＝－x2＋bx－3经过点（－1，0），∴将点（－1，0）代入抛物线表达式得－1－b－3＝0，∴b＝－4；∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x－3＝－（x＋2）2＋1，∴抛物线的顶点坐标为（－2，1），∴抛物线的顶点坐标（－2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），即新抛物线的顶点坐标为（2，1），令原抛物线的x＝0，∴y＝－3，∴（0，－3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），
设新抛物线的表达式为y＝a（x－2）2＋1，将（0，5）代入新抛物线表达式可得5＝a（0－2）2＋1，∴a＝1，∴新抛物线的表达式为y＝（x－2）2＋1＝x2－4x＋5.
（2）∵抛物线y＝－x2－2x＋5＝－（x＋1）2＋6 ①，∴抛物线的顶点坐标为（－1，6），当x＝0时，y＝5，∴点（－1，6）和（0，5）关于点（0，m）的对称点为（1，2m－6）和（0，2m－5），
设衍生抛物线的解析式为y′＝a（x－1）2＋2m－6，∴将（0，2m－5）代入衍生抛物线表达式可得2m－5＝a＋2m－6，∴a＝1，∴衍生抛物线为y′＝（x－1）2＋2m－6＝x2－2x＋2m－5 ②，联立①②得，x2－2x＋2m－5＝－x2－2x＋5，整理得，2x2＝10－2m，∵这两条抛物线有交点，∴10－2m≥0，∴m≤5.
（3）①抛物线y＝ax2＋2ax－b＝a（x＋1）2－a－b，∴抛物线y的顶点坐标为（－1，－a－b），∵抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2＝b（x－1）2＋a2－b，∴抛物线y′的顶点坐标为（1，a2－b），∵两条抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴ ，解得 （舍）或 ，
∴抛物线y的顶点坐标为（－1，0），抛物线y的衍生抛物线y′的顶点坐标为（1，12），∴衍生中心的坐标为（0，6）；②由①可得抛物线y＝ax2＋2ax－b的顶点坐标为（－1，－a－b），∵点（－1，－a－b）关于点（0，k＋n2）的对称点为（1，a＋b＋2k＋2n2），∴抛物线yn的顶点An的坐标为（1，a＋b＋2k＋2n2），同理An＋1（1，a＋b＋2k＋2（n＋1）2），∴AnAn＋1＝a＋b＋2k＋2（n＋1）2－（a＋b＋2k＋2n2）＝4n＋2.
相关课件
2024北京中考数学二轮专题复习 专题七 二次函数综合题（课件）： 这是一份2024北京中考数学二轮专题复习 专题七 二次函数综合题（课件），共60页。PPT课件主要包含了3如解图②，类型二公共点问题，第1题图，解法提示如解图，x＝2，第2题图，第3题图，第1题解图④，2求点B的坐标，第4题图等内容，欢迎下载使用。
中考数学复习专题： 二次函数图象与性质的综合题 课件： 这是一份中考数学复习专题： 二次函数图象与性质的综合题 课件，共42页。PPT课件主要包含了≤k≤5，1c＝2等内容，欢迎下载使用。
中考数学复习重难点突破二次函数与几何综合题类型七：二次函数与圆的综合题教学课件： 这是一份中考数学复习重难点突破二次函数与几何综合题类型七：二次函数与圆的综合题教学课件，共23页。
