中学生标准学术能力测试2022届高三上学期10月测试 数学（理） 含答案

中学生标准学术能力诊断性测试2021年10月测试

理科数学试卷

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，A∪B＝

A.{x|x>1}     B.{x|x<1}     C.{x|x≤1}     D.{x|x≥l}

2.双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

3.复数z满足(1－i)z＝3＋2i(i为虚数单位)，则＝

A.     B.     C.     D.

4.已知数列{an}的前n项和为Sn，q为常数，则“数列{an}是等比数列”为“Sn＋1＝qSn＋a1”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

5.已知(x－1)3(x＋a)2(a∈Z)的展开式中x的系数等于8，则展开式中x3的系数等于

A.4     B.7     C.－5     D.－8

6.若△ABC满足a2＝b2＋c2－bc，sinB＝2sinC，则△ABC为

A.锐角三角形     B.直角三角形     C.钝角三角形     D.锐角三角形或直角三角形

7.已知函数f(x)＝，g(x)＝log2|x|，则f(x)－g(x)＝0在x∈[－2，2]上根的个数为

A.4     B.5     C.6     D.7

8.设a∈(0，)，随机变量X的分布列如表所示，随机变量Y满足Y＝3X＋2，则当a在(0，)上增大时，关于D(Y)的表述，下列正确的是

A.D(Y)增大     B.D(Y)减小     C.D(Y)先增大后减小     D.D(Y)先减小后增大

9.已知a>0，b>0，满足＋2b＝4，则的最小值为

A.2＋2     B.     C.3     D.9＋6

10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1B1的中点，P是边C1D1上的一个点(包括端点)，Q是平面PMB1上一动点，满足∠MNA＝∠MNQ，则点Q所在轨迹为

A.椭圆     B.双曲线     C.抛物线     D.抛物线或双曲线

11.已知f(x)＝lnx－|a－b|－1，若存在实数a，使得f(x)在(，e2)上有2个零点，则的取值范围为

A.(，e)     B.(1，)     C.(，)     D.(，e2)    

12.已知数列{an}满足an＋1＝，满足a1∈(0，1)，a1＋a2＋…＋a2021＝2020，则下列成立的是

A.lna1·lna2021>     B.lna1·lna2021＝

C.lna1·lna2021<     D.以上均有可能

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量＝(－2，4)，＝(t，－1)，且在上的投影等于－，则t的值为         。

14.圆x2－2x＋y2－4y－4＝0与圆x2－8x＋y2－6y＋24＝0的公共弦长为         。

15.甲、乙、丙、丁4个小球放入编号分别为A，B，C，D的四个盒子中，恰好只有一个空盒，若乙只能放入A盒，甲不能放入D盒，则分配方法共有         种。(用数字作答)

16.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F作直线AB与抛物线交于点A，B，B(x0，y0)在第四象限，连AO(O为C的顶点)并延长交l于点M，过B作BC垂直于x轴，垂足为C，若S△ABM－S△BOC＝2，则y0＝         。

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)已知函数f(x)＝cos2ωx－sinωxcosωx－(ω>0)，两相邻最高点与最低点之间距离为。

(1)求f(x)的解析式；

(2)在△ABC中，f()＝，c＝2，S△ABC＝，求a的值。

18.(12分)己知数列{an}为等比数列，公比q>1，Sn是数列{an}的前n项和，且a2＝9，S3＝39。数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝[(2n＋1)3n－1]。

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)令cn＝(n∈N*)，证明：c1＋c2＋…＋cn<。

19.(12分)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为2，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，P，Q分别在AB，A1C1上(不包括两端)，AP＝A1Q。

(1)求证：PQ//平面BCC1B1；

(2)设PQ与平面ABC所成角为θ，求sinθ的取值范围。

20.(12分)已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上的点到焦点距离的最大值为＋1。

(1)求椭圆C的方程：

(2)设椭圆E：，P为椭圆C上任意一点，过点R的直线l交椭圆E于A、B两点，射线OP交椭圆E于点Q。

(i)证明为定值；

(ii)求△ABQ面积的最大值。

21.(12分)已知函数f(x)＝x2＋2x－alnx，其中a∈R。

(1)对于任意t≥1，恒有f(2t－l)≥2f(t)－3，求a的取值范围；

(2)设a>0，存在实数t使关于x的方程f(x)＝t有两个实根x1，x2(x1<x2)，求证：函数f(x)在x＝处的切线斜率大于0。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。

22.(10分)[选修4－4：极坐标与参数方程]

已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)，α∈(，)。

(1)求曲线C的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？

(2)设过点P(1，0)的直线l与曲线C交于A，B两点，求弦AB长度的取值范围。

23.(10分)[选修4－5：不等式选讲]

(1)解不等式：|2|x－1|－3|≥1；

(2)设正数a，b，c满足2a＋12b＋9c＝11abc，求ab＋2bc＋3ac的最小值，并指出取到最小值时的条件。