高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案及答案

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[目标] 1.记住对数函数的定义、图象和性质；2.会利用对数函数的图象和性质解答有关问题，培养直观想象核心素养．
[重点] 对数函数的定义、图象和性质．
[难点] 对数函数性质的概括总结．
知识点一 对数函数的概念
[填一填]
1．一般地，我们把函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．
2．对数函数y＝lgax的定义域为(0，＋∞)，值域为R.
[答一答]
1．为什么在对数函数中要求a>0，且a≠1?
提示：根据对数式与指数式的关系知，y＝lgax可化为ay＝x，联想指数函数中底数的范围，可知a>0，且a≠1.
2．下列函数是对数函数的是( C )
A．y＝lga2x(a>0，a≠1)
B．y＝lga(x2＋1)(a>0，a≠1)
C．y＝lg eq \s\d8(\f(1,a)) x(a>0，a≠1)
D．y＝2lgx
解析：在对数函数的定义表达式y＝lgax(a>0且a≠1)中，lgax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数．所以选C.
知识点二 对数函数的图象与性质
[填一填]
[答一答]
3．怎样可以快速画出对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的草图？
提示：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝lgax的草图．
4．对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)，当a>1，x取何值时，y>0？x取何值时，y<0？当0提示：结合对数函数的图象可知，
当a>1时，若x>1，则y>0；若0当01，则y<0；若00.
类型一 对数函数的概念
[例1] 已知对数函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2))).
①求f(x)的解析式；
②解方程f(x)＝2.
[分析] 根据已知设出函数解析式，代入点的坐标求出对数函数的底数；然后利用“指对互化”解方程．
[解] ①由题意设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，
由函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))可得f(4)＝eq \f(1,2)，
即lga4＝eq \f(1,2)，所以4＝a eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，
解得a＝16，故f(x)＝lg16x.
②方程f(x)＝2，即lg16x＝2，
所以x＝162＝256.
利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如lgam＝n，这时先把对数式lgam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝knk>0，且k≠1，解得a＝k>0.还可以直接写出a＝m eq \s\up15( eq \f (1,n)) ，再利用指数幂的运算性质化简m eq \s\up15( eq \f (1,n)) .
[变式训练1] (1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)))＝－5.
(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)lgax＋m－1是对数函数，则m＝1.
解析：(1)设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，则3＝lga8，
∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝lg2x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)))＝lg2eq \f(1,32)＝lg22－5＝－5.
(2)因为函数f(x)是对数函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2－m＝1，,m－1＝0，))解得m＝1.
类型二 对数函数图象的有关问题
命题视角1：对数函数的底与图象变化的关系
[例2] 对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．
[解析] 利用数形结合法，画出直线y＝1判断，亦可根据在第一象限内顺时针旋转底数逐渐增大解决．
方法1：如图，作直线y＝1，则该直线与各函数图象必各交于一点，由lgaa＝1可知，各交点的横坐标分别为各函数底数，从而可知a>b>c>d.
方法2：在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故a>b>c>d.
[答案] a>b>c>d
当01时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．
[变式训练2] 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象只能是( B )
解析：方法一 若0若a>1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝lga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
方法二 首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝lga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝lga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．
命题视角2：图象过定点问题
[例3] 函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[解析] 因为函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝lga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
[答案] (0，－2)
求函数y＝m＋lga fxa>0，且a≠1的图象过的定点时，只需令fx＝1求出x，即得定点为x，m.
[变式训练3] 函数y＝2lga|1－x|＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)或(2,1)．
解析：令|1－x|＝1，则x＝0或2，此时y＝1.
所以函数图象过定点(0,1)或(2,1)．
命题视角3：对数函数图象的变换与识别
[例4] 作出函数y＝|lg2(x＋1)|＋2的图象．
[分析] 充分利用图象变换，即平移变换、翻折变换作图象．
[解] 第一步：作出y＝lg2x的图象(如图(1))；
第二步：将y＝lg2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度得y＝lg2(x＋1)的图象(如图(2))；
第三步：将y＝lg2(x＋1)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y＝|lg2(x＋1)|的图象(如图(3))；
第四步：将y＝|lg2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y＝|lg2(x＋1)|＋2的图象(如图(4))．
(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的函数，可先作出y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f(|x|)的图象．对于函数y＝|f(x)|，可先作出y＝f(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图象．
(2)如果只需要作出函数的大致图象时，可采用图象变换的方法．
[变式训练4] 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：
(1)y＝lg3(x－2)；(2)y＝|lg eq \s\d8(\f(1,2)) x|.
解：(1)函数y＝lg3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．
(2)y＝|lg eq \s\d8(\f(1,2)) x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg eq \s\d8(\f(1,2)) x，01，))其图象如图②.
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
类型三 对数函数的定义域
[例5] 求下列函数的定义域：
(1)y＝lg5(1－x)；
(2)y＝lg1－x5；
(3)y＝eq \r(lg0.54x－3) .
[分析] eq \x(函数解析式有意义)
→eq \x(列关于自变量的不等式组)→eq \x(得定义域)
[解] (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝lg5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1－x≠1，))
解得x<1，且x≠0，所以函数y＝lg1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,lg0.54x－3≥0，))
解得eq \f(3,4)所以函数y＝eq \r(lg0.54x－3)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
[变式训练5] 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝eq \f(1,1－lg3x－1)；(2)f(x)＝eq \r(lg eq \s\d8(\f(1,2)) x－1).
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg3x－1≠1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,x≠4.))
∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,lg eq \s\d8(\f(1,2)) x－1≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,x≤\f(1,2).))
∴01．若f(x)＝eq \f(1,lg eq \s\d8(\f(1,2)) 2x＋1)，则f(x)的定义域为( C )
A．(－eq \f(1,2)，0) B．(－eq \f(1,2)，＋∞)
C．(－eq \f(1,2)，0)∪(0，＋∞) D．(－eq \f(1,2)，2)
解析：由题得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1>0，,2x＋1≠1，))解得x>－eq \f(1,2)且x≠0.
2．函数y＝2＋lg5x(x≥1)的值域为( C )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：由x≥1知lg5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞)．
3．函数y＝lga(x－1)－1的图象过定点(2，－1)．
解析：∵令x－1＝1，则y＝－1，
∴该函数过定点(2，－1)．
4.函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bx≤0，,lgcx＋\f(1,9)x>0))的图象如图所示，则a＋b＋c＝eq \f(13,3).
解析：由题中图象可求得直线的方程为y＝2x＋2，又函数y＝lgceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝eq \f(1,3)，
所以a＋b＋c＝2＋2＋eq \f(1,3)＝eq \f(13,3).
5．设a>1，函数f(x)＝lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq \f(1,2)，求实数a的值．
解：∵a>1，∴f(x)＝lgax在(0，＋∞)上是增函数．
∴最大值为f(2a)，最小值为f(a)．
∴f(2a)－f(a)＝lga2a－lgaa＝eq \f(1,2)，
即lga2＝eq \f(1,2).∴a＝4.
——本课须掌握的两大问题
1．只有形如y＝lgax(a>0且a≠1)的函数才是对数函数．例如，y＝lg3x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,4)) x等都是对数函数；而y＝lg3(x＋1)，y＝2lg3x等都不是对数函数．
2．在对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)中，无论a取何值，对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，函数图象落在第一、四象限，且当01时函数单调递增．
定义
y＝lgax(a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象