人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试学案

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[重点] 对数的运算性质的推导与应用．
[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用．
知识点一 对数的运算性质
[填一填]
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0.那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN.
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN.
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
[答一答]
1．若M，N同号，则式子lga(M·N)＝lgaM＋lgaN成立吗？
提示：不一定，当M>0，N>0时成立，当M<0，N<0时不成立．
2．你能推导lga(MN)＝lgaM＋lgaN与lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN
(M，N>0，a>0且a≠1)两个公式吗？
提示：①设M＝am，N＝an，则MN＝am＋n.由对数的定义可得lgaM＝m，lgaN＝n，lga(MN)＝m＋n.
这样，我们可得lga(MN)＝lgaM＋lgaN.
②同样地，设M＝am，N＝an，
则eq \f(M,N)＝am－n.由对数定义可得lgaM＝m，
lgaN＝n，lgaeq \f(M,N)＝m－n，
即lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN.
知识点二 换底公式
[填一填]
换底公式常见的推论：
(1)lganbn＝lgab；
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab，特别lgab＝eq \f(1,lgba)；
(3)lgab·lgba＝1；
(4)lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
[答一答]
3．换底公式的作用是什么？
提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数．
4．若lg34·lg48·lg8m＝lg416，求m的值．
提示：∵lg34·lg48·lg8m＝lg416，
∴eq \f(lg4,lg3)·eq \f(lg8,lg4)·eq \f(lgm,lg8)＝lg442＝2，化简得lgm＝2lg3＝lg9，
∴m＝9.
类型一 对数运算性质的应用
[例1] 计算下列各式：
(1)eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245)；
(2)eq \f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8)；
(3)lg25＋eq \f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．
[解] (1)(方法1)原式＝eq \f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg2＋eq \f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq \f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq \f(1,2)lg5＝eq \f(1,2)lg2＋eq \f(1,2)lg5＝eq \f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq \f(1,2)lg10＝eq \f(1,2).
(方法2)原式＝lgeq \f(4\r(2),7)－lg4＋lg(7eq \r(5))＝lgeq \f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq \r(2)×eq \r(5))＝lgeq \r(10)＝eq \f(1,2).
(2)原式＝eq \f(lg4＋lg3,1＋lg0.6＋lg2)＝eq \f(lg12,lg10×0.6×2)＝eq \f(lg12,lg12)＝1.
(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.
利用对数的运算性质解决问题的一般思路：1把复杂的真数化简；2正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；3逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.
[变式训练1] (1)计算：lg5eq \r(3,625)＝eq \f(4,3)；
lg2(32×42)＝9.
(2)计算：lg8＋lg125＝3；lgeq \f(1,4)－lg25＝－2；2lg36－lg34＝2.
类型二 换底公式的应用
[例2] (1)计算：(lg32＋lg92)·(lg43＋lg83)；
(2)已知lg189＝a,18b＝5，试用a，b表示lg3645.
[解] (1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq \f(3lg2,2lg3)·eq \f(5lg3,6lg2)＝eq \f(5,4).
(2)由18b＝5，得lg185＝b，
∴lg3645＝eq \f(lg185×9,lg1818×2)＝eq \f(lg185＋lg189,1＋lg182)＝eq \f(lg185＋lg189,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(lg185＋lg189,2－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：lgab·lgba＝1.
[变式训练2] 计算下列各式：
(1)(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg52＋lg254＋lg1258)．
(2)eq \f(lg89,lg23)×lg6432.
解：(1)方法1：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg253＋\f(lg225,lg24)＋\f(lg25,lg28)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(lg54,lg525)＋\f(lg58,lg5125)))＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3lg25＋\f(2lg25,2lg22)＋\f(lg25,3lg22)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(2lg52,2lg55)＋\f(3lg52,3lg55)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1＋\f(1,3)))lg25·(3lg52)
＝13lg25·eq \f(lg22,lg25)＝13.
方法2：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg2,lg5)＋\f(lg4,lg25)＋\f(lg8,lg125)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13lg5,3lg2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(lg2,lg5)))＝13.
(2)方法1：原式＝eq \f(lg29,lg28)÷lg23×eq \f(lg232,lg264)＝eq \f(2lg23,3)÷lg23×eq \f(5,6)＝eq \f(5,9).
方法2：原式＝eq \f(lg9,lg8)÷eq \f(lg3,lg2)×eq \f(lg32,lg64)＝eq \f(2lg3,3lg2)×eq \f(lg2,lg3)×eq \f(5lg2,6lg2)＝eq \f(5,9).
类型三 与对数方程有关的问题
[例3] (1)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求eq \f(x,y)的值；
(2)解方程：lgeq \r(2)eq \r(x)＋lg2(x＋2)＝3.
[解] (1)由题可知lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，
所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))2－eq \f(x,y)－2＝0.
解得eq \f(x,y)＝2或eq \f(x,y)＝－1.
又因为x>0，y>0，x－y>0.所以eq \f(x,y)＝2.
(2)由方程可得lg2x＋lg2(x＋2)＝lg28.
所以lg2[x(x＋2)]＝lg28，
即x(x＋2)＝8.解得x1＝2，x2＝－4.
因为x>0，x＋2>0，所以x＝2.
对数方程问题的求解策略：,利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式，由真数相等求解方程，转化过程中注意真数大于零这一条件，防止增根.
[变式训练3] (1)方程lgx＋lg(x－1)＝1－lg5的根是( B )
A．－1 B．2
C．1或2 D．－1或2
(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则lgeq \r(2)eq \f(x,y)的值为4.
解析：(1)由真数大于0，易得x>1，原式可化为lg[x(x－1)]＝lg2⇒x(x－1)＝2⇒x2－x－2＝0⇒x1＝2，x2＝－1(舍)．
(2)因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，
所以lgxy＝lg(x－2y)2，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
因为x>0，y>0，x－2y>0，所以x＝y应舍去，
所以eq \f(x,y)＝4.故lgeq \r(2)eq \f(x,y)＝lgeq \r(2)4＝4.
类型四 对数的实际应用
[例4] 人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音强度I的单位用瓦/平方米(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lgeq \f(I,I0)(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12 W/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平．
[解] 由题意，可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12W/m2，则eq \f(I1,I0)＝1，故LI1＝10·lg1＝0，则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；
耳语的强度是I2＝1×10－10W/m2，则eq \f(I2,I0)＝102，
故LI2＝10lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝．
同理，恬静的无线电广播强度水平为40分贝．
对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型公式，在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算.
[变式训练4] 抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)
解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a(1－60%)n<0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n<0.001，两边取常用对数得n·lg0.4所以n>eq \f(lg0.001,lg0.4)＝eq \f(－3,2lg2－1)≈7.5.
故至少需要抽8次．
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B )
A．lgab·lgcb＝lgca
B．lgab·lgca＝lgcb
C．lga(bc)＝lgab·lgac
D．lga(b＋c)＝lgab＋lgac
解析：由换底公式得lgab·lgca＝eq \f(lgb,lga)·eq \f(lga,lgc)＝lgcb，所以B正确．
2．2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38的值为( B )
A.eq \f(1,2) B．2
C．3 D.eq \f(1,3)
解析：原式＝lg34－lg3eq \f(32,9)＋lg38＝lg3eq \f(4×8,\f(32,9))＝lg39＝2.
3．lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)的值是1.
解析：lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)＝lg(eq \r(5)×eq \r(20))＝lgeq \r(100)＝1.
4．若a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，则由换底公式可知lgab＝eq \f(lgb,lga)，lgba＝eq \f(lga,lgb)，所以lgab＝eq \f(1,lgba)，试利用此结论计算eq \f(1,lg321)＋eq \f(1,lg721)＝1.
解析：eq \f(1,lg321)＋eq \f(1,lg721)＝eq \f(lg3,lg21)＋eq \f(lg7,lg21)＝eq \f(lg3×7,lg21)＝1.
5．计算：(1)3lg72－lg79＋2lg7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2\r(2))))；
(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.
解：(1)原式＝lg78－lg79＋lg7eq \f(9,8)＝lg78－lg79＋lg79－lg78＝0.
(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5
＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.
——本课须掌握的两大问题
1．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①lgaNn＝(lgaN)n，②lga(MN)＝lgaM·lgaN，③lgaM±lgaN＝lga(M±N)．
2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
前提
条件
原对数的底数a的取值范围
a>0，且a≠1
原对数的真数b的取值范围
b>0
换底后对数的底数c的取值范围
c>0，且c≠1
公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)