人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念第2课时导学案

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[重点] 三角函数的正弦线、余弦线、正切线．
[难点] 三角函数线的应用．
知识点一 单位圆
[填一填]
(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆．
(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
知识点二 有向线段及三角函数线
[填一填]
1．有向线段
(1)定义：带有方向的线段．
(2)表示：用大写字母表示起点、终点，如有向线段OM，MP.
2．三角函数线：如图为角α的三种三角函数线，则：sinα＝MP；csα＝OM；tanα＝AT.
[答一答]
1．当角α的终边与x轴、y轴重合时，正弦线、余弦线、正切线如何？
提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，余弦线不变；
当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，正弦线不变．
2．如图为角α，β的三角函数线，请根据图中的三角函数线，完成下列填空：(用“>”或“<”填空)
(1)sinβ>sinα.
(2)csα>csβ.
(3)tanβ>tanα.
类型一 任意角的三角函数线
[例1] (1)作出－eq \f(π,3)的正弦线；
(2)作出eq \f(4π,3)的正切线．
[分析] 作三角函数线时，应根据三角函数线的定义，先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.
[解] (1)作出－eq \f(π,3)的正弦线如图①所示．

(2)作出eq \f(4,3)π的正切线如图②所示．
三角函数线的画法
1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.
2作正切线时，应从A1，0点引x轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T，即可得到正切线AT.
[变式训练1] 有三个命题：①eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)的正弦线相等；②eq \f(π,3)和eq \f(4π,3)的正切线相等；③eq \f(π,4)和eq \f(5π,4)的余弦线相等．其中正确的说法有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
类型二 利用三角函数线比较三角函数值的大小
[例2] 比较下列各组数的大小．
(1)cseq \f(4π,7)和cseq \f(5π,7).(2)sineq \f(π,7)和taneq \f(π,7).
[解] (1)如图所示，在单位圆中作出eq \f(4π,7)和eq \f(5π,7)的余弦线OM2和OM1，因为OM1cseq \f(5π,7).

(2)如图所示，分别作出eq \f(π,7)的正弦线和正切线．sineq \f(π,7)＝MP，taneq \f(π,7)＝AT，因为AT>MP，所以taneq \f(π,7)>sineq \f(π,7).
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负.
[变式训练2] (1)下列关系式中正确的是( C )
A．sin10°B．sin160°C．sin10°D．sin160°(2)sin1－cs1>0(填“>”或“<”)．
解析：(1)在同一单位圆中画出10°和160°的三角函数线，易得sin10°(2)因为eq \f(π,4)<1由三角函数线可得sin1>eq \f(\r(2),2)>cs1，
故sin1－cs1>0.
类型三 利用三角函数线解简单三角不等式
[例3] 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \r(2csx－1)；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
[分析] 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．
[解] (1)如图(1)．
∵2csx－1≥0，∴csx≥eq \f(1,2).
∴函数定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．
(2)如图(2)．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x∴－eq \f(\r(3),2)∴函数定义域为：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2π,3)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．
利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
1首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围.
2在应用三角函数线时，可根据这样一句话来理解：角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值，写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.
[变式训练3] 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sinα≥eq \f(\r(3),2)；(2)csα≤－eq \f(1,2).
解：(1)直线y＝eq \f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA与OB，则OA与OB围成的区域(图(1)的阴影部分)即为角α的终边范围．
故满足条件的角的集合为{α|eq \f(π,3)＋2kπ≤α≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z}．
(2)作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)的阴影部分)即为角α的终边范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq \f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq \f(4π,3)，k∈Z}．
1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( B )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上
2．已知eq \f(11π,6)的正弦线为MP，正切线为AT，则有( A )
A．MP与AT的方向相同 B．|MP|＝|AT|
C．MP>0，AT<0 D．MP<0，AT>0
解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP＝sineq \f(11π,6)<0，AT＝taneq \f(11π,6)<0.
3．若角α的正弦线的长度为eq \f(1,2)，且方向与y轴的正方向相反，则sinα的值为－eq \f(1,2).
4．如果eq \f(π,4)<α解析：如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM5．在单位圆中画出满足csα＝eq \f(1,2)的角α的终边，并写出α组成的集合．
——本课须掌握的四大问题
1．三角函数线的特征：①三角函数线的位置：正弦线为角α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段，余弦线在x轴上，正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．
2．三角函数线的定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，还给出了角α的三角函数线的画法，体现了数形结合思想，以“形”说“数”．也就是在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，又从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段的长度表示三角函数的数值，这也是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．
3．当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线变成一个点，此时角α的余弦值为1或－1，正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正弦值为－1或1，余弦值为0，正切值不存在．
4．在用字母表示三角函数线时注意方向，分清始点与终点，书写时不能颠倒顺序．