高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案，共9页。

[重点] 利用三角函数的图象和性质解决实际问题．
[难点] 三角函数模型的建立．
知识点 三角函数的应用
[填一填]
(1)根据实际问题的图象求出函数解析式．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用搜集的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．
[答一答]
1．散点图在建模过程中起到什么作用？
提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成不必要的失误．
2．应按怎样的流程解决三角函数模型的应用问题？
提示：应按如下流程进行：
类型一 函数解析式与图象的对应问题
[例1] 函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
[解析] 由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图象表示的函数为奇函数，B中图象表示的函数为偶函数，C中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．
[答案] C
已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.
[变式训练1] 函数y＝ln(csx)(－eq \f(π,2)解析：y＝ln(csx)(－eq \f(π,2)类型二 根据三角函数图象研究实际问题
[例2] 如图，某动物种群数量12月1日低至700,6月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量关于月份t的函数表达式；
(2)估计当年3月1日动物的种群数量．
[分析] (1)根据曲线求出函数表达式；(2)由表达式求出当年3月1日即t＝3时对应的函数值．
[解] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋b＝700，,A＋b＝900，))
解得A＝100，b＝800，
又周期T＝2(6－0)＝12，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6).
则有y＝100sin(eq \f(π,6)t＋φ)＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin(eq \f(π,6)×6＋φ)＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，
∴取φ＝－eq \f(π,2).
∴y＝100sin(eq \f(π,6)t－eq \f(π,2))＋800.
(2)当t＝3时，y＝100sin(eq \f(π,6)×3－eq \f(π,2))＋800＝800，即当年3月1日种群数量约是800.
这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y＝Asinωx＋φ＋b或y＝Acsωx＋φ＋b的函数来刻画，解这样的题一般很容易，只需根据已知条件确定参数求解函数解析式，再将题目涉及的具体的值代入计算即可.
[变式训练2] 某地夏天一天的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)，部分图象如图所示．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出该函数的解析式．
解：(1)由题图可知，最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．
(2)观察题图象可知从8时到14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．
∴A＝eq \f(1,2)×(50－30)＝10，b＝eq \f(1,2)×(50＋30)＝40.
∵eq \f(1,2)×eq \f(2π,ω)＝14－8，∴ω＝eq \f(π,6)，
∴y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋40，
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝eq \f(π,6)，
故所求函数解析式为y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))＋40，x∈[0,24]．
类型三 利用已知数据建立拟合函数模型
[例3] 某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
根据上述数据描出曲线，如图，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝Asinωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求函数解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
[解] (1)从题中的拟合曲线，可知函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，则函数的最小正周期为12 h，因此，eq \f(2π,ω)＝12，得ω＝eq \f(π,6).
∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10.
∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.
∴所求函数的解析式为y＝3sineq \f(π,6)t＋10，t∈[0,24]．
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5 (m)．
故当y≥11.5时就可以进港．
令y＝3sineq \f(π,6)t＋10≥11.5，得sineq \f(π,6)t≥eq \f(1,2)，
∴eq \f(π,6)＋2kπ≤eq \f(π,6)t≤eq \f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)，
∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5；
取k＝1，则13≤t≤17；
取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)．
∴该船可以在凌晨1点至5点进港；或在13点至17点进港．每次最长可以在港口停留4小时．
注意用数形结合的方法解决实际应用题，根据已知数据对应图，由图联想解析式等.
[变式训练3] 生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).
(1)作出这些数据的散点图；
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据；
(3)作出(2)中所选函数的图象．
解：(1)散点图如下：
(2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋C，则
C＝eq \f(37.4＋36.6,2)＝37，A＝eq \f(37.4－36.6,2)＝0.4，
ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,24)＝eq \f(π,12).
由0.4sin(eq \f(π,12)×16＋φ)＋37＝37.4，得sin(eq \f(4π,3)＋φ)＝1，取φ＝－eq \f(5π,6).
故可用函数y＝0.4sin(eq \f(π,12)t－eq \f(5π,6))＋37来近似描述这些数据．
(3)图象如下：
1．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( C )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：由题意可得频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(160π,2π)＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.
2．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( C )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3)))
B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))
D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
解析：由题图象得周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)＋\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，最大值为300，图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)，0))，则ω＝eq \f(2π,T)＝100π，A＝300，∴I＝300sin(100πt＋φ)．∴0＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100π×\f(1,150)＋φ)).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0.取φ＝eq \f(π,3)，
∴I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))).
3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要0.8s往复一次．
解析：由题图知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往复一次．
4．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋B＝8，,－A＋B＝4，))解得A＝2，B＝6.
周期T＝2(7－3)＝8，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,4)，
∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ))＋6.
又当x＝3时，y＝8，
∴8＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＋6.
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝1.由于|φ|∴φ＝－eq \f(π,4)，
∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋6.
5．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m?
解：(1)以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，
设t min时P距地面的高度为y，
依题意得y＝40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t－\f(π,2)))＋50.
(2)令40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t－\f(π,2)))＋50>70，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t－\f(π,2)))>eq \f(1,2)，
∴2kπ＋eq \f(π,6)∴2kπ＋eq \f(2π,3)∴3k＋1令k＝0得1因此，共有1 min P点距地面超过70 m.
——本课须掌握的两大问题
1．三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
2．三角函数模型的应用
三角函数模型在现实生活中主要有以下几方面的应用：
(1)在日常生活中的应用；
(2)在建筑学方面的应用；
(3)在航海中的应用；
(4)在气象学中的应用；
(5)在天文学中的应用；
(6)在物理学中的应用．
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
时间(时)
0
2
4
6
8
10
12
温度(℃)
36.8
36.7
36.6
36.7
36.8
37
37.2
时间(时)
14
16
18
20
22
24
温度(℃)
37.3
37.4
37.3
37.2
37
36.8