高中数学第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试学案设计

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类型1 指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【例1】 计算：(1)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－5lg53；
(2)1.5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))).
[解] (1)原式＝lg3eq \f(22×8,\f(32,9))－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＋2×2＋22×33－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝21＋4×27＝110.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．设3x＝4y＝36，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．1
D [由3x＝4y＝36得x＝lg336，y＝lg436，
∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.]
类型2 指数函数、对数函数的图象及应用
函数y＝ax及y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0,1)点，后者恒过(1,0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻拆、平移等变换得出的函数图象．
【例2】 (1)已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))的图象只可能是( )
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0)B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)
(1)C (2)C [(1)由题意可知f(x)＝ax与g(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))的单调性相同，故排除选项D，又g(－1)＝lga1＝0，∴排除选项AB，故选C.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．(1)若函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列图象对应的函数正确的是( )
A B C D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B [由已知函数图象可得，lga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝
3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝lg3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]
(2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
类型3 指数函数、对数函数的性质及应用
以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
【例3】 (1)若0A．3y<3xB．lgx3C．lg4x(2)已知a>0，a≠1且lga3>lga2，若函数f(x)＝lgax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(lgax)2－lgaeq \r(x)＋2的值域．
(1)C [因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝lgax的影响：当0lgy3，B错误．
对于C，函数y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，故lg4x对于D，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x在R上单调递减，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))y，D错误．]
(2)[解] ①因为lga3>lga2，所以f(x)＝lgax在[a,3a]上为增函数．
又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以lga(3a)－lgaa＝1，即lga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(lg3x)2－lg3eq \r(x)＋2＝(lg3x)2－eq \f(1,2)lg3x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3x－\f(1,4)))2＋eq \f(31,16).
令t＝lg3x，因为1≤x≤3，
所以0≤lg3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(31,16)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,16)，\f(5,2)))，
所以所求函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,16)，\f(5,2))).
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．(1)设a＝lg2π，b＝ eq lg\s\d5(\f(1,2)) π，c＝π－2，则( )
A．a>b>cB．b>a>c
C．a>c>bD．c>b>a
(2)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(1)C (2)A [(1)∵a＝lg2π>lg22＝1，b＝ eq lg\s\d5(\f(1,2)) π< eq lg\s\d5(\f(1,2)) 1＝0，c＝π－2＝eq \f(1,π2)，即0c>b，故选C.
(2)由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]
类型4 函数的零点与方程的根
函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性．
【例4】 已知定义在R上的函数y＝f(x)的图象是一条不间断的曲线，f(a)≠f(b)，其中a[证明] ∵f(x)在(a，b)上不间断，
∴F(x)＝f(x)－eq \f(fa＋fb,2)在(a，b)上连续．
又∵f(a)≠f(b)，∴f(a)－f(b)≠0.
F(a)＝f(a)－eq \f(fa＋fb,2)＝eq \f(fa－fb,2)，
F(b)＝f(b)－eq \f(fa＋fb,2)＝eq \f(fb－fa,2)，
∴F(a)F(b)＝eq \f(fa－fb,2)·eq \f(fb－fa,2)
＝－eq \f([fa－fb]2,4)<0，即F(a)F(b)<0.
∴函数F(x)在区间(a，b)上有零点．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
4．(1)方程eq \f(x3,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的根x0所在的区间为( )
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)
(2)设[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程2x－2[x]－1＝0的根有( )
A．4个B．3个
C．2个D．1个
(1)B (2)B [(1)令f(x)＝eq \f(x3,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，易知f(x)在R上单调递增，f(1)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)<0，f(2)＝2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)>0，
∴f(1)·f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有零点，故选B.
(2)方程2x－2[x]－1＝0根的个数等价于y＝2x－1与y＝2[x]的图象交点个数，
在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如图所示：
由图象可知，两个函数共有3个不同的交点，
∴方程2x－2[x]－1＝0有3个根．]
类型5 函数的实际应用
本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlgax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
【例5】 2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(eq \r(2)m)]＋4ln 2(其中k≠0)．当燃料质量为(eq \r(e)－1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；
(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)
[解] (1)由题意得4＝k{ln[m＋(eq \r(e)－1)m]－ln(eq \r(2)m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln(m＋x)－ln(eq \r(2)m)]＋4ln 2＝8ln eq \f(m＋x,m).
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，
则m＝479.8－x，又y＝8，
则8＝8ln eq \f(479.8,479.8－x)，解得x≈303.3.
故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
5．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了eq \f(1,5).
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的eq \f(1,1 000)，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
[解] (1)根据题意，得eq \f( 4,5)p0＝p0e－k，
∴e－k＝eq \f(4,5)，∴p(t)＝p0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))t.
(2)由p(t)＝p0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))t≤eq \f(1,1 000)p0，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))t≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30.
因此，至少还需过滤30个小时．
1．(2020·全国卷Ⅰ)设alg34＝2，则4－a＝( )
A．eq \f(1,16)B．eq \f(1,9)
C．eq \f(1,8)D．eq \f(1,6)
B [法一：因为alg34＝2，所以lg34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝eq \f(1,4a)＝eq \f(1,9)，故选B.
法二：因为alg34＝2，所以－alg34＝－2，所以lg34－a＝－2，所以4－a＝
3－2＝eq \f(1,32)＝eq \f(1,9)，故选B.
法三：因为alg34＝2，所以eq \f(a,2)＝eq \f(1,lg34)＝lg43，所以4eq \f(a,2)＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝eq \f(1,4a)＝eq \f(1,9)，故选B.]
2．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝lg32，b＝lg53，c＝eq \f(2,3)，则( )
A．a＜c＜bB．a＜b＜c
C．b＜c＜aD．c＜a＜b
A [ ∵23＜32，∴2＜3，∴lg32＜lg33＝eq \f(2,3)，∴a＜c.
∵33＞52，∴3＞5，∴lg53＞lg55＝eq \f(2,3)，∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A.]
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
B [∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(It1＝e0.38t1，,It2＝e0.38t2，,It2＝2It1，))则e0.38(t2－t1)＝2,0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.]
4．(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.8，c＝lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．bD [a＝30.7，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.8＝30.8，则b>a>1，lg0.70.85．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则( )
A．a>2bB．a<2b
C．a>b2D．aB [令f(x)＝2x＋lg2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋lg2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b<22b＋lg22b，所以f(a)