高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案及答案，共6页。


授课提示：对应学生用书第56页
[教材提炼]
知识点一 对数的概念
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如果2＝1.11x，如何求x？
知识梳理 (1)如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记为lg_N.
(3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把lgeN记作ln_N.
(4)对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN.
知识点二 对数的基本性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
由a0＝1，a1＝a，可想到怎样的对数关系？
知识梳理
[自主检测]
1．2m＝3化成对数式是( )
A．m＝lg32 B．m＝lg23
C．2＝lg3m D．2＝lgm3
答案：B
2．lg54＝a化成指数式是( )
A．54＝a B．45＝a
C．5a＝4 D．4a＝5
答案：C
3．在b＝lg3(m－1)中，实数m的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案：D
4．lg 7与ln 8的底数分别是( )
A．10,10 B．e，e
C．10，e D．e,10
答案：C
授课提示：对应学生用书第56页
探究一 指数式与对数式的互化
[例1] (1)将下列指数式化成对数式：
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,8)；②3－2＝eq \f(1,9)；③43＝64；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＝3.
(2)将下列对数式写成指数式：
①lg28＝3；②lgeq \f(1,2)eq \f(1,4)＝2；③lgaa2＝2(a>0，且a≠1)；④lg3eq \f(1,27)＝－3.
[解析] (1)①3＝lgeq \f(1,2)eq \f(1,8)；②－2＝lg3eq \f(1,9)；③3＝lg464；④x＝lgeq \f(1,3)3.
(2)①23＝8；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)；③a2＝a2(a>0，
且a≠1)；④3－3＝eq \f(1,27).
(1)lgaN＝b与ab＝N(a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．
(2)对数式与指数式的关系如图：
将下列对数式化为指数式：
(1)lg216＝4；(2)lgeq \f(1,3)27＝－3；(3)lg eq \r(3)x＝6.
解析：(1)24＝16.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27.
(3)(eq \r(3))6＝x.
探究二 利用指数与对数的互化求变量的值
[例2] [教材P123例2拓展探究]
(1)若lgx27＝eq \f(3,2)，则x＝________.
(2)lg2x＝－eq \f(2,3)，则x＝________.
(3)若－ln e3＝x，则x＝________.
(4)若xlg34＝1，则4x＋4－x＝________.
(5)若f(x)＝3x，则f(lg32)＝________.
[解析] (1)由lgx27＝eq \f(3,2)，可得＝27，
∴.
(2)由lg2x＝－eq \f(2,3)，可得.
∴x＝＝ eq \r(3,\f(1,4))＝eq \f(\r(3,2),2).
(3)由－ln e3＝x，则ln e3＝－x.
∴e－x＝e3，∴x＝－3.
(4)由xlg34＝1，
∴lg34＝eq \f(1,x)，∴3eq \f(1,x)＝4，
4x＝3，∴4－x＝eq \f(1,3)，
4x＋4－x＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3).
(5)设t＝lg32，则3t＝2，
∴f(lg32)＝f(t)＝3t＝2.
[答案] (1)9 (2)eq \f(\r(3,2),2) (3)－3 (4)eq \f(10,3) (5)2
指数与对数互化的本质
指数式ab＝N(a>0，且a≠1)与对数式b＝lgaN(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式.
探究三 对数的性质及应用
[例3] 求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg4x)＝0；
(2)lg3(lg x)＝1；
(3)ln[lg2(lg x)]＝0.
[解析] (1)∵lg2(lg4x)＝0，
∴lg4x＝20＝1，
∴x＝41＝4.
(2)∵lg3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)∵lg2(lg x)＝1，
∴lg x＝21＝2，
∴x＝102＝100.
(1)对数的性质：
①在指数式中N＞0，故零和负数没有对数．
②设a＞0，a≠1，则有a0＝1.∴lga1＝0.即1的对数等于0.
③设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以lgaa＝1，即底数的对数为1.
(2)涉及两个以上对数，方法由外向里，逐层解决，其中将1或0化成同底对数，有利于去掉lg，从而最终解出x.
(1)将(1)变为lg2(lg4x)＝1，求x值．
(2)将(2)式变为lg3(lg x)＝0，求x值．
解析：(1)由题意得lg4x＝2，∴x＝42＝16.
(2)lg x＝1，∴x＝10.
[例4] 若对数式为lg(1－2x)(3x＋2)，求x的取值范围．
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2x＞0,1－2x≠1,3x＋2＞0))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,2),x≠0,x＞－\f(2,3)))，
∴x的范围为{x|－eq \f(2,3)＜x＜eq \f(1,2)且x≠0}．
lgab中，必须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，a≠1,b＞0)).
对数式lg(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
解析：∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＞0,a－2≠1,5－a＞0))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＜a＜5,a≠3)).
故选D.
答案：D
授课提示：对应学生用书第58页
一、“完璧归赵”——指数式与对数式的换算
由ax＝N得x＝lgaN，再代回到ax＝N中，
可得出algaN＝N(a＞0，a≠1)
[典例] 计算
[解析]
(2)原式＝
(3)原式＝.
二、忽视对数式的存在条件致错
[典例] 若lg(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值．
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－7x＋13＝1 ①,x－2＞0 ②,x－2≠1 ③))，
由①得x2－7x＋12＝0.
∴x＝3或x＝4.
又由②③得x＞2且x≠3.
∴x＝4.
纠错心得 在对数的定义中：ab＝N⇔b＝lgaN要注意条件：a＞0且a≠1，N＞0，b∈R.对数本身的限定条件为底数大于0且不等于1，做题时常因忽略此条件而出错，要特别注意底数含有字母的情况．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实际问题，理解对数的概念．
数学抽象
数学运算
2.利用对数、指数关系，求对数值.
性质1
负数和0没有对数
性质2
1的对数是0，即lga1＝0(a＞0且a≠1)
性质3
底数的对数是1，即lgaa＝1(a＞0且a≠1)