2022年中考数学冲刺压轴题《因动点产生的等腰三角形问题》含答案试卷

这是一份2022年中考数学冲刺压轴题《因动点产生的等腰三角形问题》含答案试卷，共19页。试卷主要包含了所以4+y2＝16等内容，欢迎下载使用。

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，求AB、BD的长；
（2）如图1，求证：HF＝EF．
（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
图1 图2
例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和 SKIPIF 1 < 0 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．
（1）求a、b、c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
图1
例3如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
例4如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
例5如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
例6如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
1.2因动点产生的等腰三角形问题答案
例1如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，求AB、BD的长；
（2）如图1，求证：HF＝EF．
（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，△FAE与△FDH保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状．
思路点拨
1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．
2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．
满分解答
（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，所以AB＝ SKIPIF 1 < 0 ．
在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝ SKIPIF 1 < 0 ，所以DH＝1，AD＝2．
在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理，得BD＝ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，
∠DAH＝30°．
在Rt△ADE中，AE＝ SKIPIF 1 < 0 ．在Rt△ADH中，DH＝ SKIPIF 1 < 0 ．所以AE＝DH．
因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．
所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．
图3 图4 图5
（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．
由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．
因此FM＝ SKIPIF 1 < 0 ，△ACM是等边三角形．
又因为AE＝ SKIPIF 1 < 0 ，所以FM＝EA．
又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．
所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．
所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．
考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．
如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．
图6 图7
如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．
图8 图9 图10 图11
例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和 SKIPIF 1 < 0 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．
（1）求a、b、c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在三种情况．
思路点拨
1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．
2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．
满分解答
（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．
将 SKIPIF 1 < 0 代入y＝ax2，得 SKIPIF 1 < 0 ．解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去了负值）．
（2）抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
已知A(0, 2)，所以 SKIPIF 1 < 0 ＞ SKIPIF 1 < 0 ．
而圆心P到x轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．
所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．
（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．
在Rt△PMH中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以MH2＝4．
所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．
等腰△AMN存在三种情况：
①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．
图2 图3
②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2 SKIPIF 1 < 0 ．
此时x＝OH＝2 SKIPIF 1 < 0 ．所以点P的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为 SKIPIF 1 < 0 ．
图4 图5
考点伸展
如果点P在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
已知B(0, 1)，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
而圆心P到直线y＝－1的距离也为 SKIPIF 1 < 0 ，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．
例3如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．
请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．
思路点拨
1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．
满分解答
（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是
△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
图2 图3 图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．
此时 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
此时 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中， SKIPIF 1 < 0 ．
在Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ．所以∠QPD＝∠C．
由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．
此时 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
②如图6，当QC＝QD时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以QN＝CN－CQ＝ SKIPIF 1 < 0 （如图2所示）．
此时 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．
图5 图6
考点伸展
如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解 SKIPIF 1 < 0 ．
例4如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，
代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．
由 SKIPIF 1 < 0 ，BO＝CO，得PH＝BH＝2．
所以点P的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点M的坐标为(1, 1)、(1, SKIPIF 1 < 0 )、(1, SKIPIF 1 < 0 )或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得 SKIPIF 1 < 0 ．
此时点M的坐标为(1, SKIPIF 1 < 0 )或(1, SKIPIF 1 < 0 )．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
例5如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．
请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形
思路点拨
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．
满分解答
（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2， SKIPIF 1 < 0 ．
所以点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
代入点B SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当P在 SKIPIF 1 < 0 时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以 SKIPIF 1 < 0 ．解得 SKIPIF 1 < 0 ．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以 SKIPIF 1 < 0 ．解得 SKIPIF 1 < 0 ．
综合①、②、③，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，如图2所示．
图2 图3
考点伸展
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得抛物线的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 ．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．
例6如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
（1）解方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 所以点A的坐标是(3，4)．
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．整理，得 SKIPIF 1 < 0 ．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， SKIPIF 1 < 0 ，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， SKIPIF 1 < 0 为定值， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
如图5，当AP＝AQ时，解方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
如7，当PA＝PQ时，那么 SKIPIF 1 < 0 ．因此 SKIPIF 1 < 0 ．解方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，t＝1或 SKIPIF 1 < 0 或5或 SKIPIF 1 < 0 时，△APQ是等腰三角形．
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用 SKIPIF 1 < 0 来求解．