还剩27页未读，
继续阅读
广东省佛山市禅城区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版含答案）试卷
展开
这是一份广东省佛山市禅城区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版含答案）试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省佛山市禅城区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3＝ B．x2+y+3＝0
C．x2＝0 D．（x+2）（x﹣1）＝x2
2．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．矩形的对角线互相垂直
D．顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形
3．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
4．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝，则线段OB的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．已知a，b，c是非零实数，且＝＝＝k，其中a+b+c≠0，则k的值为 ．
12．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则4m﹣2m2＝ ．
13．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
14．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），则b＝ ．
15．从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是
16．如图，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ ．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
23．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，把矩形ABCD沿AC折，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形．
（2）连接ED交AC于点O，且DG＝6，AG＝，求CG的值．
（3）在（2）的条件下，求EH的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3＝ B．x2+y+3＝0
C．x2＝0 D．（x+2）（x﹣1）＝x2
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．中只有一个未知数x，但分母中含有未知数x，故它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+2y+3＝0中含有两个末知数x和y，故它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x2＝0中只有一个末知数x，且含末知数项的最高次数是2，故它是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．（x+2）（x﹣1）＝x2变形后为：
x2﹣x+2x﹣2＝x2，
x﹣2＝0，故它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．矩形的对角线互相垂直
D．顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形
【分析】分别利用菱形、正方形的判定方法、矩形的性质及判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
C、矩形的对角线相等但不互相垂直，故原命题错误，不符合题意；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，正确，符合题意；
故选：D．
3．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．
解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
5．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看和为偶数的情况数占所有情况数的多少即可．
解：第一个图中，指针指向1或2的概率是不相等的，关键是得出的概率不均等即面积不相等，所以把圆三等分就是2分成两个部分，这样分成三个区域后，列树状图得：共有6种情况，和为偶数的情况数有3种，所以概率为．
故选：A．
6．已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可得解．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴
而AB＝10，
∴．
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【分析】易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD＝∠A＝30°，那么BC＝2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．
解：∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD＝∠A＝30°；
Rt△BCD中，∠BCD＝30°，则BC＝2BD；
由①得：C△BCD：C△BAC＝BD：BC＝1：2；
故选：A．
8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝，则线段OB的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【分析】依据OM是△ADC的中位线即可得到AD的长，再根据矩形的性质即可得到CD的长，利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可得到OB的长．
解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，
∴OM是△ADC的中位线，
∴AD＝2OM＝9，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，
∴∠D＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝12，
∴Rt△ACD中，AC＝＝15，
∴Rt△ABC中，BO＝AC＝．
故选：C．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，
∴2（3﹣x）＝x，
解得x＝2．
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，可以先求出tan∠BAE的值，即可判断①；根据题意求出△ABE∽△ECF即可判断②；根据②中的结论可以得到CF，然后即可得到CF和CD的关系，从而可以判断③；根据相似三角形的判定方法可以判断④．
解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝a，
∴tan∠BAE＝＝＝≠＝tan30°，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
∵AE⊥BF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FEC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴，
∴BE•EC＝AB•CF，
∵BE＝EC，
∴CE2＝AB•CF，故②正确；
∴CF＝＝，
∴＝，故③错误；
在Rt△CEF中，，
在Rt△ABE中，AE＝＝a，
∵，
∴，
而∠ABE＝∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．已知a，b，c是非零实数，且＝＝＝k，其中a+b+c≠0，则k的值为 ．
【分析】首先根据条件＝＝＝k，得出a+b+c＝2（a+b+c）k，再根据a+b+c≠0，即可得出k的值．
解：∵＝＝＝k，
∴a＝（b+c）k，b＝（a+c）k，c＝（a+b）k，
∴a+b+c＝2（a+b+c）k，
∵a+b+c≠0，
∴k＝．
故答案为：．
12．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则4m﹣2m2＝ ﹣6 ．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣2m＝3，再把4m﹣2m2变形为﹣2（m2﹣2m），然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴4m﹣2m2＝﹣2（m2﹣2m）＝﹣2×3＝﹣6．
故答案为﹣6．
13．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积为 2 ．
【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．
解：∵菱形ABCD，
∴AD＝AB，OD＝OB，OA＝OC，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴OD＝1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO＝＝，
∴AC＝2，
则S菱形ABCD＝AC•BD＝2，
故答案为：2
14．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），则b＝ 4 ．
【分析】利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．
解：∵一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），
∴b＝﹣6×（﹣）＝4，
则b＝4．
故答案为：4．
15．从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出组成的两位数是4的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是4的倍数的结果数为2，
所以组成的两位数是4的倍数的概率＝＝．
故答案为．
16．如图，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ．
【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF的比例线段求得结果即可．
解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：，
解得：x＝4，
∴DE＝4，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ 3 ．
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出＝＝2，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x+3x＝3，求出x即可解决问题．
解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴＝＝2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，
∴x＝，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】（1）移项得出x2﹣2x＝2，配方后得出（x﹣1）2＝3，推出方程x﹣1＝±，求出方程的解即可；
（2）移项后得出3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，分解因式得到（x﹣1）（3x+2）＝0，推出方程3x+2＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．
【解答】（1）解：x2﹣2x﹣2＝0，
移项得：x2﹣2x＝2，
配方得：x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
即x﹣1＝±，
故原方程的解是x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）解：移项得：3x（x﹣1）+2x﹣2＝0，
即3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（3x+2）＝0，
即3x+2＝0，x﹣1＝0，
解得：．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
20．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．
【分析】根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC＝∠ECB，再根据等边对等角得OE＝OC，同理OC＝OF，可得EO＝FO，再有条件AO＝CO，可得到四边形AECF为平行四边形，再证明∠ECF＝90°，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理，OC＝OF，
∴OE＝OF．
∵AO＝CO，EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACP，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACP）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 20 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由题意可得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
（2）由题意可得：C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
解：（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
故答案为：20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；
如图：
（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，
男A1
男A2
…
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：＝．
22．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
23．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．
解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴．
同理，△EMF∽△AMB，
∴．
∵EF＝CD，
∴，即．
解得x＝6.6，
∵，
∴．
解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，把矩形ABCD沿AC折，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形．
（2）连接ED交AC于点O，且DG＝6，AG＝，求CG的值．
（3）在（2）的条件下，求EH的值．
【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；
（2）如图，连接ED交AC于点O，构造相似三角形△DCO∽△ACD，由该相似三角形的对应边成比例求得DC2＝OC•AC，可求AC的长，GC的长；
（3）通过证明△ADC∽△CHG可得GH的长，即可求EH的值．
【解答】（1）证明：由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG．
∵EG∥CD，
∴∠DCG＝∠EGC，
∴∠EGC＝∠ECG，
∴EG＝EC，
∴EG＝DC，且EG∥CD
∴四边形ECDG是平行四边形．
∵EG＝EC，
∴平行四边形ECDG是菱形；
（2）解：如图，连接ED交AC于点O，
∵四边形ECDG是菱形，
∴ED⊥AC，OC＝CG，CD＝GE＝6＝DG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴△DCO∽△ACD，
∴，
∴DC2＝OC•AC，
设OC＝x，则CG＝2x，AC＝2x+，
∴36＝x（2x+），
解得x1＝，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
∴AC＝10，CG＝；
（3）解：∵EG∥CD，CD⊥BC，
∴EG⊥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠GHC＝∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△CHG，
∴，
∴GH＝，
∵EH＝EG﹣GH，
∴EH＝6﹣＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 （2，2） ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
【分析】（1）求出AB，BC的长，再用勾股定理即可解决问题；
（2）存在，①当E在线段CO上时，△DEC为等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，易可求证△DBC为等边三角形，应用直角三角形特殊角30°即可求解，②，当E在OC的延长线上时，△DCE为等腰三角形，只有CD＝CE，根据角度关系易求解；
（3）过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，易可求解A、C所在的直线方程，设D坐标为，易求证△BMD∽△DNE，根据线段之间关系即可求解．
解：（1）四边形AOCB为矩形，
∴OC＝AB，OC//AB，∠ABC＝90°，OA＝BC，
∵∠OCA＝30°，
∴∠BAC＝30°，
则在Rt△ACB中，AC＝2BC，
∵点A坐标为（0，2），
∴BC＝OA＝2，
则AC＝4，
∴＝＝，
∴；
（2）存在，理由如下：
∵四边形AOCB为矩形，
∴AB//OC，
∴∠ACO＝∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝60°，
①如图，当E在线段CO上时，△DEC为等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．
②如图，当E在OC的延长线上时，△DCE为等腰三角形，只有CD＝CE，
∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
AB＝AD＝．
综上，满足条件的AD的值为2或．
（3）为定值．理由如下：
如图，过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，
∵A（0，2）和C（，0）
设直线AC的表达式为y＝kx+b，代入A、C坐标后得
解得，
∴直线AC的表达式为，
设D坐标为，
∴，，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM+∠NDE＝90°，
∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠NDE，
∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴△BMD∽△DNE，
∴＝．
2020-2021学年广东省佛山市禅城区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3＝ B．x2+y+3＝0
C．x2＝0 D．（x+2）（x﹣1）＝x2
2．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．矩形的对角线互相垂直
D．顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形
3．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
4．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝，则线段OB的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．已知a，b，c是非零实数，且＝＝＝k，其中a+b+c≠0，则k的值为 ．
12．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则4m﹣2m2＝ ．
13．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
14．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），则b＝ ．
15．从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是
16．如图，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ ．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
23．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，把矩形ABCD沿AC折，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形．
（2）连接ED交AC于点O，且DG＝6，AG＝，求CG的值．
（3）在（2）的条件下，求EH的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3＝ B．x2+y+3＝0
C．x2＝0 D．（x+2）（x﹣1）＝x2
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．中只有一个未知数x，但分母中含有未知数x，故它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+2y+3＝0中含有两个末知数x和y，故它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x2＝0中只有一个末知数x，且含末知数项的最高次数是2，故它是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．（x+2）（x﹣1）＝x2变形后为：
x2﹣x+2x﹣2＝x2，
x﹣2＝0，故它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．矩形的对角线互相垂直
D．顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形
【分析】分别利用菱形、正方形的判定方法、矩形的性质及判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
C、矩形的对角线相等但不互相垂直，故原命题错误，不符合题意；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，正确，符合题意；
故选：D．
3．扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．
解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
5．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看和为偶数的情况数占所有情况数的多少即可．
解：第一个图中，指针指向1或2的概率是不相等的，关键是得出的概率不均等即面积不相等，所以把圆三等分就是2分成两个部分，这样分成三个区域后，列树状图得：共有6种情况，和为偶数的情况数有3种，所以概率为．
故选：A．
6．已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可得解．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴
而AB＝10，
∴．
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【分析】易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD＝∠A＝30°，那么BC＝2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．
解：∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD＝∠A＝30°；
Rt△BCD中，∠BCD＝30°，则BC＝2BD；
由①得：C△BCD：C△BAC＝BD：BC＝1：2；
故选：A．
8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝，则线段OB的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【分析】依据OM是△ADC的中位线即可得到AD的长，再根据矩形的性质即可得到CD的长，利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可得到OB的长．
解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，
∴OM是△ADC的中位线，
∴AD＝2OM＝9，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，
∴∠D＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝12，
∴Rt△ACD中，AC＝＝15，
∴Rt△ABC中，BO＝AC＝．
故选：C．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，
∴2（3﹣x）＝x，
解得x＝2．
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，可以先求出tan∠BAE的值，即可判断①；根据题意求出△ABE∽△ECF即可判断②；根据②中的结论可以得到CF，然后即可得到CF和CD的关系，从而可以判断③；根据相似三角形的判定方法可以判断④．
解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝a，
∴tan∠BAE＝＝＝≠＝tan30°，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
∵AE⊥BF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FEC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴，
∴BE•EC＝AB•CF，
∵BE＝EC，
∴CE2＝AB•CF，故②正确；
∴CF＝＝，
∴＝，故③错误；
在Rt△CEF中，，
在Rt△ABE中，AE＝＝a，
∵，
∴，
而∠ABE＝∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．已知a，b，c是非零实数，且＝＝＝k，其中a+b+c≠0，则k的值为 ．
【分析】首先根据条件＝＝＝k，得出a+b+c＝2（a+b+c）k，再根据a+b+c≠0，即可得出k的值．
解：∵＝＝＝k，
∴a＝（b+c）k，b＝（a+c）k，c＝（a+b）k，
∴a+b+c＝2（a+b+c）k，
∵a+b+c≠0，
∴k＝．
故答案为：．
12．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则4m﹣2m2＝ ﹣6 ．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣2m＝3，再把4m﹣2m2变形为﹣2（m2﹣2m），然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴4m﹣2m2＝﹣2（m2﹣2m）＝﹣2×3＝﹣6．
故答案为﹣6．
13．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积为 2 ．
【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．
解：∵菱形ABCD，
∴AD＝AB，OD＝OB，OA＝OC，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴OD＝1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO＝＝，
∴AC＝2，
则S菱形ABCD＝AC•BD＝2，
故答案为：2
14．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），则b＝ 4 ．
【分析】利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．
解：∵一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），
∴b＝﹣6×（﹣）＝4，
则b＝4．
故答案为：4．
15．从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出组成的两位数是4的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是4的倍数的结果数为2，
所以组成的两位数是4的倍数的概率＝＝．
故答案为．
16．如图，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ．
【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF的比例线段求得结果即可．
解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：，
解得：x＝4，
∴DE＝4，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ 3 ．
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出＝＝2，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x+3x＝3，求出x即可解决问题．
解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴＝＝2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，
∴x＝，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】（1）移项得出x2﹣2x＝2，配方后得出（x﹣1）2＝3，推出方程x﹣1＝±，求出方程的解即可；
（2）移项后得出3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，分解因式得到（x﹣1）（3x+2）＝0，推出方程3x+2＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．
【解答】（1）解：x2﹣2x﹣2＝0，
移项得：x2﹣2x＝2，
配方得：x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
即x﹣1＝±，
故原方程的解是x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）解：移项得：3x（x﹣1）+2x﹣2＝0，
即3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（3x+2）＝0，
即3x+2＝0，x﹣1＝0，
解得：．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
20．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．
【分析】根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC＝∠ECB，再根据等边对等角得OE＝OC，同理OC＝OF，可得EO＝FO，再有条件AO＝CO，可得到四边形AECF为平行四边形，再证明∠ECF＝90°，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理，OC＝OF，
∴OE＝OF．
∵AO＝CO，EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACP，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACP）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 20 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由题意可得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
（2）由题意可得：C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
解：（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
故答案为：20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；
如图：
（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，
男A1
男A2
…
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：＝．
22．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
23．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．
解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴．
同理，△EMF∽△AMB，
∴．
∵EF＝CD，
∴，即．
解得x＝6.6，
∵，
∴．
解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，把矩形ABCD沿AC折，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形．
（2）连接ED交AC于点O，且DG＝6，AG＝，求CG的值．
（3）在（2）的条件下，求EH的值．
【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；
（2）如图，连接ED交AC于点O，构造相似三角形△DCO∽△ACD，由该相似三角形的对应边成比例求得DC2＝OC•AC，可求AC的长，GC的长；
（3）通过证明△ADC∽△CHG可得GH的长，即可求EH的值．
【解答】（1）证明：由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG．
∵EG∥CD，
∴∠DCG＝∠EGC，
∴∠EGC＝∠ECG，
∴EG＝EC，
∴EG＝DC，且EG∥CD
∴四边形ECDG是平行四边形．
∵EG＝EC，
∴平行四边形ECDG是菱形；
（2）解：如图，连接ED交AC于点O，
∵四边形ECDG是菱形，
∴ED⊥AC，OC＝CG，CD＝GE＝6＝DG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴△DCO∽△ACD，
∴，
∴DC2＝OC•AC，
设OC＝x，则CG＝2x，AC＝2x+，
∴36＝x（2x+），
解得x1＝，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
∴AC＝10，CG＝；
（3）解：∵EG∥CD，CD⊥BC，
∴EG⊥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠GHC＝∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△CHG，
∴，
∴GH＝，
∵EH＝EG﹣GH，
∴EH＝6﹣＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 （2，2） ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
【分析】（1）求出AB，BC的长，再用勾股定理即可解决问题；
（2）存在，①当E在线段CO上时，△DEC为等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，易可求证△DBC为等边三角形，应用直角三角形特殊角30°即可求解，②，当E在OC的延长线上时，△DCE为等腰三角形，只有CD＝CE，根据角度关系易求解；
（3）过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，易可求解A、C所在的直线方程，设D坐标为，易求证△BMD∽△DNE，根据线段之间关系即可求解．
解：（1）四边形AOCB为矩形，
∴OC＝AB，OC//AB，∠ABC＝90°，OA＝BC，
∵∠OCA＝30°，
∴∠BAC＝30°，
则在Rt△ACB中，AC＝2BC，
∵点A坐标为（0，2），
∴BC＝OA＝2，
则AC＝4，
∴＝＝，
∴；
（2）存在，理由如下：
∵四边形AOCB为矩形，
∴AB//OC，
∴∠ACO＝∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝60°，
①如图，当E在线段CO上时，△DEC为等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．
②如图，当E在OC的延长线上时，△DCE为等腰三角形，只有CD＝CE，
∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
AB＝AD＝．
综上，满足条件的AD的值为2或．
（3）为定值．理由如下：
如图，过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，
∵A（0，2）和C（，0）
设直线AC的表达式为y＝kx+b，代入A、C坐标后得
解得，
∴直线AC的表达式为，
设D坐标为，
∴，，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM+∠NDE＝90°，
∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠NDE，
∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴△BMD∽△DNE，
∴＝．
相关试卷
广东省佛山市禅城区华英中学2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷（Word版含答案）： 这是一份广东省佛山市禅城区华英中学2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷（Word版含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省佛山市禅城区中考一模数学试卷(含答案)： 这是一份2023年广东省佛山市禅城区中考一模数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省佛山市禅城区九年级下学期科研（二）数学试卷(word版含答案)： 这是一份2022年广东省佛山市禅城区九年级下学期科研（二）数学试卷(word版含答案)，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
