2020-2021学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期末数学考试（理）试题含答案

双鸭山市第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试

数学（理科）

（考试时间：120分钟     满分：150分）

一、单选题（每题5分，12道小题，共60分）

1．已知集合，集合，则的子集个数为（    ）（原创）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）（原创）

A． B． C． D．

3．已知命题：，，若是假命题，则实数的取值范围是（    ）（改编）

A． B． C． D．

4．已知，则（    ）（原创）

A． B． C． D．3

5．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

6．设则（    ）（改编）

A． B． C． D．

7．已知函数有最小值，则的取值范围是（    ）（改编）

A． B． C． D．

8．已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（    ）（原创）

A． B． C． D．

9．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ）（改编）

A． B． C． D．

10．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ）（改编）

A． B．

C． D．

11．已知函数，且，则实数a的取值范围是（   ）（原创）

A． B．     C． D．

12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，；

②函数有2个零点；

③，，都有；

④的解集为.

其中正确的命题是（    ）（改编）

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

二、填空题（每题5分，4道小题，共20分）

13．若关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为_______．

14．函数的最小值是________．（改编）

15．直线（为参数），点在椭圆上运动，则椭圆上点到直线的最大距离为______.（原创）

16．已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为_______．（原创）

三、解答题（共70分）

17．（10分）已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求的取值范围．（原创）

18．（12分）已知，，.

（1）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.（原创）

19．（12分）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．（改编）

20．（12分）在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足.

（1）求的值,并求得解析式；

（2）设函数，求在区间上的最大值.（改编）

21.（12分）在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系

（1）求曲线的直角坐标方程，并说明是什么曲线；

（2）直线的参数方程为为参数，，点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，求的最大值.

22．（12分）已知函数

（1）当，求函数的单调区间；

（2）若有且只有一个实数解，求实数的取值范围.（改编）

参考答案

1．D

由得，则集合，所以，故的4子集个数为

2．B

3．D

4．B

，

；

5．C

对于A， ，

，

因为是减函数，是增函数，根据复合函数的单调性的判断方法（同增异减），所以是减函数，故A错误；

对于B，，由的性质可得在上不具备单调性，故B错误；

对于C，，因为与都是增函数，所以是增函数，

，所以是奇函数，故C正确；

对于D，，，故D错误.

6．C

先利用的单调性判断a、b的大小，再把a、c分别与1比较，从而得到答案.

7．A

如图所示可得：
或，

解得：，

8．D

由条件可知，，且，

即，即，

那么，所以函数是周期为4的函数，

.

9．A

由题意，函数对任意的都有成立，

即函数为上的减函数，

可得解得，

10．D

【分析】

由恒成立和能成立思想可确定，根据对号函数和指数函数的单调性可求得，由此构造不等式求得结果.

，，使得，，

在上单调递减，；

在上单调递增，，

，解得：

11．B

12．C

解：函数定义在上的奇函数，当时，，下面逐一判断：

对于①，当时，则，所以，

整理得，故①正确；

对于②，当时，由可得，即，故，又函数在处有定义，故，故函数有3个零点，故②错误；

对于③，当时，，

所以时，有，时，有，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以时取得最小值，且时，，

时，所以，即，

可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象，

综上时，值域为，当时，值域为，而

所以的值域为.

故，，都有，即，故，即③正确.

对于④，当时，则的解集为；当时，的解集为；当时，成立.

故的解集为，故④错误；

13．

由可得，

解得：或，且，

因为方程的两根分别位于区间，内，

所以且，解得，

故答案为：

14．-4

【分析】

先令，将原函数化为，根据二次函数的性质，即可求出结果.

15．

由得，设，则点到的距离，即椭圆上点到直线的最大距离为.

16．2e

17．（1）图像见解析；（2）

【详解】

（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移5个单位，.

18．（1）或；（2）,2]

【详解】

（1）当时，，

由，可得，即：.

因为为真命题，为假命题，故与一真一假，

若真假，则，该不等式组无解；

若假真，则，得或.

综上所述，实数的取值范围为或.

（2）由题意，：，，

因为是的充分不必要条件，故，

，得，

故实数的取值范围为,2].

19．（1）；（2）.

（2）不等式对任意恒成立，只需，

由，

所以，

所以，

所以或，

解得：或.

综上，.

20．（1）；；（2）.

【详解】

（1）令，则，所以，

由以上两式，解得，

即，所以；

（2）.

当，即时，此时，函数在区间上单调递增，

；

当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则.

综上，.

21．（1）；曲线是以为圆心，半径为2的圆；（2）2.

【分析】

（1）化简极坐标方程，将极坐标与直角坐标方程的转化公式，代入求得直角坐标方程，并描述曲线；

（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，根据参数方程的几何意义，求出问题的表达式，从而求得最大值.

【详解】

（1）

由知，，即

曲线是以为圆心，半径为2的圆；

（2）联立，化简得

则由韦达定理知，

则由直线的参数方程几何意义知，设，，

则，

由，当且仅当时，取得最大值2.

22．（1）单调减区间为，的单调增区间为；（2）或.

解：（2），,

①时，恒成立，单调递增

，取且，则

唯一，使，符合题意

②时，，,∴无零点，与题意不符

③时，，，单调递减

，，单调递增

<1>，，有唯一零点，符合题意

<2>时，令，

由，∴在单调递减

由，∴

由，∴

∴，∴无零点，与题意不符

<3>，，由，∴

∴，使

设，由，∴单调递增

由，∴

∴

∴，

∴有2个零点，与题意不符

综上：或.