2020-2021学年辽宁省抚顺市六校协作体高一上学期期末数学考试试题含解析

2020-2021学年辽宁省抚顺市六校协作体高一上学期期末考试试题

数学

一、单选题

1．已知集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接进行交集的运算即可．

【详解】，，

．

故选：．

2．命题“”的否定是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据含有一个量词的命题的否定是改量词，再否结论可得出.

【详解】根据含有一个量词的命题的否定是改量词，再否结论，

所以命题“”的否定是“”.

故选：D.

3．已知，是的（  ）条件.

A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项.

【详解】或，

不能推出，但能推出，

故是的必要不充分条件，

故选：.

4．函数的定义域为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数有意义列出不等式组即可求解.

【详解】函数定义域满足，

故，

故选:B.

5．已知函数，（且），若，则函数的图像是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据解析式，求得的解析式，由判断出的取值范围，由此判断出的图像.

【详解】由于，所以，而，所以，所以函数单调递减，过，所以函数单调递减，过，故选A.

【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数互为反函数，考查图像平移，考查对数的正负以及单调性，属于中档题.

6．已知，则的大小关系为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的图象及性质即可求出结果.

【详解】由指数函数和对数函数的图象及性质可知，

则，

故选：.

7．已知向量，若，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量共线的坐标表示可得，再由向量线性坐标表示即可求解.

【详解】已知向量，

则，解得，

则.

故选：C

8．设是奇函数，则（  ）

A．，是增函数 B．，是增函数

C．，是减函数 D．，是减函数

【答案】A

【分析】由函数为奇函数可得，再由指数函数单调性即可得出选项.

【详解】是奇函数，

则，

故，

又是增函数是增函数，

是减函数是增函数，

所以是增函数.

故选：A.

二、多选题

9．、、、均为实数，且，，则下列结论正确的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】利用不等式的基本性质以及特殊值法可判断各选项的正误.

【详解】因为、、、均为实数，且，，

由不等式的基本性质可得，，AC选项正确；

因为，则，故，D选项正确；

取，，，，则，B选项错误.

故选：ACD.

10．下列计算正确的有（  ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用指数的运算性质可判断A；利用对数的运算性质可判断B、C；由根式的性质可判断D.

【详解】，正确；

，B正确；

，C不正确；

，D不正确.

故选：AB.

11．若函数且)在区间上最大值为，则的可能值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】讨论或，根据函数的单调性求出其最大值即可求解.

【详解】

若，当时最大，此时取得最大值，

即，

解得或（舍去），

故;

若，当时最大，此时取得最大值，

即，，

解得或（舍去），

故

故选：BC

12．已知是偶函数，对任意的都有，且当，且时，恒成立，则（  ）

A． B．直线是图像的对称轴

C．在上是增函数 D．方程在上有个实根.

【答案】ABD

【分析】由是偶函数，即，从而判断选项；

由，可得的图象关于直线对称，再由函数的周期可判断选项；根据已知和周期即可判断选项；

由（5），函数的周期性和奇偶性即可判断选项．

【详解】对于，对任意的都有（3），令，则（3）（3）（3）

故（3），即，因为是偶函数，

即，（5），故正确；

对于，由可得，可知是函数的对称轴，又为偶函数，故也是的对称轴，故选项是正确的；

对于，由，，，且时，恒成立知在，为减函数，是函数的对称轴，则可得在，为增函数，由可得在，为减函数，在，是增函数，故不正确；

对于，已知（5），则（1），，，故正确．

故选：．

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是熟练掌握周期与对称的相互转化，即“同号断周期，异号断对称，两个对称必有周期”

三、填空题

13．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________.

【答案】

【分析】由不等式的解集为，可知是方程的两个根，

由韦达定理可知，可知不等式等价于，解绝对值不等式，即可求出结果.

【详解】因为不等式的解集为

所以是方程的两个根，

所以.

所以不等式等价于

解不等式，得，，

即不等式的解集为.

故答案为：.

14．已知的平均数为，标准差为，且，其中.则的平均数与方差的和为_______.

【答案】

【分析】根据平均数、方差的性质计算可得；

【详解】解：已知，则，

则

故答案为：

15．甲乙丙三人进行射击训练，他们每次射击命中目标的概率依次为和，若他们各向目标射击一次，则恰有两人击中目标的概率为______.

【答案】

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

【详解】.

故答案为：

16．若函数在上为减函数，则的取值范围为_______.

【答案】

【分析】根据对数型函数的单调性以及定义域可得，解不等式即可求解.

【详解】函数在上为减函数，

需要满足以下条件:

即，

故.

故答案为：

四、解答题

17．已知命题:①关于在上有两个零点；②关于的不等式的解集是；③在定义域内是减函数.

从以上三个命题中任选一个作为命题，命题:函数的定义域为，为了使，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.

【答案】.

【分析】各选①②③作为命题p，然后分别以命题p、q为真命题求出a的范围，再讨论p、q中一真一假时a的范围，从而可以求解.

【详解】选①作为命题：

若为真命题，则.

命题函数的定义域为，知不等式的解集为，需，

若为真命题，.

因为，有且只有一个是真命题，所以，一真一假.

当假，真时，由，可得;

当真，假时，由，可得.

综上可知：实数的取值范围是

选②作为命题：

若为真命题，则

命题函数的定义域为，知不等式的解集为，需，

若为真命题，.

因为，有且只有一个是真命题，所以，一真一假.

当假，真时，由，可得;

当真，假时，由，可得.

综上可知：实数的取值范围是.

选作为命题：

若为真命题，则.

函数的定义域为，知不等式的解集为，需，

若为真命题，

当假，真时，由，可得;

当真，假时，由，可得.

综上可知：实数的取值范围是.

18．已知关于的一元二次不等式的解集为.

（1）求函数的最小值:

（2）解关于的一元二次不等式.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集可得，从而求得，再利用基本不等式即可求解.

（2）将不等式化为，利用一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】解:因为的解集为，

所以，

解得:.

实数的取值范围:.

因为

所以

当且仅当，即时取等号，

所以函数的最小值为;

可化为，

因为

所以

故不等式的解集为.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

19．某玩具厂生产玩具，每个玩具的成本为元，出厂单价定为元，该厂为了鼓励各商场销售商订购，决定每一次订购量超过个玩具时，每多订购一个，多订购的全部玩具的出厂单价就降元，但实际出厂单价不能低于元.

（1）当一次订购量为多少个时，玩具的实际出厂单价恰降为元？

（2）设一次订购量为个，玩具的实际出厂单价为元，写出函数的表达式，

（3）当某商场销售商一次订购个玩具时，该厂获得的利润是多少元？如果订购个，利润又是多少元？

【答案】（1）个；（2）；（3）6000元，利润是元.

【分析】（1）设每个玩具的实际出厂价格恰好降为71元时，一次订购量为个，可得，由此求得即可；

（2）直接由题意分段写出函数的表达式；

（3）直接由（2）中的分段函数解析式求解即可．

【详解】解:设每个玩具的实际出厂价格恰好降为元时，一次订购量为个，

则

因此，当一次订购量为个时，每个玩具的实际出厂价降为元.

当时，;

当时，

当时，.

所以

设销售商的一次订购量为个玩具时，工厂获得的利润为元，

则

当时，;

当时，.

因此，当销售商一次订购个玩具时，该厂获得的利润是元;

如果订购个玩具，利润是元.

【点睛】易错点睛：函数模型类型的题目根据是根据题目构造函数，一般涉及到分段函数，求解时注意.

20．如图所示，在中，.

（1）试用向量来表示;

（2）交于点，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用向量加、减以及数乘即可求解.

（2）利用向量共线可得，再由，可得，由向量不共线，列出方程，解方程组即可求解.

【详解】解:因为，

所以，

所以

因为，

所以，

所以.

因为三点共线，

所以，

设，

则.

因为三点共线，

所以

存在实数使，

由于向量不共线，则

解得

所以，

所以.

21．某市从2019年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组，…，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:

（1）求分数在内的频数;

（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如:组区间的中点值为)，作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分;

（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至少有人在分数段内的概率.

【答案】（1）24；（2）121；（3）.

【分析】（1）根据频率和为得分数在内的频率，进而即可对于的频数；

（2）利用频率分布直方图求解平均数即可；

（3）结合已知数据，由分层抽样得分数段内抽取人，分数段内抽取人，再根据古典概型公式并结合对立事件的概率计算求解即可.

【详解】解: 分数在内的频率为

故频数为

估计平均分为

由题意，分数段的人数为(人).

分数段的人数为(人).

用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，

所以需在分数段内抽取人，分别记为﹔

在分数段内抽取人，分别记为;

设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，

则样本空间共包含个样本点

事件:“从样本中任取人，人都不在在分数段内”

，只有个样本点，

所以

22．若函数满足(其中且).

（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性;

（2）当时，的值恒为负数，求的取值范围.

【答案】（1），答案见解析；（2）.

【分析】（1）利用换元法令，可求得，利用函数奇偶性的定义即可判断函数为奇函数，由指数函数的单调性即可判断函数的单调性；

（2）利用函数的单调性可将的值恒为负数转化为，可得关于的不等式，即可求解．

【详解】解：（1）令，

则，

所以

所以，

故为奇函数

当时，为增函数，为增函数，且，

所以为增函数．

当时，为减函数，为减函数，且，

所以为增函数.

综上可知在上为增函数．

（2）因为是上的增函数，

所以也是上的增函数.

由，得，

要使在上恒为负数，

只需，

即:

又已知且

因此的取值范围为