2020-2021学年河北省正定中学高一上学期第一次月考数学试题含解析

2020-2021学年河北省正定中学高一上学期第一次月考试题

数学

一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M＝{x|-4＜x＜2}，N＝{-2，-1，0，1，2，3，4}，则M∩N＝（    ）

A．{-2，-1，0，1，2}    B．{-2，-1，0，1，4}

C．{-2，-1，0，1}    D．{-1，0，1}

2．命题“，x2＋2x＋2≤0”的否定是（    ）

A．，x2＋2x＋2＞0    B．，x2＋2x＋2≤0

C．，x2＋2x＋2＞0     D．，x2＋2x＋2≥0

3．2020年正定高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ）

A．7    B．8    C．10    D．12

4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

5．已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（    ）

A．    B．a2＞b2    C．    D．a|c|＞b|c|

6．若，不等式x2＋ax-2≤0恒成立，则a的取值范围是（    ）

A．    B．    C．{a|a＞1}    D．

7．设a，b是关于x的一元二次方程x2-2mx＋m＋6＝0的两个实根，则（a-1）2＋（b-1）2的最小值是（    ）

A．    B．18    C．8    D．-6

8．若两个正实数x，y满足，且关于m的不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）

A．{m|-1＜m＜4}    B．{m|m＜-1或m＞4}

C．{m|-4＜m＜1}    D．{m|m＜0或m＞3}

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9．下列命题中假命题的是（    ）

A．，x4≥1    B．，

C．，    D．，|x0|≤0

10．若关于x的不等式ax2＋bx-1＞0的解集是{x|-2＜x＜-1}，则下列说法正确的是（    ）

A．a-b＝1    B．bx2＋ax＋1＞0的解集是

C．a＝-2    D．bx2＋ax-1＜0的解集是

11．若x∈A，则，称A为“影子关系”集合．下列对集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合叙述正确的是（    ）

A．集合个数为7    B．集合个数为8

C．含有1的集合个数为4    D．元素个数为2的集合有2个

12．已知正实数a，b，c满足a2-ab＋4b2-c＝0，当取最小值时，下列说法正确的是（    ）

A．a＝2b    B．c＝4b2    C．a＋b-c的最大值为    D．a＋b-c的最大值为

三、填空题：本题共4小题

13．已知a＞0，b＞0，ab＝16，则3a＋b的最小值是________．

14．已知集合A＝{x|-1≤x≤3}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，C＝{y|y＝2x＋a，x∈A}，若满足，则实数a的取值范围为________．

15．若实数α，β满足-1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．

16．在R上定义运算：，若不等式对任意实数x∈R恒成立，则实数a的最大值为________．

四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知集合A＝{-4，2a-1，a2}，B＝{a-5，1-a，9}，若9∈（A∩B），求实数a的值．

18．已知a∈R，集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋5x-6≤0}．

（1）当a＝-1时，求A∩B；

（2）若A∪B＝B，求a的取值范围．

19．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径的半圆弧于D，连结OD，作CE⊥OD，垂足为E，请从下列不等式①、②、③中选出表示CD≥DE的序号（不需要写出推导过程，只需选出不等式序号即可），并证明选出的不等式．

①（a＞0，b＞0）；②（a＞0，b＞0）；③（a＞0，b＞0）．

20．某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：m2）．

（1）求S关于x的函数关系式；

（2）求S的最大值，并求出此时x的值．

21．已知正实数x，y满足x＋y＝4．

（1）是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．

（2）求证：，并说明等号成立的条件．

22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0），对任意实数x，不等式恒成立．

（1）求a＋b＋c的值；

（2）若该二次函数有两个不同零点x1、x2．

①求a的取值范围；

②证明：x1x2为定值．

河北正定中学高一第一次月考试卷数学答案

1-8 C A B C C D C B

9.ABC  10.AC  11.ACD  12.AD  13.  14.  15.  16.

17.【解析】(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈B且9∈A，

∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.…………………………………………7分

检验知a＝5或a＝－3.……………………………………………………10分

18. 【解析】（1）当时，……………………………1分

解得，…………………………………………………………3分

故；…………………………………………………………5分

（2）由知………………………………………………………6分

当时，，解得；………………………………………8分

当时，，解得.………………………………10分

综上所述，或.……………………………………………12分

19.【解析】选择：②…………………………………………………………4分

下面证明：

作差法：，当且仅当时，等号成立，故成立.……………………………………………12分

20.【解析】(1)由题设，得．

………………………………………………………………………………5分

(2)因为，所以，

………………………………………………………………………………10分

当且仅当时等号成立，从而.

故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m2.…………………………………………………………………………12分

21.【解析】（1）因为，所以，故不存在正实数，使得；

……………………………………………………………………………………5分

（2）由，……………………………………………………7分

故，

…………………………………………………………………………………10分

当且仅当即时，等号成立.………………………12分

22.【解析】（1）令得，故；………………3分

（2）由知且，

当时，故有，……………………………………………6分

将代入解得；……………………………………………9分

当时，.…………………………………………………………10分

对于方程有判别式，因为函数存在两个零点，故，且.………………………………………12分