2020-2021学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题含解析

2020-2021学年广东省东莞市高一上学期期末试题

数学

一、单选题

1．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集的概念求解出，然后根据交集的概念求解出.

【详解】因为，，所以，

又因为，所以，

故选：C.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可．

【详解】解：根据含有量词的命题的否定，即先改变量词，然后再否定结论，

所以命题“，”的否定是，．

故选：．

3．如图是函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）

A． B．的定义域为

C．的值域为 D．若，则或2

【答案】C

【分析】结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可．

【详解】解：由图象知正确，

函数的定义域为，正确，

函数的最小值为，即函数的值域为，，故错误，

若，则或2，故正确

故选：．

4．圆心角为1弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【分析】由弧长公式，面积公式直接求解.

【详解】由弧长公式可知，

所以,

故选：D

5．2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（    ）

A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元

【答案】B

【分析】设实验室总造价为元，实验室地面的长为，列出关于的关系式，利用基本不等式可求.

【详解】设实验室总造价为元，实验室地面的长为，则宽为，

∴

，

当且仅当，即时，等号成立.

故当实验室地面的长为，宽为时，实验室总造价取得最小值228000元.

故选：B.

6．使“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用参变量分离法求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．

【详解】解：因为不等式在上恒成立，

所以，

即，而可以推出，不能推出，

所以“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是，

故选：．

7．如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若，，则为（    ）

A．，或 B．，或

C． D．

【答案】A

【分析】求出集合，，进而求出，，再由，能求出结果．

【详解】解：，

，

，，

，或．

故选：．

8．三角形ABC中，，边上的高等于，则（    ）

A． B． C．2 D．-2

【答案】D

【分析】设，则，，求出和，在中利用余弦定理求出的余弦值，再利用同角三角函数关系求出正弦值，从而得到正切值．

【详解】解：如图所示，设，则，，

所以，

在△ABC中，由余弦定理可得，

则，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．设，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】取特殊值判断A，由不等式性质判断B，由作差法判断C，根据对数函数单调性判断D.

【详解】对于A，，显然不成立，故A错；

对于B，两边同乘以可得，与题意矛盾，故B错误；

对于C， 因为，故，故C正确；

对于D，因为，所以，由对数函数单调递增知，故D正确.

故选：CD

10．如图是函数的部分图象，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据函数的部分图象求出，，，再逐一判断各个选项即可．

【详解】解：由已知图象可得：，，解得，

，

，

图象过点，，可得，

可得：，，解得，，

当时，可得，可得，故正确；

由于，故正确；

由于，故错误；

由于，故正确．

故选：．

11．若一个函数的图象能将圆的周长和面积同时分成相等的两部分，则称该函数为“太极函数”.则下列函数可以作为“太极函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据题中给出的“太极函数”的定义可知，“太极函数”必是中心对称图象，所以依次判断选项中的四个函数是否是中心对称图形即可．

【详解】解：因为，它的图象是由函数左右平移得到的，而函数是中心对称图形，所以函数也是中心对称图形，故选项正确；

因为函数为偶函数，故函数不是中心对称图形，故选项错误；

因为，则有，故函数为奇函数，图象关于原点对称，函数是中心对称图形，故选项正确；

因为，它的图象是由函数向左平移1个单位，向上平移1个单位得到的，而函数关于原点对称，故函数关于对称，故函数是中心对称图形，但是函数的定义域为，值域为，无法将圆的周长和面积同时分成相等的两部分，故选项错误．

故选：．

12．已知函数若存在使得，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由题意画出图形，由二次函数的对称性结合对数函数的运算性质逐一分析四个选项得答案．

【详解】解：作出函数的图象如图所示，

存在使得，

，，得，即．

又，，，

时，，，，故错误；

时，，方程有两解，，

又，，，．

故选：．

三、填空题

13．已知幂函数经过点，则_______________.

【答案】

【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，可得的值．

【详解】解：设幂函数，它的图象经过点，

，，，

则，

故答案为：．

14．已知若，则______________.

【答案】

【分析】根据分段函数解析式，对进行分类讨论，然后结合，代入即可求解．

【详解】解：，

若，

当时，则，此时不存在，

当时，则，

解得，．

综上，．

故答案为：．

15．已知角的终边经过点，则______________.

【答案】

【分析】根据三角函数的诱导公式、三角函数的定义以及二倍角公式进行计算即可．

【详解】解：角的终边经过点，

，，

则，

故答案为：．

16．已知函数，，若，则的取值范围为______________.

【答案】

【分析】结合图像分析a、b的取值情况即可得出结果.

【详解】作出的图像如图所示，

，

，

由，得

则，

所以当时，，

当时，此时令，最大，

此时，所以，

所以的取值范围为，

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，.

（1）求；

（2）若，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先解指数不等式得到集合，再根据补集、并集的定义计算可得；

（2）由，得，则，由此能求出实数的取值范围．

【详解】解：（1）由，得，所以，

所以，

由，得，

所以

（2）由，得，

所以，解得，

所以.

18．已知函数.

（1）若，，求；

（2）把的图象向左平移个单位长度，然后把图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调增区间.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意求出，然后结合同角的平方关系求出，再结合正弦的和角公式即可求出结果；

（2）结合平移伸缩变换求出变换后的解析式，即可求单调性区间.

【详解】解：（1）由已知得，

因为，所以，

所以

.

（2）把的图象向左平移个单位得到，

然后把图象上各点的横坐标变为原来的，得到，

由，

得，

所以函数的单调增区间是.

19．某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y（单位：个）与测试点投篮距离x（单位：米）的部分数据如下表：

为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③.

（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；

（2）在第（1）问的条件下，若函数在闭区间上的最大值为29，最小值为4，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】(1)分析表格的数据可得函数解析式为，结合待定系数法即可.

(2)结合二次函数的单调性以及值域和实际意义即可得出结果.

【详解】(1)由表中数据可知，先单调递增后单调递减，

因为与都是单调函数，所以不符合题意；

因为先单调递增后单调递减，所以符合题意.

由表格数据得，

解得，所以.

(2)由(1)知，故对称轴为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，，所以，

又因为时，或，

所以，

综上所述，.

故m的范围是

20．已知函数.

（1）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；

（2）探究函数的奇偶性，并证明.

【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2）当时，是偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数，证明见解析.

【分析】(1)结合定义法证明函数的单调性即可.

(2)结合奇偶函数的定义即可证明.

【详解】(1)当时，，

，令，则

因为，所以，，，

所以，即，

故，即，

所以在区间上单调递增.

(2)的定义域是，关于原点对称，

当时，，因为，所以是偶函数.

当时，因为，，所以，

因为，所以，

所以既不是奇函数，也不是偶函数.

综上所述，当时，是偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数.

21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为.

（1）求，，，的值；

（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；

（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.

【答案】（1），，；（2）；（3）h，，最大值为.

【分析】（1）直接由题意求出，，，的值；

（2）求出函数解析式，由函数最大值为，可得，即，取得答案；

（3）设两个相邻的盛水筒分别用和表示（不妨设领先于，则，分别求出经过相邻两个盛水筒距离水面的高度，作差后利用三角函数求最值．

【详解】解：（1）由题知，得，

由题意得，，.

（2）由，得，

所以，即，

当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时.

（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则经过相邻两个盛水筒距离水面的高度分别和，

所以，，

所以的最大值为.

22．已知奇函数的定义域为，且当时，.

（1）求的解析式；

（2）已知，存在，使得，试判断，的大小关系并证明.

【答案】（1）；（2）当时，；当时，证明见解析.

【分析】(1)令得，利用时和奇函数的性质即可.

(2)结合函数零点存在性定理和函数的奇偶性，计算即可得出结果.

【详解】(1)令，则，因为为奇函数，

所以，

所以.

(2)当时，，易知在上单调递增，

因为，

所以在上存在唯一零点，

因为为奇函数，所以在上存在唯一零点，

所以有两个零点，

易知在上单调递增，

因为，

所以在上存在唯一零点，且，

因为，所以，即，即，

所以也是的一个零点，

所以当时，；当时.