专题7圆与四边形的证明和计算学案

专题七　圆与四边形的证明与判断

类型1　与圆有关的证明与计算

1．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C．

(1)求证：∠CBP＝∠D；

(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若sin B＝，CF＝2，求⊙O的半径．

3．(2019聊城)如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过C点作⊙O的切线CE，交OF于点E.

(1)求证：EC＝ED；

(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．

类型2　特殊四边形的动态探究

4．(2019信阳一模)如图，⊙O与直线MN相切于点A，点B是⊙O上异于点A的一点，∠BAN的平分线与⊙O交于点C，连接BC．

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)填空：①若∠CAN＝15°，⊙O的半径为2，则AB＝__________；

②当∠CAN＝__________时，四边形OACB为菱形．

5．如图，AB是半圆O的直径，AB＝a，D是半圆上一点，弦AD平分∠BAF，DF⊥AF于点F，AF与半圆交于点C，DE⊥AB于点E，连接CD，DB，OD．

(1)求证：△CDF≌△BDE；

(2)填空：①当AD＝__________时，四边形AODC是菱形；

②当AD＝__________时，四边形AEDF是正方形．

6．(2019濮阳二模)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP的中点．

(1)求证：四边形OBCP是平行四边形；

(2)填空：①当∠BOP＝__________时，四边形AOCP是菱形；

②连接BP，当∠ABP＝__________时，PC是⊙O的切线．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，E是BA延长线上的一点，作

∠EAC的平分线AD．若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上同时出发从点C向点B运动，运动的速度均为1 cm/s，运动时间为t s.

(1)连接PQ，交AC于点O.求证：AO＝CO；

(2)填空：①当t＝__________s时，四边形APCQ是矩形；

②当t＝__________s时，四边形APCQ是菱形．

8．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连接CE.

(1)求证：∠ADC＝∠CEP；

(2)填空：①当∠DAP＝__________时，四边形DEPC为正方形；

②在点P运动过程中，若⊙O的半径长为10，tan∠DCE＝，则AD＝__________.

参考答案

1．(1)证明：如图，连接OB.

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.

∴∠A＋∠D＝90°.

∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC.

∴∠OBC＝90°.∴∠OBA＋∠CBP＝90°.

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.

∴∠CBP＝∠D.

(2)解：∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°.

∴∠P＋∠A＝90°.∴∠P＝∠D.

∴△AOP∽△ABD.

∴＝，即 ＝.∴BP＝7.

2．(1)证明：如图，作OG⊥DF于点G，连接OE.

∵BD＝DC，BO＝OA，∴OD∥AC.

∴∠ODG＝∠DFC.

∵∠OGD＝∠C＝90°，OD＝DF，

∴△OGD≌△DCF(AAS)．∴OG＝CD.

∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC.

∴∠AEO＝∠C＝90°.∴OE∥BC.

∵OD∥CE，∴四边形CDOE是矩形．

∴CD＝OE.

∴OG＝OE，即OG是⊙O的半径．∴DF是⊙O的切线．

(2)解：设OE＝x，则BD＝DC＝OE＝x.

∵sin B＝，∴∠B＝60°.

在Rt△OBD中，OD＝BD·tan 60°＝x＝DF.

在Rt△DCF中，DF2＝CF2＋DC2.

即(x)2＝22＋x2，解得x＝.

∴⊙O的半径为.

3．(1)证明：如图，连接OC.

∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE.

∴∠OCE＝∠OCA＋∠ACE＝90°.

∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.

∴∠ACE＋∠A＝90°.

∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°.

∴∠ODA＋∠A＝90°.∴∠ODA＝∠ACE.

∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＝∠ACE.

∴EC＝ED.

(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠DCF＝90°.

∴在Rt△DCF中，∠DCE＋∠ECF＝90°，∠CDF＋∠F＝90°.

∵∠DCE＝∠CDE，∴∠ECF＝∠F.∴EC＝EF.

∵EF＝3，∴EC＝DE＝3.

∵OC＝OA＝4，∴OE＝＝＝5.

∴OD＝OE－DE＝2.

在Rt△OAD中，AD＝＝＝2.

∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD＝90°，∴Rt△AOD∽Rt△ACB.

∴＝，即＝.∴AC＝.

4．(1)证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD.

∵MN是⊙O的切线，∴DA⊥MN.

∴∠DAN＝90°.∴∠DAC＋∠CAN＝90°.

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.

∴∠ADC＋∠DAC＝90°.∴∠CAN＝∠ADC.

∵∠ADC＝∠B，∴∠B＝∠CAN.

∵AC是∠BAN的平分线，∴∠CAN＝∠CAB.

∴∠CAB＝∠B.∴AC＝BC.

∴△ABC是等腰三角形．

(2)解：①2；②30°.

5．(1)证明：∵AD平分∠BAF，DE⊥AB，DF⊥AF，

∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°.

∵∠ACD＋∠FCD＝180°，∠EBD＋∠ACD＝180°，

∴∠FCD＝∠EBD.

在△CDF和△BDE中，

∴△CDF≌△BDE(AAS)．

(2)解：①a；②a.

6．(1)证明：∵PC∥AB，∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM.

∵点M是OP的中点，∴OM＝PM.

在△CPM和△AOM中，

∴△CPM≌△AOM(AAS)．∴PC＝OA.

∵AB是半圆O的直径，∴OA＝OB.∴PC＝OB.

又PC∥AB，∴四边形OBCP是平行四边形．

(2)解：①120°；②45°.

7．(1)证明：如图，连接AQ，CP.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAC＝2∠PAC＝∠B＋∠C＝2∠C.

∴∠PAC＝∠C.∴AP∥BC.

∵点P和点Q的速度均为1 cm/s，

∴AP＝CQ.

∴四边形APCQ是平行四边形．

∴AO＝CO.

(2)解：①6；②.

8．(1)证明：∵C为AP的中点，且CD过圆心O，∴AC＝CP，DC⊥AP.

∴∠DCA＝∠DCP＝90°.

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°.

∵DE为⊙O的切线，∴∠CDE＝90°.

∴四边形CPED是矩形．∴CD＝PE，∠CPE＝90°＝∠ACD.

在△DAC和△ECP中，

∴△DAC≌△ECP(SAS)．∴∠ADC＝∠CEP.

(2)解：①45°；②8.