专题13二次函数综合压轴学案

专题十三　二次函数的综合题

类型1　线段问题

1．抛物线y＝ax2＋bx－12(a≠0)与x轴交于A(－3,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，点M是抛物线对称轴右侧的抛物线上一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点P，交x轴于点Q，若PM＝2PQ，求点M的坐标；

(3)如图②，若点D在第四象限内，过点D作DE∥y轴交BC于点E，DF⊥BC于点F.线段EF的长是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及相应点D的坐标；若不存在，请说明理由．

图①                    图②

类型2　面积问题

2．(2019洛阳一模)如图①，抛物线y＝ax2－x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝－x＋3经过点B，C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B，C重合)，则△PBC的面积能够等于△BOC的面积吗？若能，求出相应的点P的坐标；若不能，请说明理由；

(3)现把△BOC平移至如图②所示的位置，此时三角形水平方向一边的两个端点O′，B′都在抛物线上，称点O′和点B′为△BOC在抛物线上的一“卡点对”；如果把△BOC旋转一定角度，使得其余边位于水平方向然后平移，能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对”．请直接写出△BOC在此抛物线上所有“卡点对”的坐标．

图①             图②          备用图

类型3　特殊三角形的存在性问题

3．(2019成都)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2,5)，与x轴相交于B(－1,0)，C(3,0)两点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到

△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；

(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

类型4　特殊四边形的存在性问题

4．如图，抛物线y＝ax2－5x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝－x－8经过点B，C，过点A的直线交直线BC于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，当AE⊥BC时，过抛物线上一动点M(不与点C，B重合)，作直线AE的平行线交直线BC于点P，若以A，E，M，P为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标；

(3)如图②，连接AC，当直线AE与直线BC所成的锐角等于2∠ACB时，求点E的坐标．

图①                        图②

类型5  相似问题

5．(2019泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2,0)，C(0，－6)，其对称轴为直线x＝2.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若直线y＝－x＋m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；

(3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

类型6  角度问题

6．(2019盐城)如图，二次函数y＝k(x－1)2＋2的图象与一次函数y＝kx－k＋2的图象交于A，B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x，y轴交于C，D两点，其中k＜0.

(1)求A，B两点的横坐标；

(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；

(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

参考答案

1．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－12过点A(－3,0)，B(5,0)，

∴解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－12.

(2)∵抛物线与y轴交于点C，∴点C(0，－12)．

设直线BC的解析式为y＝mx＋n.将点B(5,0)，C(0，－12)代入，

得解得

∴直线BC的解析式为y＝x－12.

∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，

∴设M，其中t>1，则P，Q(t,0)．

①当点M在x轴下方时，1＜t＜5，如图．

∴PM＝t－12－＝－t2＋4t，PQ＝12－t.

∵PM＝2PQ，即－t2＋4t＝2，

整理得t2－11t＋30＝0，解得t＝5(舍)或t＝6(舍)．

第1题图

②当点M在x轴上方时，t>5，如图．

∴P′M＝t2－t－12－＝t2－4t，P′Q′＝t－12.

∵PM＝2P′Q′，即t2－4t＝2，

整理得t2－11t＋30＝0，解得t＝5(舍)或t＝6.

当t＝6时，t2－t－12＝.此时点M的坐标为.

综上，点M的坐标为.

(3)存在．

∵B(5,0)，C(0，－12)，

∴OB＝5，OC＝12，BC＝＝13.

在Rt△BOC中，cos∠BCO＝＝.

∵DE∥y轴，∴∠DEF＝∠BCO，xE＝xD.

设D，其中0＜d＜5，则E.

∴DE＝d－12－＝－＋5.

∵DF⊥BC，∴在Rt△DEF中，cos∠DEF＝＝cos∠BCO＝.

∴EF＝DE＝－＋.

∵－<0，∴当d＝时，EF有最大值为.

此时yD＝×－×－12＝－11.

∴当点D的坐标为时，线段EF的长有最大值为.

2．解：(1)∵直线y＝－x＋3经过点B，C，∴B(4,0)，C(0,3)．

将点B，C的坐标代入y＝ax2－x＋c，

得解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－x＋3.

(2)当直线OP∥BC时，S△PBC＝S△BOC.

可设直线OP的解析式为y＝－x＋m.

将(0,0)代入，得m＝0.∴直线OP的解析式为y＝－x.

联立解得

∴当点P的坐标为时，两个三角形面积相等．

(3)抛物线上所有“卡点对”的坐标为和，(1,0)和(4,0)，(0,3)和(5,3)．

【提示】易得抛物线的对称轴为直线x＝，分以下三种情况：

①当O′B′在水平位置时，

∵O′B′＝4，∴可设点O′横坐标为x，则点B′横坐标为x＋4.

∴＝，解得x＝，∴x＋4＝.

将x＝和x＝代入y＝x2－x＋3，得y＝.

故此时的“卡点对”坐标为和.

②当O′C′在水平位置时，

O′C′＝3，同理可得点C′和O′的横坐标分别为4,1，

将x＝4和x＝1代入y＝x2－x＋3，得y＝0.

故此时的“卡点对”坐标为(1,0)和(4,0)．

③当B′C′在水平位置时，B′C′＝5，

同理可得此时的“卡点对”坐标为(0,3)和(5,3)．

3．解：(1)∵抛物线与x轴交于点B(－1,0)，C(3,0)，

∴可设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋1)(x－3)．

将A(－2,5)代入，得a＝1.

∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3.

(2)∵抛物线与x轴交于B(－1,0)，C(3,0)，

∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1.

如图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为(1,0)，BH＝2.

由翻折得C′B＝CB＝4.

在Rt△BHC′中，C′H＝＝＝2.

∴点C′的坐标为(1,2)，tan∠C′BH＝＝＝.

∴∠C′BH＝60°.

由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°.

在Rt△BHD中，DH＝BH·tan∠DBH＝2×tan 30°＝.

∴点D的坐标为.

第3题图①           第3题图②

(3)分以下两种情况：

①如图②，当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P，CC′.

∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，

∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°.

∴∠BCQ＝∠C′CP.∴△BCQ≌△C′CP(SAS)．

∴BQ＝C′P.

∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ.∴C′P＝CQ＝CP.

又BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′.

由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上．

设直线BP的函数表达式为y＝kx＋t.

将B(－1,0)，D代入，得解得

∴直线BP的函数表达式为y＝x＋.

②如图③，当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．

第3题图③

∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，

∴CP＝CQ，BC＝C′C，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°.

∴∠BCP＝∠C′CQ.

∴△BCP≌△C′CQ(SAS)．

∴∠CBP＝∠CC′Q.

∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，

∴∠CC′Q＝∠CC′B＝30°.

∴∠CBP＝30°.

设BP与y轴相交于点E.

在Rt△BOE中，OE＝OB·tan∠CBP＝OB·tan 30°＝1×＝.

∴点E的坐标为.

设直线BP的函数表达式为y＝mx＋n.

将B(－1,0)，E代入，得解得

∴直线BP的函数表达式为y＝－x－.

综上所述，直线BP的函数表达式为y＝x＋或y＝－x－.

4．解：(1)∵直线y＝－x－8经过点B，C，∴B(－8,0)，C(0，－8)．

将B(－8,0)，C(0，－8)代入y＝ax2－5x＋c，

得解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2－5x－8.

(2)如图①，过M作MT∥y轴交直线BC于点T.

∵MP∥AE，

∴若以A，E，M，P为顶点的四边形为平行四边形，则MP＝AE.

∵B(－8,0)，C(0，－8)，∴OB＝OC＝8.

∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝∠OCB＝45°.

又AE⊥BC，∴△ABE是等腰直角三角形．

在抛物线y＝－x2－5x－8中，令y＝0，解得x1＝－8，x2＝－2.

∴A(－2,0)，B(－8,0)．∴AB＝6.∴AE＝BE＝PM＝3.

∵∠MTP＝∠OCB＝45°，

∴△PMT为等腰直角三角形，故MT＝PM＝6.

设M，则T(d，－d－8)．

∴MT＝＝.

又MT＝6，∴＝6.

当M在T上方时，－d2－4d＝6，解得d1＝－2，d2＝－6.

当d＝－2时，M与A重合舍去，∴M(－6,4)．

当M在T下方时，－d2－4d＝－6，

解得d3＝－4－2，d4＝－4＋2.

∴M(－4－2，2－10)或(－4＋2，－2－10)．

综上，以A，E，M，P为顶点的四边形为平行四边形时，点M的坐标为(－6,4)或

(－4－2，2－10)或(－4＋2，－2－10)．

第4题图①                       第4题图②

(3)分以下两种情况：

①如图②，当∠AEB＝2∠ACB时，易得AE＝EC.

设点E(m，－m－8)．

∵A(－2,0)，C(0，－8)，

∴＝.

整理得m2＋m2＝m2＋4m＋4＋m2＋16m＋64，解得m＝－.

∴E.

②如图②，过A作AN⊥BC于点N，作E关于AN的对称点E′，连接AE′，过N作NT⊥AB于T，此时∠AE′C＝∠AEB＝2∠ACB.

易得∠ABC＝45°，AB＝6，△ANB是等腰直角三角形，BT＝AT＝TN＝3.

∴点N的坐标为(－5，－3)．

∵E与E′关于AN对称，∴N为EE′的中点．

又N(－5，－3)，E，∴E′.

综上，满足条件的点E的坐标为或.

5．解：(1)由题意得解得

∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－6.

(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋d.

将A(－2,0)，C(0，－6)代入，得解得

∴直线AC的解析式为y＝－3x－6.

令－x＋m＝－3x－6，解得x＝－(m＋6)．

∴直线y＝－x＋m与直线AC交点的横坐标为－(m＋6)，

直线y＝－x＋m与y轴的交点为(0，m)．

∵A(－2,0)，C(0，－6)，∴S△AOC＝×2×6＝6.

∴×(m＋6)(m＋6)＝S△AOC＝3，解得m＝－2或－10(舍去)．

∴m＝－2.

(3)∵OA＝2，OC＝6，∴＝3.

分以下两种情况：

①当△DEB∽△AOC时，则＝＝3.

如图①，过点E作EF垂直直线x＝2，垂足为点F，过点B作BG⊥EF，垂足为点G.

易得Rt△BEG∽Rt△EDF，∴＝＝3.∴BG＝3EF.

设点E，则BG＝－h2＋2h＋6，FE＝h－2.

∴－h2＋2h＋6＝3(h－2)．解得h＝4或－6.

∵点E在第四象限，∴h＝4.∴点E的坐标为(4，－6)．

第5题图①                    第5题图②

②当△BED∽△AOC时，＝＝.

如图②，过点E作ME垂直直线x＝2，垂足为点M，过点B作BN⊥ME，垂足为点N.

易得Rt△BEN∽Rt△EDM.∴＝＝.∴BN＝EM.

设点E，∴BN＝－p2＋2p＋6，EM＝p－2.

∴－p2＋2p＋6＝(p－2)，解得p＝或(舍去)．

∴点E的坐标为.

综上，点E的坐标为(4，－6)或.

6．解：(1)令k(x－1)2＋2＝kx－k＋2，解得x＝1或2.

故点A，B的坐标分别为(1,2)，(2，k＋2)．

∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为2.

(2)由(1)得A(1,2)，B(2，k＋2)，∴OA＝＝.

①当OA＝AB时，即5＝1＋k2，解得k＝2(舍去)或k＝－2.

②当OA＝OB时，即5＝4＋(k＋2)2，解得k＝－1或－3.

故k的值为－1或－2或－3.

(3)存在，分以下两种情况：

①当点B在x轴上方时，易得AE∥y轴，∴∠ODC＝∠CAE＝2α.

如图①，过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见图②，过点A作∠HAB的平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K.

  第6题图①　　 　第6题图②

∵点A(1,2)，点B(2，k＋2)，

∴AH＝－k，HB＝EK＝1，AB＝，BK＝k＋2.

设HM＝m＝MN，∴BM＝1－m.

∴AN＝AH＝－k，NB＝AB－AN＝＋k.

由勾股定理得MB2＝NB2＋MN2，即(1－m)2＝m2＋(＋k)2.

解得m＝－k2－k.

在△AHM中，tan α＝＝＝k＋＝tan∠BEC＝＝k＋2，解得k＝±.

∵点B在x轴上方，∴k＋2＞0，则－2＜k＜0.∴k＝－.

②当点B在x轴下方时，BK＝－(k＋2)．

同理可得tan α＝＝＝k＋＝tan∠BEC＝＝－(k＋2)，

解得k＝或.

∵点B在x轴下方，∴k＋2＜0，k＜－2.∴k＝.

综上，k的值为－或.