2021-2022学年人教版九年级上册期中数学模拟试卷（一）（word版含答案）

2021-2022学年人教版九年级（上）期中数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 已知是方程的根，则的值可以是

A.  B.  C.  D.

2. 下列四个图案中，是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线的顶点坐标是

A.  B.  C.  D.

4. 一元二次方程可以化为

A.  B.
C.  D.

5. 如图，绕点的顺时针旋转，旋转的角是，得到，那么下列说法错误的是

A. 平分
B.
C.
D.
 

6. 关于的方程根的情况说法正确的是

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定

7. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是．

A.
B.
C.
D.

8. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是

A.  B.
C.  D.

9. 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，的半径，直线，垂足为，且交于、两点，，则沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是

A.
B.
C.
D. 或

11. 抛物线的对称轴是

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

12. 如图，已知在正方形中，，，分别是，上的一点，且，，将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，连接，则以下结论：，，，中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 已知抛物线的最小值是______．
14. 已知如图，直线且与之间的距离等于在中，，在直线上，点在直线上，中有一边的长是的倍．将绕点顺时针旋转得到，所在直线交于点，则线段的长为______．
15. 某药店开展促销活动，有一种药品连续两次降价，其标价如表，则平均每次降价的百分率是，则列出关于的方程是______ ．

16. 如图，在中，，，内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为______

17. 如图，扇形的圆心角为直角，以为边作矩形，边交弧于点，如果图中两个阴影部分面积相等，则______．
18. 如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上时，那么我们称抛物线与“互为关联“的抛物线，若抛物线：与：是“互为关联”的抛物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共6小题，共63分）

19. 用配方法解方程：．
    
    
    
     
20. 已知关于的一元二次方程．
    求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
    若一元二次方程的两个根分别为，并且满足，求的值．
    
     
21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    将向上平移个单位后，得到，请画出，并直接写出点的坐标．
    将绕点顺时针旋转，请画出旋转后的，并求点所经过的路径长结果保留

22. 南宁某商城销售某种品牌的上林大米，成本为元袋，每天销售袋与销售单价元袋之间存在一次函数关系，如图所示．
    求与之间的函数关系式；
    当上林大米定价为元袋时，可获得多少利润？
    如果规定每天上林大米的销售量不低于袋，当销售单价为每袋多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，内接于半径为的，为直径，长为．
    
    计算的度数；
    设图中弓形阴影部分面积为，求出的值；
    将与全等的如图摆放，使两个三角形的对应边与有一部分重叠，的最长边恰好经过的中点求证：．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，一副直角三角板和，将和放置如图的位置，点、、、在同一直线上．
    
    如图，固定不动，绕点逆时针旋转时，判断与的位置关系，并说明理由．
    在图的位置上，绕点逆时针旋转，在旋转过程中，两个三角形的边是否存在垂直关系？若存在直接写出旋转的角度，并写出哪两边垂直；若不存在，请说明理由
    
     
25. 有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润万元与投资成本万元满足如图所示的二次函数；种植柏树的利润万元与投资成本万元满足如图所示的正比例函数．
    请分别直接写出利润万元与利润万元关于投资成本万元的函数关系式；
    若这家苗圃投资万元种植桃树，投资万元种植柏树，则可获得的总利润是多少万元？
    若这家苗圃种植桃树和柏树投入总成本万元，且桃树的投资成本不低于万元，且不高于万元，则苗圃最少能获得多少总利润？最多可获得多少总利润？

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：是方程的根，
，
解得，，
故选：．
根据是方程的根，可以求得的值，本题得以解决．
本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键．直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】
解：因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：



，
故选：．
利用配方法把方程变形即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，得到，
，，，故A、、选项正确；
，但不一定等于，
不一定平行于，故C选项错误；
故选：．
根据旋转的性质即可得到结论．
本题考查的是旋转变换的性质、平行线的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先求出的值，根据有两个不相等实数根，有两个相等实数根，没有实数根作出判断．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题综合考查了切线的性质定理、切线长定理以及锐角三角函数的知识．
设圆的圆心是，连接，，根据已知可求得的长，即可得到圆的直径．
【解答】
解：设圆的圆心是，连接，．

，，
，
，
圆的直径是．
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】【试题解析】

解：
将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
平移后所得抛物线解析式为，
故选：．
直接根据平移的规律即可求得答案．
本题主要考查函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

9.【答案】
 

【解析】解：当时，；
当时，；
所以．
故选：．
分别计算自变量为和对应的函数值，然后对各选项进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接，
，
，
，
在中，，
，
又将直线通过平移使直线与相切，
直线垂直过点的直径，垂足为直径的两端点，
当向下平移时，直线平移的距离；
当向上平移时，直线平移的距离．
故选：．
根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线平移的距离为半径减去；当向上平移时，直线平移的距离为半径加上．
本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理．
 

11.【答案】
 

【解析】解：抛物线是顶点式，
对称轴是，
故选B．
直接利用顶点式的特殊性可求对称轴．
主要考查了求抛物线的对称轴的方法，属于二次函数的基础知识，难度较小．
 

12.【答案】
 

【解析】解：将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，
，，，
，
，
，，，
≌，
，
，
，故正确，
，，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，，故正确，错误，
，
，
故正确，
故选：．
利用全等三角形的性质条件勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可求解．
本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
当时，有最小值，最小值为．
故答案为．
直接利用二次函数的最值问题求解．
本题考查了二次函数的最值：对于二次函数，当时，，有最小值；当时，，有最大值．
 

14.【答案】，，
 

【解析】解：当时，
Ⅰ如图，作于，于，

“等高底”的“等底”为，，与之间的距离为，，
，，
，即，
，
绕点按顺时针方向旋转得到，
，
设，
，
，
，即，
，
，．
Ⅱ如图，此时等腰直角三角形，

绕点按顺时针方向旋转得到，
是等腰直角三角形，
．
当时，
Ⅰ如图，此时是等腰直角三角形，

绕点按顺时针方向旋转得到，
，
；
Ⅱ如图，作于，则，

，
，
绕点按顺时针方向旋转，得到时，点在直线上，
，即直线与无交点，
综上所述，的值为，，．
故答案为：，，．
当时，画出图形分两种情况分别求得或；
当时，画出图形分两种情况讨论，求得．
本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．此题主要考查了一元二次方程的应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
【解答】
解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，
为，则列出的方程．
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】解：连接，，
在中，，
，
内切圆与边、、分别相切于点、、，
，
，
的度数为．
故答案为：．
连接，，利用切线的性质得出，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出的度数，进而利用圆周角定理得出的度数．
此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出是解题关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：图中两个阴影部分面积相等，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意得到，根据扇形面积公式、矩形面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积计算及等积变换的知识，关键是要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．
 

18.【答案】
 

【解析】解：由抛物线：可得，
将，代入
得，
解得，
，
；
故答案为：．
首先求得的顶点坐标，然后求得的解析式，从而确定顶点坐标即可求得点的坐标．
考查了二次函数的定义，能够读懂互为关联的定义是解答本题的关键，难度不大．
 

19.【答案】解：，
，即，
，
，．
 

【解析】先移项得到，再把方程两边加上得到，即，然后利用直接开平方法求解．
本题考查了解一元二次方程配方法：先把方程二次项系数化为，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．
 

20.【答案】证明：

，
不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
解：根据根与系数的关系得，，
，
，
，
整理得，
解得，，
的值为或．
 

【解析】通过计算判别式的值，再利用非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；
根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式得到，所以，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

21.【答案】解：如图所示：
的坐标为：；

如图所示：
，

 

【解析】根据向上平移个单位，得出对应点位置，即可得出的坐标；
得出旋转后的，再利用弧长公式求出点所经过的路径长．
此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关键．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
直线经过点，，
，
解得：．
与之间的函数关系式为；
当时，袋，
利润为：元，
答：当上林大米定价为元袋时，可获得元的利润；
设利润为元，
则，
，
当时，随的增大而增大，
由题意，得：，
解得：，
，
时，有最大值，最大值：，
答：当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元．
 

【解析】可用待定系数法来确定与之间的函数关系式；
把代入代数式即可得到结论；
根据利润销售量单件的利润，然后将中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
 

23.【答案】解：连接，如图．
长为，的半径为，
．
，即．
，
是等边三角形．
．
的度数为．

是的直径，．
，，
，
．
．
点是中点，
．


．
的值为．

证明：连接，过点作于点，如图．
为直径，．
．
，．
点为的中点，
．
，
．
，即，

．
≌，．
．
四边形是矩形．

．
 

【解析】连接，如图由圆弧长公式可求出，进而可以求出的度数．
可采用割补法将阴影部分的面积转化为扇形的面积与的面积之差，只需运用扇形及三角形的面积公式就可解决问题．
连接，过点作于点，如图，易证四边形是矩形，从而得到，而在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，就可得到．
本题考查了同圆中弧与圆心角的关系、圆弧长及扇形面积公式、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的性质等知识，有一定的综合性．
 

24.【答案】解：，
理由如下：绕点逆时针旋转，
，
，
，
当时，
，，
，，
当时，
，
当时，

当时，
，，
当时，．
 

【解析】由旋转的性质可得，可得；
由旋转的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
 

25.【答案】解：把代入中得：，解得：，
，
把代入中得：，解得：，
；
设总利润为万元，
则；
答：可获得的总利润是万元；

设种植桃树的投资成本万元，总利润为万元，则种植柏树的投资成本万元，，
则，
当时，
，故抛物线有最小值，对称轴为，此时；
当时，有最大值为，
答：苗圃至少获得万元利润，最多能获得万元利润．
 

【解析】利用待定系数法求两个函数的解析式；
，即可求解；
设种植桃树的投资成本万元，总利润为万元，则种植柏树的投资成本万元，列函数关系式为二次函数，进而求解．
本题是二次函数和一次函数的应用，考查了利用待定系数法求函数的解析式；对于二次函数，在求最值问题时，不一定都是顶点坐标，要根据实际情况和图象结合考虑，得出结论．