2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）选择题：计数原理

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

选择题：计数原理

1.在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为(   )

A.14 B.16 C.18 D.20

2.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(   )

A.18种 B.9种 C.6种 D.3种

3.7个人排成一队参观某项目，其中三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，则不同的列队方式的种数为(   )

A.120 B.240 C.420 D.840

4.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为(   )

A. B. C. D.

5.某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为(   )

A.280 B.455 C.355 D.350

6.马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯.为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为(   )

A.12 B.18 C.21 D.24

7.若一个四位数的各位数字相加的和为18，则称该数为“完美四位数”，如数字“4 239”.试问用数字2，3，4，5，6，7，8，9组成的无重复数字且大于4 239的“完美四位数”的个数为(   )

A.59 B.66 C.70 D.71

8.的二项展开式中，第4项是(   )

A. B. C. D.

9.二项式的展开式中含项的系数为(   )

A.160 B. C.80 D.

10.若展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为(   )

A.10 B. C.5 D.

11.的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为(   )

A. B. C.20 D.40

12.某地区甲、乙、丙三家公司进行招聘，其中甲公司招聘2名，乙公司招聘2名，丙公司招聘1名，并且甲公司至少要招聘1名男生，现有3男3女参加三家公司的招聘(这6人全部被录取)，则不同的录取方案种数为(   )

A.36 B.72 C.108 D.144

13.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(   )

A. B. C. D.

14.如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是(   )

A.154 B.252 C.356 D.428

15.中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用五种不同的颜色给这五块区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有(   )

A.180种 B.192种 C.420种 D.480种

答案以及解析

1.答案：D

解析：红色用1次，有6种涂色方法；红色用2次，有10种涂色方法；红色用3次，有4种涂色方法.由分类加法计数原理可知共20种涂色方法，故选D.

2.答案：A

解析：由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球还剩2种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有种.故选A.

3.答案：D

解析：根据题意，先将7人排成一列，有种排法，其中三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，即三人顺序一定，则不同的列队方式有种.故选D.

4.答案：B

解析：在8个人全排列的方法数中减去甲，乙，丙全相邻的方法数，就得到甲，乙，丙三人不全相邻的方法数，即，故选B.

5.答案：B

解析：每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.

当实验室的人数分配为1，2，4时，分配方案有种；

当实验室的人数分配为1，3，3时，分配方案有种；

当实验室的人数分配为2，2，3时，分配方案有种.

故不同的分配方案有455种.故选B.

6.答案：C

解析：根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法.先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有种关灯方法.故选C.

7.答案：D

解析：根据题意，在数字2，3，4，5，6，7，8，9中，和为18的四位数字有（2，3，4，9），（2，3，5，8），（2，3，6，7），（2，4，5，7），（3，4，5，6）共五组.其中第一组（2，3，4，9）中，9排千位上有种情形，4排千位上，3或9排在百位上时，有种情形，4排千位上，2排百位，9排十位，有1种情形，此时共有个“完美四位数”；第二组（2，3，5，8）中，必须是5，8排在千位上，有个“完美四位数”；第三组（2，3，6，7）中，必须是6，7排在千位上，有个“完美四位数”；第四组（2，4，5，7）中，必须是4，5，7排在千位上，有个“完美四位数”；第五组（3，4，5，6）中，必须是4，5，6排在千位上，有个“完美四位数”.由分类加法计数原理可知有个“完美四位数”，故选D.

8.答案：C

解析：展开式的通项为，所以第4项为.故选C.

9.答案：A

解析：展开式的通项为，令，得，

所以含项的系数为.故选A.

10.答案：A

解析：由二项式系数之和为32，即，可得，展开式的通项.

令，得.

所以常数项为，故选A.

11.答案：D

解析：令可得展开式中各项系数和为，则，则该展开式中常数项为，故选D.

12.答案：D

解析：根据题意，分3步进行分析：

①甲公司在6人中任选2人，要求至少招聘1名男生，有种情况，

②乙公司在剩下的4人中任选2人，有种情况，

③丙公司在剩下的2人中任选1人，有种情况.

则不同的录取方案有(种).

13.答案：D

解析：因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，所以，所以.

所以奇数项的二项式系数和为.

14.答案：B

解析：令，可得的展开式中各项系数之和为，它的展开式的通项为.令，可得，则展开式中的系数为.

15.答案：C

解析：相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的两个直角三角形必同色，此时不同的涂色方案共有(种).

若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案共有(种).

若5块区域用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时不同的涂色方案共有(种).综上，不同的涂色方案共有420种.故选C.