高考物理一轮复习第五章机械能第3课时机械能守恒定律学案新人教版

第3课时　机械能守恒定律

1．重力做功和重力势能的特点

(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

(2)重力势能是物体和地球组成的系统所共有的；重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。

(3)重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大；重力对物体做的功等于物体重力势能变化量的负值，即WG＝－ΔEp。

2．弹性势能

(1)定义：物体由于发生弹性形变而具有的能量。

(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。

(3)弹力对物体做的功等于弹簧弹性势能变化量的负值，即W＝－ΔEp。

3．机械能守恒定律

(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

(2)守恒条件：只有重力或系统内弹力做功。

(3)常用的三种表达式

 [基础自查]

1．判断正误

(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。(√)

(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(×)

(3)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(√)

(4)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。(√)

(5)弹力做正功弹性势能一定增加。(×)

(6)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(×)

(7)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(√)

2．关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)

A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定

B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大

C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了

D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功

解析：选D　物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面时，重力势能不同，选项A错误；物体在零势能面以上，与零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，与零势能面的距离越大，重力势能越小，选项B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，选项C错误；重力做的功等于重力势能变化量的负值，选项D正确。

3．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小(　　)

A．一样大　　　　　　 B．水平抛出的最大

C．斜向上抛出的最大  D．斜向下抛出的最大

解析：选A　不计空气阻力的抛体运动，机械能守恒。故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面时，物体速度的大小相等。故只有选项A正确。

4．在大型游乐场里，小明乘坐如图所示匀速转动的摩天轮，正在向最高点运动。对此过程，下列说法正确的是(　　)

A．小明的重力势能保持不变

B．小明的动能保持不变

C．小明的机械能守恒

D．小明的机械能减少

解析：选B　摩天轮在转动的过程中，小明的高度不断发生变化，小明的重力势能也在发生变化，故A错误；由于摩天轮匀速转动，所以小明的动能保持不变，故B正确；小明所具有的机械能等于他的动能与重力势能之和，由于其动能不变，而重力势能随着其高度的变化而变化，所以小明的机械能也在不断变化，当其上升时，机械能增加，故C、D错误。

考点一　机械能守恒的理解与判断

机械能是否守恒的三种判断方法

(1)利用做功及守恒条件判断。

(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。

(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。

[典例]　如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．斜劈对小球的弹力不做功

B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒

C．斜劈的机械能守恒

D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量

[解析]　小球的位移方向竖直向下，斜劈对小球的弹力对小球做负功，小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，斜劈的机械能增大，小球的机械能减少，但斜劈与小球组成的系统机械能守恒，小球重力势能的减少量等于小球和斜劈动能的增加量之和，故B正确，A、C、D错误。

[答案]　B

(1)机械能守恒的条件不是“物体所受合外力为零”，也不是“合外力做功为零”。

(2)“只有重力或弹力做功”不是“物体只受重力或弹力作用”。　　

[集训冲关]

1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒

B．乙图中，斜面体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒

C．丙图中，连接A、B的绳子不可伸长，不计任何阻力和定滑轮及绳子的质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒

D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

解析：选CD　由题图可知，甲图中有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错；乙图中物体B沿斜面匀速下滑，物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C对；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对。

2．如图所示，把石块从高处抛出，初速度大小为v0，抛出高度为h，方向与水平方向夹角为θ(0≤θ<90°)，石块最终落在水平地面上。若空气阻力可忽略，下列说法正确的是(　　)

A．对于不同的抛射角θ，石块落地的时间相同

B．对于不同的抛射角θ，石块落地时的水平射程相同

C．对于不同的抛射角θ，石块落地时的机械能相同

D．对于不同的抛射角θ，石块落地时重力的功率相同

解析：选C　将石块抛出后，石块在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀变速直线运动。在竖直方向有h＝v0sin θ·t－gt2，由此式可知，对于不同的抛射角θ，石块落地的时间不相同，所以A错误；由水平位移x＝v0cos θ·t和h＝v0sin θ·t－gt2可知，对于不同的抛射角θ，石块落地时的水平射程不同，所以B错误；石块运动过程中，只有重力做功，所以机械能守恒，因初速度大小不变，所以对于不同的抛射角θ，石块落地时的机械能相同，所以C正确；在竖直方向，由vy2－(v0sin θ)2＝－2gh，可求石块落地时的瞬时速度vy，再由P＝mgvy可知，对于不同的抛射角θ，石块落地时重力的功率不相同，D错误。

考点二　单个物体的机械能守恒

单个物体的机械能守恒往往会与平抛运动、圆周运动、人造卫星等结合到一起，构成综合性问题。求解这类问题时除了掌握机械能守恒的条件、规律外，还应熟练掌握这几种运动的特点和规律：,1平抛运动的特点和规律：平抛运动是初速度沿水平方向且只在重力作用下的运动，所以物体的机械能守恒。,2圆周运动的特点和规律：物体在水平面内做匀速圆周运动时机械能守恒；物体在竖直面内沿光滑轨道或由绳子系着做圆周运动时，只有重力做功，机械能守恒，但物体速度大小是变化的。,3卫星进入圆形轨道稳定运行时，机械能不变，卫星自由地绕地球做椭圆轨道运动时，只有地球引力做功，其机械能守恒，而卫星在人为变轨的过程中，机械能不守恒。

[典例]　(2021·济南模拟)荡秋千是人们喜欢的一项健身娱乐活动。荡秋千者通过做功，逐渐增加自身的机械能，从而逐渐“荡”高。其原理如下：人向下摆动过程中逐渐“下蹲”使重心下降，而在秋千上摆过程中，人又逐渐站起使重心升高，机械能增加，从而逐渐“荡”高。有一个正在“荡”秋千的运动员质量为75 kg，身高为1.8 m，在水平地面上站立时重心高1.0 m，蹲坐时重心高0.6 m。秋千摆长5.0 m。若该运动员从与竖直方向成37°角位置开始下摆。(忽略空气阻力、秋千的质量，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)

(1)求运动员第一次到达秋千下摆的竖直最低位置时的速度大小；

(2)求运动员第一次到达秋千下摆的竖直最低位置时受到秋千的作用力大小。

[解析]　秋千摆长L0＝5.0 m，运动员在水平地面上站立时重心高H1＝1.0 m，蹲坐时重心高H2＝0.6 m，以秋千下摆的最低位置处为零势能点。

(1)秋千下摆过程中运动员机械能守恒，

mg[L0－(L0－H1)cos 37°]＝mgH2＋mv2

解得v≈4.9 m/s。

(2)设运动员第一次到达秋千下摆的最低位置时受到秋千的作用力大小为F，则F－mg＝m

解得F≈1 159 N。

[答案]　(1)4.9 m/s　(2)1 159 N

[规律方法]　应用机械能守恒定律的一般步骤

[集训冲关]

1.(多选)有一款蹿红的小游戏“跳一跳”，游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m，可视为质点)脱离平台时的速度，使其能从同一水平面上的平台跳到旁边的另一平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，轨迹的最高点距平台上表面高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则(　　)

A．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh

B．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh

C．棋子离开平台后距平台面高度为时动能为

D．棋子落到另一平台上时的速度大于

解析：选AD　设平台表面为零势能面，则棋子在最高点的重力势能为mgh，故棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh，A正确；棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，B错误；取平台表面为零势能面，则棋子在最高点的机械能E＝mgh＋mvx2，vx为棋子在最高点的速度。由于机械能守恒，则棋子离开平台后距平台面高度为时，动能为Ek＝E－mgh＝mgh＋mvx2＞，C错误；设棋子落到另一平台时的瞬时速度大小为v，棋子从最高点落到另一平台的过程中，由机械能守恒定律得mgh＋mvx2＝mv2，解得v＝ ＞，D正确。

2．如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为(　　)

A．3mg  B．4mg　　　

C．5mg  D．6mg

解析：选D　设小球在最低点时速度为v1，在最高点时速度为v2，根据牛顿第二定律有，在最低点：N1－mg＝m，在最高点：N2＋mg＝m；从最高点到最低点，根据机械能守恒有mg·2R＝mv12－mv22，联立可得：N1－N2＝6 mg，故选项D正确。

3．某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，在B点相切。使质量m＝0.1 kg的小球从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F。改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，取g＝10 m/s2。

(1)求圆轨道的半径R；

(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ的值。

解析：(1)小球经过D点时，满足竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即：F＋mg＝m

从A到D的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝mv2

联立解得：F＝H－5mg

由题中给出的F­H图像知斜率

k＝ N/m＝10 N/m

即＝10 N/m，所以可得R＝0.2 m。

 (2)小球离开D点做平抛运动，根据几何关系知，小球落地点越低平抛的射程越小，即题设中小球落地点位置最低对应小球离开D点时的速度最小。

根据临界条件知，小球能通过D点时的最小速度为v＝

小球在斜面上的落点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为R，

所以小球平抛的射程s＝vt＝v ＝·＝R

由几何关系可知，θ＝45°。

答案：(1)0.2 m　(2)45°

考点三　多个物体的机械能守恒

多物体机械能守恒问题的分析方法

(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。

(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。

(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。

(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。

[注意]　对多个物体组成系统的机械能守恒问题，解题的关键是正确判断系统是否符合机械能守恒的条件，尤其是对于含有弹簧的系统，一定不要遗漏弹簧的弹性势能。

[考法细研]

考法1　轻绳连接的物体系统

[例1]　如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2。若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5m/s，则A和B的质量关系为(　　)

A.＝　　B.＝　　C.＝　　D.＝

[解析]　圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcos θ＝，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋mv2＋MvA2，其中hA＝－l，联立可得＝，故A正确。

[答案]　A

[规律方法]

考法2　轻杆连接的物体系统

[例2]　(2020·江苏高考)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

(1)重物落地后，小球线速度的大小v；

(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；

(3)重物下落的高度h。

[解析]　(1)小球线速度v＝ωr，得v＝2ωR。

(2)向心力F向＝2mω2R

设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α＝F向；Fsin α＝mg

解得F＝。

(3)落地时，重物的速度v′＝ωR，

由机械能守恒得Mv′2＋4×mv2＝Mgh

解得h＝(ωR)2。

[答案]　(1)2ωR　(2)

(3)(ωR)2

[规律方法]

考法3　轻弹簧连接的物体系统

[例3]　(2021年1月新高考8省联考·河北卷)(多选)如图，一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正确的是[弹簧的长度为l时弹性势能为k(l－l0)2](　　)

A．金属环的最大加速度为g

B．金属环的最大速度为g

C．金属环与细杆之间的最大压力为mg

D．金属环达到最大速度时重力的功率为mg2

[解析]　刚释放时，弹簧处于原长，弹力为0，所以金属环的最大加速度为am＝gsin 45°＝g，故A错误；设平衡位置弹簧的伸长量为x1，根据平衡条件，沿杆方向有mgsin 45°＝kx1cos 45°，由机械能守恒定律得2mg＝kx＋(2m)v，解得金属环的最大速度为v0＝g，金属环达到最大速度时重力的功率为P＝mgv0cos 45°＝，故B正确，D错误；当金属环下落到最低点，金属环速度为0，金属环与细杆之间的压力最大。设此时弹簧的形变量为x2，由机械能守恒定律得2mg＝kx，对金属环进行受力分析，垂直于杆方向有FN＝mgcos 45°＋kx2sin 45°，解得金属环与细杆之间的最大压力为FN＝mg，故C正确。

[答案]　BC

 [规律方法]

考点四　用机械能守恒定律解决非质点运动问题

非质点运动问题一直是高考考查的难点问题，学生在解答这类问题时常常出错，原因是不能正确找到物体的“质心”，从而不能正确判断物体重力势能的变化情况或重力做功情况。

1．(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中(　　)

A．水柱的重力做正功

B．大气压力对水柱做负功

C．水柱的机械能守恒

D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2

解析：选ACD　把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降，重力所做正功：WG＝ρgS＝ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确。

2．如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B点的距离为L－a。现自由释放链条，则：

(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；

(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？

解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。

(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，

高度减少量h＝sin α＝sin α

该部分的质量为m′＝(L－a)

由机械能守恒定律可得：(L－a)gh＝mv2，

解得：v＝ 。

答案：(1)守恒　理由见解析　(2)

3．如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。

解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，

圆形轨道上那部分列车的质量M′＝·2πR

由机械能守恒定律可得：Mv02＝Mv2＋M′gR

又因圆形轨道顶部车厢应满足：mg＝m，

可求得：v0＝ 。

答案：

[共性归纳]

1．物体虽然不能看成质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。

2．在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。

3．非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为mv2。