2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）解答题：三角函数与解三角形

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

解答题：三角函数与解三角形

1.在中，内角的对边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若，求的最小值.

2.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，使得问题成立，并求的长和的面积.

如图，在中，为边上一点，，__________，求的长和的面积.

3.设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项.

(1)求角的大小；

(2)若，求周长的最大值.

4.已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若对任意，有，求函数在上的值域.

5.已知函数图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.

(1)求和的值；

(2)求函数在上的单调递减区间.

6.在中，角的对边分别是，已知向量，且满足.

(1)求角的大小；

(2)若，试判断的形状.

7.已知的内角满足.

(1)求角；

(2)若的外接圆半径为1，求的面积的最大值.

8.在中，角所对的边分别为，且是边的点.

(1)求角；

(2)若，求的长.

答案以及解析

1.答案：(1)中，，

由正弦定理知，，

，

，

，

，

.

(2)由(1)及得，

，

当且仅当时取等号，故的最小值为.

2.答案：选条件①，，

所以.

在中，由余弦定理，得.

在中，由正弦定理，得，即，

所以.

所以，所以，所以.

所以的面积为.

选条件②，，

所以.

所以.

在中，由正弦定理，得，得.

因为，所以，所以.

所以的面积为.

选条件③，，

所以.

因为，所以，

在中，可得，所以，.

所以.

在中，由正弦定理，得，

得.

因为，所以，所以，所以.

所以的面积为.

3.答案：(1)由题意得，由正弦定理得，即，易知，解得，所以.

 (2)解法一  由余弦定理得，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为6.

解法二  由正弦定理得，故的周长为.当时，的周长取得最大值，为6.

4.答案：(1)，

故函数的最小正周期.

(2)由(1)知.

因为对任意，有，

所以，

当时，，则，

所以，即.

故函数在上的值域为.

5.答案：(1)当时，取得最大值为.

又图象上最高点的纵坐标为2，，即.

又的图象上相邻两个最高点的距离为，

的最小正周期，.

(2)由(1)得，

由，得.

令，得.

函数在上的单调递减区间为.

6.答案：(1)，

又，

，

，即，

.

(2)由余弦定理得①，

又②，联立①②得，即，解得或.

①若，则，

，此时是以角为直角的直角三角形.

②若，则，此时是以角为直角的直角三角形.

7.答案：(1)记的内角的对边分别为，则由正弦定理可得，

化简得，

由余弦定理得，

又，.

(2)解法一  记外接圆的半径为，由正弦定理，得，

由余弦定理得，

即(当且仅当时取等号)，

故，

即的面积的最大值为.

解法二  记外接圆的半径为，由正弦定理，得，

.

，

.

当，即时，取得最大值，

的面积的最大值为.

8.答案：(1)由，得，

，

，

，

又，.

(2)在中，，

，

，

在中，由，

得.