2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）解答题：平面解析几何

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

解答题：平面解析几何

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积.

2.如图，已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧.记的面积分别为.

(1)求的值及抛物线的准线方程；

(2)求的最小值及此时点的坐标.

3.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.

(1)求的方程；

(2)设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.

4.已知为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.

(1)求双曲线的方程；

(2)过圆上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：.

5.顺次连接椭圆的四个顶点，恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)如图，设直线与椭圆相切于点，过点作，垂足为，求面积的最大值.

6.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5.

(1)求与的值；

(2)设动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在与的取值无关的定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7.已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为.

(1)求抛物线和双曲线的方程；

(2)已知直线过点，且与抛物线交于两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，求的最大值.

8.已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为.过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点(不同于点)，直线与直线交于点，连接，过点作的垂线，与直线交于点.

(1)求椭圆的方程，并求点的坐标；

(2)求证：三点共线.

答案以及解析

1.答案：(1)因为长轴长是短轴长的倍，所以.

因为右焦点的坐标为，所以.

结合，得.

所以椭圆的标准方程为.

(2)设.

由得.

则.

因为线段中点的横坐标为，

所以.

解得，即，代入一元二次方程得，符合题意，

所以直线的方程为.

因为.

点到直线的距离.

所以的面积.

2.答案：(1)由题意得，即.

所以，抛物线的准线方程为.

(2)设，重心.令，则.由于直线过点，故直线的方程为，代入，得

，

故，即，所以.

又由于及重心在轴上，故，

得.

所以，直线的方程为，得.

由于在焦点的右侧，故.从而

.

令，则，

.

当时，取得最小值，此时.

3.答案：(1)由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.

又由知，不经过点，所以点在上.

因此解得

故的方程为.

(2)设直线与直线的斜率分别为.

如果与轴垂直，设，由题设知，且，可得的坐标分别为.

则，得，不符合题设.

从而可设.

将代入得，

.

由题设可知.

设，则.

而

.

由题设，故.

即.

解得.

当且仅当时，，于是，

即，

所以过定点.

4.答案：(1)根据已知条件，得，

所以.

因为轴，所以.

在中，，得.

所以双曲线的方程为.

(2)①当直线的斜率不存在时，则，

于是，此时.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

联立得消去并整理，得.

则且.

因为为的中点，

所以，即点的坐标为.

则.

.

又点到直线的距离，所以，即.

所以，

，

由此得.

综上，.

5.答案：(1)由题意可得解得，

故椭圆的标准方程为.

(2)显然直线的斜率存在且不为0，设直线，

联立得得，

则，得，

所以.

由，得直线的方程为，

联立得得，

所以，

又，

所以，

当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为.

6.答案：(1)根据抛物线定义，知，解得，

所以抛物线方程为.

由点在抛物线上，得，所以.

(2)抛物线方程为，

当时，直线与抛物线只有一个交点，显然不合题意.

当时，假设存在点满足题意，，

由，得，即.

整理得.

联立方程得整理得，

所以，

得，所以，解得，

因此存在点满足题意.

7.答案：(1)由双曲线过点，且其离心率为，

得，又，

得，

故双曲线的方程为.

由是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，可得，解得.

故抛物线的标准方程为.

(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为.此时，

故圆的方程为，

可得(或)，.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由题意可得.

联立方程得化简得.

设，则，

可得.

设圆的半径为，则.

如图，过点作，垂足为.

在中，.

故，则.

综上可得，的最大值为.

8.答案：(1)因为点在椭圆上，且椭圆的一个顶点的坐标为，

所以得

则椭圆的方程为，椭圆的右焦点的坐标为.

(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为.

显然，或.

当时，直线的方程为，

得点的坐标为，所以.

则直线的方程为，得点的坐标为.

.

所以，所以三点共线.

同理，当时，三点共线.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由，得，

.

设，则.

易知直线的方程为，得点的坐标为，

所以.

则直线的方程为，得点的坐标为.

.

所以

，

所以与共线，所以三点共线.

综上，三点共线.