2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）解答题：数列

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

解答题：数列

1.在等比数列中，，前n项和为是和的等差中项.

（1）求的通项公式；

（2）设，求的最大值.

2.已知数列满足.

(1)若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；

(2)若为等差数列，公差，证明：.

3.在①数列的前项和；②数列是首项为1，公差不为0的正项等差数列，且，成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，说明理由.

已知数列，且__________，设，是否存在正整数使得成等差数列?

4.已知数列的前项和为，且对任意的有.

(1)设，求证：数列是等比数列；

(2)设且，求的通项公式.

5.已知是等差数列，满足，数列满足，且为等比数列.

(1)求数列和的通项公式；

(2)求数列的前项和.

6.已知数列满足：.

(1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，若不等式成立，求正整数的最小值.

7.设是公比不为1的等比数列，为的等差中项.

(1)求的公比；

(2)若，求数列的前项和.

8.已知数列的首项，前项和为，且满足，数列满足，对任意的，都有.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，求.

答案以及解析

1.答案：（1）由题意得，即，设等比数列的公比为q，则有，解得，

.

（2），

设，当或4时，取到最小值，，

的最大值为64.

2.答案：(1)由得，解得.

由得.

由得.

(2)由得，

所以，

由得，因此.

3.答案：若选①，

当时，，

当时，，满足上式，故，

所以.

设存在正整数使得成等差数列，

则，即，

即，

即，即.

由，且可得是奇数，

所以(舍去)或，所以，

故存在使得成等差数列.

若选②，由成等比数列，可得，

设数列的公差为，则，可得，

所以，所以.

假设存在正整数使得成等差数列，

则，即，

即，

即，即.

由，且可得是奇数，

所以(舍去)或，所以，

故存在使得成等差数列.

若选③，因为，

所以，即，所以.

假设存在正整数使得成等差数列，

则，即，

即，

即，即.

由，且可得是奇数，

所以(舍去)或，所以，

故存在使得成等差数列.

4.答案：(1)由及，得.

又由及，得

.

，即.

数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2)由(1)知，

.

又.

，

数列是首项为，公比为的等比数列，

.

5.答案：(1)设等差数列的公差为，

由题意得.

所以.

设等比数列的公比为，由题意得，解得.

所以.

从而.

(2)由(1)知.

数列的前项和为，数列的前项和为.

所以数列的前项和为.

6.答案：(1)因为，即，

所以，即，

又，故是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，

所以数列的通项公式为.

(2)因为，所以，

因为，

所以，

因为数列的前项和为，

所以.

令，即，可得，

当时，；

当时，，

故当时，不等式成立，

所以使不等式成立的正整数的最小值为31.

7.答案：(1)设的公比为，由题设得，即.

所以，解得 (舍去)或.

故的公比为.

(2)记为的前项和.由(1)及题设可得，.

所以，

.

可得

.

所以.

8.答案：(1)当时，.

，当时，，

两式相减得，

得数列的通项公式为.

对任意的，都有，

令，得，

数列是首项和公差均为2的等差数列，

数列的通项公式为.

(2)由(1)得，

，①

，②

由①②得，

.