2022年中考数学三轮冲刺专题训练06《分类讨论思想》（含答案）

专题训练(六)[分类讨论思想]

1.如图是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是              (　　)

A.2个 B.3个      C.4个 D.5个

2.如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是　　　　. 

3.如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是　　　　. 

4.在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=BC,则△ABC的顶角的度数为　　. 

5.矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为　　　　　. 

6.如图,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,已知A(3,0),且M1,-是抛物线上一点.

(1)求a,b的值;

(2)连接AC,设点P是y轴上任一点,若以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标;

(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O,A重合),过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于点H.设ON=t,△ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式.

7.如图①,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.

(1)求抛物线的表达式.

(2)如图ZT6-5②,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值.

(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

8.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图6①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.

(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.

(3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.

参考答案

1.B　[解析] 由图可知,矩形的长是宽的2倍,以点B为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有2个,以点A为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有1个,∴满足条件的有3个.

2.0或4-4或4<x<4

3.10或4或2　[解析] ∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,

∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6,

∴AD==8.

∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:

(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形,

则这个平行四边形较长的对角线的长是10.

(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形,

则这个平行四边形较长的对角线的长是 =4.

(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形,

则这个平行四边形较长的对角线的长是=2.

综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.

4.30°或90°或150°　[解析] 应分下列三种情况求顶角.(1)若角A是顶角,如图①,AD=BC,则AD=BD,底角为45°,所以顶角为90°;(2)若角A不是顶角,当三角形是锐角三角形时,如图②,则在△ACD中,AD=BC=AC,所以顶角为30°;若三角形是钝角三角形,如图③,则∠ACD=30°,所以顶角为150°.故填30°或90°或150°.

5.3或　[解析] 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图所示,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=DC=3;

(2)如图所示,

若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD==10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴==,∴PE=CD=.

综上所述,PE的长为3或.

6.解:(1)由题意,得

解得

(2)由(1)得,抛物线的关系式为y=x2-x-2,当x=0时,y=-2,∴C(0,-2).

∵以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,∴分三种情况:

①若AC=AP(如图①),

由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2);

②若CA=CP(如图②),

∵AC===,

∴P2(0,-2+),P3(0,-2-);

③若AP=PC(如图③),设点P的坐标为(0,m),则AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m2+32,解得m=,

∴P40,.

综上所述,符合条件的点P有4个,坐标分别为P1(0,2),P2(0,-2+),P3(0,-2-),P40,.

(3)设抛物线的对称轴交x轴于点D,交AC于点E,

∵抛物线y=x2-x-2的对称轴为直线x=1,

∴D(1,0).

又∵tan∠OAC==,

∴=,

∴DE=.

∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA,

∴=,即=,

∴DH=|t-1|.

分两种情况:

①当0<t<1时(如图④),S=·t·(1-t)=-t2+t;

②当1<t<3时(如图⑤),S=·t·(t-1)=t2-t.

综上所述,S与t之间的函数关系式为S=

7.解:(1)将x=0代入抛物线的解析式,得y=2.∴C(0,2).

∵四边形OBDC为矩形,

∴OB=CD=1.∴B(1,0).

又∵AB=4,∴A(-3,0).

设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1).

将点C的坐标代入得-3a=2,

解得a=-,

∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2.

(2)∵点E在CD上,∴yE=2.

将y=2代入抛物线的解析式,得-x2-x+2=2,解得x=0或x=-2.

∴E(-2,2).

∴EC=OC=2,∴∠COE=45°.

∵PG∥y轴,

∴∠PGH=∠COE=45°.

又∵PH⊥OE,

∴PH=PG.

设直线OE的解析式为y=kx,将点E的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1.

∴直线OE的解析式为y=-x.

设点P的坐标为m,-m2-m+2,则点G的坐标为(m,-m).

∴PG=-m2-m+2+m=-m2-m+2.

∴l=×-m2-m+2=-m2-m+=-m+2+.

∴l的最大值为.

(3)抛物线的对称轴为直线x=-=-1.设点N的坐标为(-1,n),点M的坐标为(x,y).

①当AC为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知=,解得x=-2.

将x=-2代入抛物线的解析式得y=2.

∴M(-2,2).

②当AM为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知=,

解得x=2.

将x=2代入抛物线的解析式得y=-×4-×2+2=-.

∴M2,-.

③当AN为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知=,解得x=-4.

将x=-4代入抛物线的解析式得y=-.

∴M-4,-.

综上所述,点M的坐标为(-2,2)或2,-或-4,-.

8.解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,

∴△ABC不是等腰三角形,

∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,

∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形,

∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,

∴△BCD∽△BAC,

∴CD是△ABC的完美分割线.

(2)①当AD=CD时,如图①,∠ACD=∠A=48°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.

②当AD=AC时,如图②,∠ACD=∠ADC==66°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.

③当AC=CD时,如图③,∠ADC=∠A=48°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去.

∴∠ACB=96°或114°.

(3)由已知AC=AD=2,

∵△BCD∽△BAC,

∴=,设BD=x,

∴()2=x(x+2),∵x>0,∴x=-1,

∵△BCD∽△BAC,

∴==,∴CD=×2=-.