辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市2020届高三一模考试数学（文）试题+Word版含解析

数学试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先计算集合A，然后对集合A和集合B取交集即可.

【详解】由题意可得，，

则

故选C

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.

2.若复数z满足z（i-1）=2i（i虚数单位），则为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【详解】z（i-1）=2i（i为虚数单位），∴-z（1-i）（1+i）=2i（1+i），

∴-2z=2（i-1），解得z=1-i．则=1+i．

故选A．

【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

3.已知向量，若，则（   ）

A 1 B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．

【详解】；

∵；

∴；

解得．

故选B.

【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．

4.从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为（    ）

A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3

【答案】D

【解析】

【分析】

利用排列、组合，求得基本事件的总数为种，再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人

基本事件总数为种，

其中选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种，

所以选中的2人都读过《红楼梦》的概率为，故选D.

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5.若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离为（  ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】B

【解析】

由抛物线的标准方程可知抛物线的准线方程为

设点的坐标为，由题意结合抛物线的定义可得：

，

则到轴的距离为9.

本题选择B选项.

6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（   ）

A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了

【答案】C

【解析】

【分析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.

【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，

若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，

若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，

综上可得甲被录用了，

故选：C.

【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.

7.已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数与对数的性质与0，1比较即可

【详解】，，，所以.

故选：D.

【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与0,1 比较是常用方法，是基础题

8.已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，

若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，

则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

9.已知等比数列{an}中，若a5+a7＝8，则a4（a6+2a8）+a3a11的值为（    ）

A. 8 B. 16 C. 64 D. 128

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等比数列{an}中，等比中项的定义，化简求解本式即可.

【详解】等比数列{an}中，

a4（a6+2a8）+a3a11＝a4a6+2a4a8+a3a11，

∵a5+a7＝8，

∴a4（a6+2a8）+a3a11＝82＝64.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列和等比中项的应用，属于基础题.

10.已知函数，给出下列四个命题：（    ）

①的最小正周期为                        ②的图象关于直线对称

③在区间上单调递增               ④的值域为

其中所有正确的编号是（    ）

A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③

【答案】C

【解析】

【分析】

举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论，时，对应的最值，即可得出的值域.

【详解】

函数，，，故函数的最小正周期不是，故①错误．

由于，，∴， 故的图象不关于直线对称，故排除②．

在区间上，，，单调递增，故③正确．

当时，

故它的最大值为，最小值为

当时，，

综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．

故选：C

【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.

11.函数图象的大致形状是（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据函数为偶函数，故排除B，D.再根据，排除A，即可得到答案.

【详解】的定义域为，

.

所以为偶函数，故排除B，D.

，故排除A.

故答案为：C

【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象，利用函数奇偶性和特值为解题的关键，属于中档题.

12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为(   )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据双曲线的定义，，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.

【详解】由已知可得，若，

即，左支上的点均满足，

如图所示，当点位于点时，最小，

故，即,

,

或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .

【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.将答案填在答题纸上.

13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．

【答案】60

【解析】

【分析】

采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.

【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，

∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.

故答案为60.

14.已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为__________.

【答案】2

【解析】

【分析】

首先求导得到，再根据切点和切线方程即可得到的值.

【详解】，，

因为，所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查导数几何意义的切线问题，属于简单题.

15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.

【答案】

【解析】

【详解】设此等差数列为{an}，公差为d，则

（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，

故答案为．

16.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据题意得到，根据三棱锥体积的最大值为得到三棱锥高的最大值，再求外接球的半径和表面积即可.

【详解】设的外接圆的半径为，

因为，，

所以，.

.

设到平面的距离为，

因为三棱锥体积的最大值为，即

所以.

设球体的半径为，则，解得.

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，同时考查了球体的表面积公式，属于中档题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知在中,角所对的边分别为,且.

（1）求角的大小;    

（2）若,求的取值范围.

【答案】（1）； （2）

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理化简已知等式可得，根据余弦定理可求的值，结合范围，可求的值.
（2）由余弦定理，基本不等式可求，又根据两边之和大于第三边可得，即可求解的取值范围.

【详解】（1）由则，

，

所以，

而，

故.

（2）由  且，

  所以，

又，

所以的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式等在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.

18.某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.

(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);

(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.

【答案】（1）中位数为，平均数为 （2）

【解析】

【分析】

(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,求出即可求得答案;

(2)因为样本中90分及以上的频率为,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图,即可估计该校高一学生数学成绩达到人数.

“优秀”等次的人数

【详解】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为

因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,

由,得.

所以,这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,

(2)因为样本中90分及以上的频率为,  

 所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到

“优秀”等次的人数为人.

【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题的关键是根据频率分布直方图提供的数据,求出频率.再求出学生数,属于基础题.

19.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点．

（1）求证: 平面平面；

（2）求证:平面；

（3）求三棱锥体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.

（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，

又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.

（2）取AB中点G，连结EG，FG，

因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，

因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，

所以四边形为平行四边形，所以EG，

又因为EG平面ABE，平面ABE，

所以平面.

（3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，

所以三棱锥的体积为：==.

考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

20.已知椭圆的焦距为2，过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为F，定点，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

【分析】

（1）根据题意列方程组，求解，，即可.

（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：，与椭圆方程联立，得到，，由题意可知，，则，确定的方程，由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，求解，即可.

【详解】（1）由题知 ，  解得，，

所以椭圆的方程为；

（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：，

由  得，

则，，

因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则，

则，故的方程为：    ，

由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，则

，

而，，，

所以，

故直线恒过定点，且定点为.

【点睛】本题考查椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，属于较难的一道题.

21.已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：（i）；

（ii）对任意，对恒成立．

【答案】（1）的单调递增区间为，，的单调递减区间为. （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将代入函数解析式，并求得导函数，由导函数的符号即可判断的单调区间；

（2）（i）构造函数并求得，利用的单调性求得最大值，即可证明不等式成立.；（ii）由（i）可知将不等式变形可得成立，构造函数，因式分解后解一元二次不等式即可证明对恒成立．

【详解】（1）若，（），

令，得或， 则的单调递增区间为，.

令，得，则的单调递减区间为.

（2）证明：（i）设，

则（），

令，得；

令，得.

故，

从而，即.

（ii）函数

由（i）可知

即，所以，当时取等号；

所以当时，则

若，令

则，

当时，.

则当时，，

故对任意，对恒成立.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立问题，构造函数法的应用，属于中档题.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求曲线和直线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于P，Q两点，求的值.

【答案】（1）的极坐标方程为；直线的极坐标方程    （2）

【解析】

试题分析：（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程；（2）根据（1）所得到的结果代入到极坐标方程中，利用几何意义可得结果.

试题解析：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），转化为普通方程：，即，则的极坐标方程为，∵直线的方程为，∴直线的极坐标方程．

（2）设，，将代入，得：，∴，∴．

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．

（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若∀x∈R，∃t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求实数m的取值范围．

【答案】（Ⅰ）[-2，-]；（Ⅱ）0＜m＜1

【解析】

【分析】

（Ⅰ）分段去绝对值解不等数组后在相并可得；

（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|⇔f（x）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立，对实数t有解．

再利用分段函数的单调性求得f（x）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t+1|-|t-1|的最大值，然后将问题转化为f（x）的最大值＜（|t+1|-|t-1|）的最大值可得．

详解】（Ⅰ）当m=1时，|x-1|-|2x+2|≥1⇔或或，

解得-2≤x≤-，所以原不等式的解集为[-2，-]．

（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|⇔f（x）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立，对实数t有解．

∵f（x）=，

根据分段函数的单调性可知：x=-m时，f（x）取得最大值f（-m）=2m，

∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，

∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值为2．

所以问题转化为2m＜2，解得0＜m＜1．

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．