数学八年级上册12.5 因式分解教案

12.5　因式分解

一、基本目标

1．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．

2. 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．

3．掌握平方差公式、完全平方公式分解因式的方法．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握因式分解的意义及用提公因式法和公式法把多项式分解因式．

【教学难点】

综合运用提公因式法和公式法分解因式．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P42～P45的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

一、因式分解的概念

1．把下列多项式写成整式的积的形式：

x2＋x＝x(x＋1)；x2－1＝(x＋1)(x－1)；ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．

2．把一个多项式化成几个整式的乘积_的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．

3．多项式与因式分解的关系：

多项式整式的乘积

4．下列各式从左到右的变形为因式分解的是_③_.(填序号)

①(x＋1)(x－1)＝x2－1；②a2－1＋b2＝(a＋1)(a－1)＋b2；③7x－7＝7(x－1)．

二、公因式与提公因式法

1．公因式：如果一个多项式中_各项_都含有一个_公共的_因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如pa＋pb＋pc中，p_是这个多项式的公因式．

2．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式_提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的_乘积的_形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．字母表示：pa＋pb＋pc＝p(_a＋b＋c_)．

3．多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是_3ab_.

4．把下列各式分解因式：

(1)3x2－6xy；

(2)3a2(x－y)3－4b2(y－x)2.

解：(1)x(3x－6y)．　(2)(x－y)2 (3a2－4b2)．

三、公式法

(一)平方差公式

1．(1)(x＋2)(x－2)＝ 　x2－4　；(y＋5)(y－5)＝　y2－25　.

(2)根据(1)中等式填空：

x2－4＝　(x＋2)(x－2)　；y2－25＝　(y＋5)(y－5)　.

2．平方差公式：a2－b2＝_(a＋b)(a－b)_．即两个数的平方差，等于_这两个数的和_与_这两个数的差的积_．

3．下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是__②__.(填序号)

①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.

(二)两数和(差)的平方

1．填空：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

2．根据(1)中的式子填空：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.

3．形如a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．

4．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝_(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方 .

5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是___③__.(填序号)

①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】把下列多项式分解因式：

(1)(a＋b)(a－b)－a－b；

(2)m2(16x－y)＋n2(y－16x)；

(3)16x4－y4；

(4)(a2＋4)2－16a2.

【互动探索】(引发学生思考)观察式子中的各项的特点→确定公因式→公式法分解因式．

【解答】(1)原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)＝(a＋b)(a－b－1)．

(2)原式＝(16x－y)(m2－n2)＝(16x－y)·(m＋n)(m－n)．

(3)原式＝(4x2＋y2)(4x2－y2)＝(4x2＋y2)·(2x＋y)(2x－y)．

(4)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)·(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．

(2)在平方差公式和完全平方公式中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数．

【例2】计算：

(1)5722×－4282×；

(2)342＋34×32＋162.

【互动探索】(引发学生思考)观察式子，看有什么特点，是否符合乘法公式的结构特征？

【解答】(1)原式＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36 000.

(2)原式＝(34＋16)2＝2500.

【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，有时可以运用乘法公式使运算简便．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．下列从左到右的变形中是因式分解的有(　B　)

①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

2．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是(　C　)

A．5mn B．5m2n2

C．5m2n D．5mn2

3．下列分解因式正确的是(　B　)

A．x3－x＝x(x2－1)

B．x2－1＝(x＋1)(x－1)

C．x2－x＋2＝x(x－1)＋2

D．x2＋2x－1＝(x－1)2

4．当整数a为_－4时(只写一个)，多项式x2＋a能用平方差公式分解因式．

5．若x2＋(m－3)x＋16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于_－5或11_.

6．把下列多项式分解因式：

(1)x2(a－1)＋x(1－a)；

(2)9(m＋n)2－(m－n)2；

(3)2a3－4a2b＋2ab2；

(4)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.

解：(1)原式＝x2(a－1)－x(a－1)＝(a－1)·(x2－x)＝x(a－1)(x－1)．

(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．

(3)原式＝2a(a2－2ab＋b2)＝2a(a－b)2.

(4)原式＝(x2－1)2－6(x2－1)＋9＝(x2－1－3)2＝(x＋2)2(x－2)2.

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例3】 248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．

【互动探索】找出248－1的特点→用平方差公式化简→得出结论．

【解答】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)·(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．

∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，

∴这两个数是65和63.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！