华师大版八年级上册12.3 乘法公式综合与测试教学设计

12.3　乘法公式

1　两数和乘以这两数的差(第1课时)

一、基本目标

掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算．

二、重难点目标

【教学重点】

平方差公式．

【教学难点】

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P30～P32的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．根据条件列代数式：

(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；

(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.

2．(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.

观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式；等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差．

(2)平方差公式：(a＋b)(a－b) ＝　a2－b2 　，也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于_这两个数的平方差_．

2．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝__80_.

3．计算(3－x)(3＋x)的结果是_9－x2_.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】运用平方差公式计算：

(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；

(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．

【互动探索】(引发学生思考)观察各式子的特点，确定用什么公式计算？

【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.

(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.

(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.

【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

【例2】计算：100×99.

【互动探索】(引发学生思考)观察式子特点，直接计算比较难，将原式转化为，用平方差公式计算．

【解答】原式＝＝10 000－＝9999.

【互动总结】(学生总结，老师点评)可将两个因数写成相同的两个数的和与差，形成平方差公式结构．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．下列运算中，可用平方差公式计算的是(　C　)

A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)

C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)

2．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是_(a＋b)(a－b)＝a2－b2_.

图1 图2

3．长方形的长为(2a＋3b)，宽为(2a－3b)，则长方形的面积为_4a2－9b2_.

4．若(m＋3x)(m－3x)＝16－nx2，则mn的值为_±36_.

5．计算：

(1)；

(2)；

(3)(2a－3b)(2a＋3b)(4a2＋9b2)(16a4＋81b4)．

解：(1)x2－y2.　(2)0.49a4b2－x2.　(3)256a8－6561b8.

6．运用平方差公式简算：

(1)20×19；　　 (2)13.2×12.8.

解：(1)原式＝×＝400－＝399.

(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例3】 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？

【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→需化简代数式→化简结果是否是10的倍数→做出判断．

【解答】原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)．

∵n为正整数，

∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．

【互动总结】(学生总结，老师点评)平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

平方差公式：(a＋b)(a－b) ＝ a2－b2.

请完成本课时对应练习！

2　两数和(差)的平方(第2课时)

一、基本目标

1．掌握两数和(差)的平方公式及其结构特征．

2．会用两数和(差)的平方公式进行简单计算．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握两数和(差)的平方公式的结构特征．

【教学难点】

灵活应用两数和(差)的平方公式解决问题．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P32～P34的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．按要求列代数式：

(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；

(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.

2．计算下列各式：

(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；

(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；

(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.

3．(1)两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2_.这就是说，两数和的平方，等于_这两数的平方和_加上_它们的积的2倍．

(2)两数差的平方公式：(a－b)2 ＝__a2－2ab＋b2_ .这就是说，两数差的平方，等于_这两数的平方和_减去_它们的积的2倍．

4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2___.

图1 图2

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】运用完全平方公式计算：

(1)(5－a)2；　 　　(2)(－3m－4n)2；

(3)(－3a＋b)2；　　(4)(a＋b＋c)2.

【互动探索】(引发学生思考)观察式子的特点，怎样运用两数和(差)的平方公式进行计算？

【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.

(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.

(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.

(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)两数和(差)的平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．

【例2】计算：(1)9982；

(2)20182－2018×4034＋20172.

【互动探索】(引发学生思考)(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算．(2)逆用完全平方公式即可．

【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1 000 000－4000＋4＝996 004.

(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)中可将该式变形为(1000－2)2，再运用两数和(差)的平方公式可简便运算．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是(　C　)

A．(－1＋x2y2)2 B．(1＋x2y2)2

C．(－1＋x2y)2 D．(－1－x2y)2

2．若|a－b|＝1，则b2－2ab＋a2的值为(　A　)

A．1 B．－1

C．±1 D．无法确定

3．下列关于962的计算方法正确的是(　D　)

A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984

B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024

C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136

D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216

4．运用完全平方公式计算：

(1)(－3a＋2b)2 ；　(2)(a＋2b－1)2；

(3)50.012；　　 　 (4)49.92.

解：(1)4b2－12ab＋9a2. (2)a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1. (3)2501.0001. (4)2490.01.

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例3】已知a＋b＝4，ab＝－5，求下列各式的值．

(1)a2＋b2；

(2)(a－b)2.

【互动探索】由已知等式联想到什么乘法公式？所求代数式与已知等式有什么关系？怎样求解？

【解答】(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab.

把a＋b＝4，ab＝－5代入，得a2＋b2＝42－2×(－5)＝16＋10＝26.

(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.

把a＋b＝4，ab＝－5代入，得(a－b)2＝42－4×(－5)＝16＋20＝36.

【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式的常用变形：

(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；

(2)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]；

(3)(a－b)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)；

(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝4ab；

(5)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；

(6)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；

(7)ab＝2－2；

(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]；

(9)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

完全平方公式　两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．

字母表示：(a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2；(a－b)2 ＝ a2－2ab＋b2.

请完成本课时对应练习！