人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品一课一练

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4.3.1等比数列的概念同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在等比数列中，，，则等于 

A. 或 B.  C.  D. 或

2. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则  

A.  B.  C.  D.

3. 在等比数列中，，是方程的二根，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

4. 设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，给出下列结论：

；

；

的值是中最大的；

使成立的最小自然数等于．

其中正确的结论有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 正项等比数列中，，且与的等差中项为，则   

A.  B.  C.  D.

6. 在等比数列中，表示前项和，若，，则公比等于

A.  B.  C.  D.

7.  已知数列满足递推关系，其中为正常数，且．若等式成立，则正整数的所有可能取值之和为 

A.  B.  C.  D.

8. 已知等比数列中，，，则

A.  B.  C.  D.

9. 已知正项等比数列中，，则

A.  B.  C.  D.

10. 数列满足，且，则   

A.  B.  C.  D.

11. 正项等比数列中，，则的值是

A.  B.  C.  D.

12. 已知等比数列的前项和是，，，则   

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 若，，，，成等比数列，则                    ．
14. 在等比数列中，，，则的值为          ．

已知等比数列中，，，则公比          ．

已知等比数列中，，则          ，公比          ．

15. 设是公差不为的等差数列，是等比数列，若是与的等比中项，则          ，          ．
16. 设正项等比数列的前项和为，若，，则公比      ，      ．
17. 已知等比数列的首项为，是其前项和，某同学经计算得，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是          ，该数列的公比是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 为等比数列的前项和，已知，，且公比．

求及；

是否存在常数，使得数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．






 

19. 已知等比数列是递增数列，，数列满足，且

证明：数列是等差数列；

若对任意，不等式总成立，求实数的最大值．






 

20. 设数列的前项的和为，且数列满足，且对任意正整数都有，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    证明数列为等差数列；
    令，问是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为等比数列的前项和，已知，，且公比．

求及；

是否存在常数，使得数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．






 

22. 设数列的前项的和为，且数列满足，且对任意正整数都有，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    证明数列为等差数列；
    令，问是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 棋盘上标有第，，，，站，棋子开始时位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束．设棋子跳到第站的概率为．
    当游戏开始时若抛掷均匀硬币次后求棋手所走站数之和的分布列与数学期望；
    证明：
    求，的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的性质，属于基础题．
利用等比中项的性质得，再利用任意两项的数量关系得，最后计算得结论．

【解答】

解： 因为是等比数列，
所以．

又因为，
所以和为方程的两个根，
解得，或，．

若等比数列的公比为，
则，
所以或．
故选A．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质、等比数列的通项公式和等比数列的性质．
先由等差数列和等比数列的通项公式得出和，再由计算即可．

【解答】

解：设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，
若，，
则，，
即，，
即，，
则．
故选A．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

利用等比数列的性质、韦达定理列方程求解．
本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

【解答】

解：在等比数列中，，是方程的二根，
则，所以，
又，所以，
，
，
则．
故选：．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题．
由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．

【解答】

解：，，，
，．
，故正确；
，，故不正确；
，，，是数列中的最大项，故正确；
，
，
使成立的最小自然数等于，故正确．
正确结论的序号是．
故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列下标和性质的应用，以及等比数列通项公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
根据等比数列的下标和性质结合已知可得，再由等差中项的性质可得，从而求出公比，求得首项．

【解答】

解：由题意，在正项等比数列中，由，
可得，
即，
由与的等差中项为，得，
设等比数列的公比为，则，
则或舍去，
所以，解得．
故选：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等比数列的通项公式，熟练掌握等比数列的通项公式是解本题的关键 根据已知条件，求出，即可得到公比的值．
【解答】
解：由，，
两等式相减得，从而求得．
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等差等比数列的定义与通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知有是公差为的等差数列， 是公比为的等比数列，结合可求得，又，当的值越大，的值就越大，此时与不可能相等，最后求得答案．
【解答】
解：由已知有是公差为的等差数列， 是公比为的等比数列，所以 ，解得舍去，所以，故数列中的项分别为，若满足，当或时，等式成立，当的值越大，的值就越大，此时与不可能相等，故正整数的所有可能取值之和为，
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设等比数列的公比为，，，可得：，，解得，，进而得出．

【解答】

解：设等比数列的公比为，
，，
，，
解得，，
解得，．
故选B．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质、对数的运算，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于容易题．
本题利用等比数列性质求得，再利用对数运算性质可解此题．

【解答】

解：，，又，，
，
，
故选：．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等比数列的定义，通项及其性质，考查对数运算，是基础题．
先由“”探讨数列，得到数列是以为公比的等比数列，再由求解即可．
【解答】
解：，
，
数列是以为公比的等比数列，
又，
，
．
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设正项等比数列的公比为，由，，利用通项公式解得，再利用通项公式即可得出．

【解答】

解：设正项等比数列的公比为，
，，
，，
解得，
．
故选C．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质，前项和，是基础题．
显然，则，得由等比性质得计算即可．

【解答】

解：设等比数列的公比为，
显然，则，
解得．
又．
故选D．

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的通项公式和性质，属于基础题．
利用等比数列的性质可求，求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求．
【解答】
解：由题意，利用等比数列的性质可知，且
故；
设公比为，则
当时，，
当时，，
故  

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质，属于基础题．
直接利用等比数列的通项公式，即可求出结果 

【解答】

解：因为等比数列中，，，
所以；
因为等比数列中，，，
所以，
所以；
等比数列中，，
所以，
所以．
故答案为；；；．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，属于基础题．
根据题意求出首项、公差、公比即可得．

【解答】

解：由题意得，，即，得，
由，得．
，
由，得，，
所以，
所以．
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查等比数列的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．
数列为正项等比数列，故，根据，，成公比为的等比数列，可得的值，再求．
【解答】
解：数列为正项等比数列，，
，，成等比数列且公比为，
，．
，得．
故答案为：；．  

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、求和公式．
根据已知条件先计算，，，由等比数列的性质得出矛盾从而知，之一错误，由，求得，由此验算得到错误．

【解答】

解：
与中必有一个算错了，
 

， 算错了，
故答案为．

18.【答案】解：由题意得
解得，所以，
．
假设存在常数，使得数列是等比数列，
因为，，
，
又因为，
所以，所以，
此时，，则，
故存在，使得数列是以为首项，
公比为的等比数列．
 

【解析】本题主要考查了等比数列的性质与判断，等比数列的通项公式，属于中档题．
由题意可得列出关于和的方程组，解得，，根据通项公式和求和公式即可求出；
假设存在常数，使得数列是等比数列，分别令，，，根据等比数列的性质求出的值，再根据定义证明即可．
 

19.【答案】证明：由等比数列的性质可得，
又，解得，或，，
由于等比数列是递增数列，
则，，
即有公比，
则；
，
，
即有数列是公差为，首项为的等差数列；
解：由可得，
即有，
不等式，
即为对任意恒成立．
所以或时最小值为，则．
即有的最大值为．
 

【解析】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项的求法，同时考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性解决，属于中档题．
运用等比数列的性质和通项，结合等差数列的定义，即可得证；
求出数列的通项，结合不等式恒成立的思想方法，即可得到最大值．
 

20.【答案】解：因为数列的前项的和，        
所以当时，；   
当且时，
，
当时，上式也成立．
所以数列的通项公式为，．
证明：因为对任意正整数都有，，成等比数列，          
所以，即，   
所以，          
两式相除得，对任意正整数都有，          
即，
当为奇数时，，
所以，          
当为偶数时，，
而，所以，
所以，  
所以，        
所以数列为等差数列．   
因为，    
所以，
，，    
因此存在正整数，，使得，，成等比数列
 

，  
因为，都是正整数，
则，，，
即，，时，对应的，，     
所以存在或或
使得，，成等比数列．
 

【解析】本题考查了等差、等比数列的综合应用，属于较难题．
由求，分和两种情况；
结合等差数列的定义，证明等差数列；
假设存在，构造方程组，可解出、．
 

21.【答案】解：由题意得
解得，所以，
．
假设存在常数，使得数列是等比数列，
因为，，
，
又因为，
所以，所以，
此时，，则，
故存在，使得数列是以为首项，
公比为的等比数列．
 

【解析】本题主要考查了等比数列的性质与判断，等比数列的通项公式，属于中档题．
由题意可得列出关于和的方程组，解得，，根据通项公式和求和公式即可求出；
假设存在常数，使得数列是等比数列，分别令，，，根据等比数列的性质求出的值，再根据定义证明即可．
 

22.【答案】解：因为数列的前项的和，        
所以当时，；   
当且时，
，
当时，上式也成立．
所以数列的通项公式为，．
证明：因为对任意正整数都有，，成等比数列，          
所以，即，   
所以，          
两式相除得，对任意正整数都有，          
即，
当为奇数时，，
所以，          
当为偶数时，，
而，所以，
所以，  
所以，        
所以数列为等差数列．   
因为，    
所以，
，，    
因此存在正整数，，使得，，成等比数列
 

，  
因为，都是正整数，
则，，，
即，，时，对应的，，     
所以存在或或
使得，，成等比数列．
 

【解析】本题考查了等差、等比数列的综合应用，属于较难题．
由求，分和两种情况；
结合等差数列的定义，证明等差数列；
假设存在，构造方程组，可解出、．
 

23.【答案】解：解：由题意得的可能取值为，，，，
，
，
，
．
的分布列如下：

．
证明：棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为，
棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，
，即，
．
解：由知数列是首项为，
公比为的等比数列．
，
由此得到，
又，
由于若跳到第站时，自动停止游戏，
故．
 

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题．
由题意得的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，从而，由此能证明．
数列是首项为，公比为的等比数列，从而，由此能求出，的值．