高中数学第四章 数列4.1 数列的概念精品当堂达标检测题

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4.1数列的概念同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 已知数列的前项和，若数列单调递减，则的取值范围是 

A.  B.  C.  D.

2. 函数，数列满足，，且为递增数列．则实数的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

3. 在数列中，，则 

A.  B.  C.  D.

4. 下列有关数列的说法，其中正确的有
   数列中的每一项都与它的序号有关  同一个数在数列中可能重复出现   数列可以看作是一个定义在正整数集或它的有限子集上的函数   数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点    数列的项数是无限的．数列通项的表示式是唯一的   数列的通项公式是定义域为正整数集的函数．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 已知数列，，，，，则是这个数列的   

A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项

6. 意大利数学家斐波那契在年所著的算盘全书中，记载有数列：，若将数列的每一项除以所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前项和为 

A.  B.  C.  D.

7. 若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是

A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项

8. 已知数列，，，，，则是它的    

A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项

9. 已知数列，，，，，则是这个数列的 

A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项

10. 已知数列的前项和为，且，则等于   

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

11. 已知数列满足：，设为数列的前项和，则          ，          ．
12. 已知数列，，且，，，则          ；设，则的最小值为          ．
13. 已知数列满足：，，，，则          ，          ．
14. 设数列的前项和为，若，，，则          ，          ．
15. 已知数列的前项和为，满足，，则          ；          ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

16. 在数列中，已知，．

求证：；

若，求的值；

若，求的值．






 

17. 已知数列的前项和，且，．

求数列的通项公式；

求数列的最小项的值．






 

18. 给定数列，它的前项和为．

若，求的通项公式；

若数列单调递增，求实数的取值范围．






 

19. 已知数列中，，且当，时满足．
    求数列的通项公式；
    设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 设数列的前项和为，已知，，．

求数列的通项公式．






 

21. 数列的通项公式为，求数列中最小的项．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知，求在数列的前项中最大项和最小项．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在数列中，，且为单调递增数列，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了数列的单调性问题，属于中档题．
因为，则 ，两式相减得，为单调递减数列，则，且，所以，且，求解可得结果．
【解答】
解：因为，

所以，
两式相减得，为单调递减数列，
则，且，又 ，
所以，且，
化简得：且，
则的取值范围是．
故选A．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的单调性，属于中档题．
根据题意，可得，解不等式组可得实数的取值范围． 

【解答】

解：，，，且是递增数列，
，解得，
实数的取值范围是    
故选B．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据条件，利用递推式，代入计算，即可求得结论．

【解答】

解：，
，，，，
故选C．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题以命题的真假判断为载体，考查了数列的相关概念，属于基础题．
根据数列的相关概念，逐一分析给定个命题的真假，可得答案．

【解答】

解：数列中的每一项都与它的序号有关，故正确；
同一个数在数列中可能重复出现，正确；
数列可以看作是一个定义在正整数集或它的有限子集上的函数，正确；
数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，正确；
无穷数列的项数是无限的，但有穷数列的项数是有限的，故错误．
数列通项的表示式可以是多样的，故错误；
数列的通项公式是定义域为正整数集或它的有限子集的函数，故错误；
故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的概念与表示，属于基础题．
找出数列的第项为，由，即可求出结果．

【解答】

解：因为数列，，，，，的第项为，
所以由得，
解得，
所以是这个数列的第项．
故选B．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查数列的求和，涉及归纳推理的应用，注意分析数列的规律，属于中档题．
根据题意，分析数列，由此可得数列的各项，分析其变化的规律，得到其周期性，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，数列：，，则，，，
若将数列的每一项除以所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，
则数列的各项依次为：，，，，，，，，，，
则数列的前项和，
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项公式，涉及数列的函数特征，属于拔高题．
根据题意，设，，由基本不等式的性质分析当时，取得最小值，此时取得最大值，利用数列与函数的关系，比较与的大小，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，设，，
则，又由，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最小值，此时取得最大值，
对于数列，其通项公式为，
而，则有，
则数列中最大项是第项，
故选：．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了观察法求数列的通项公式，以及利用通项公式计算数列的项的方法，属于基础题．
根据数列的前几项找规律，归纳出数列的通项公式，再令，解方程即可 

【解答】

解：数列，中的各项可变形为：
，，，，，，
通项公式为，
令，得，
所以是第项．
故选C．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项公式，数列中的项，属基础题．
根据题意可得，令，解得即可得到结果．

【解答】

解：由数列，，，，，则这个数列的通项公式为，
令，
解得，   
故是这个数列的第项 
故选B 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系，数列的求和，属于基础题．
由，先求出，再代入求解即可．

【解答】

解：数列的前项和为，且，
当时，，解得，
当时，，解得，
故选A．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了数列的递推关系式，数列的周期性，属于基础题．
由递推式可以直接算出，，，推得为周期为的数列，可得所求结果．

【解答】

解：，，
，，，，
即有，可得数列的最小正周期为，
即．
故答案为：；．

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查数列的递推关系，等差数列的通项公式以及等比数列的求和，属于较难题．
运用等差数列的通项公式以及累加法求和，得出数列，的通项公式，进行求解即可．
【解答】
解：，，

数列是首项为，公差为的等差数列，
．
，可得，


，
当时，也满足上式，
所以．
故，
因为，
所以当时，可得，
当时，可得，
故的最小值为．
故答案为：；．

13.【答案】  

【解析】

【分析】

本题考查数列递推式的简单应用，属于基础题．
利用题中已知递推式变形求解即可．

【解答】

解：；
因为，
所以，
所以．
故答案为．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项和前项和的关系，数列的递推关系，属于中档题．
运用时，，代入条件，结合，解方程可得首项；再由，结合条件，计算即可得到所求和．

【解答】

解：由时，，可得，
又，即，
即有，解得；
由，可得，
由，可得，
，
．
故答案为：；．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查数列的周期性以及数列的递推关系，属于中档题．
可得，由，进而可得可知：数列是周期为的周期数列，即可求解．

【解答】

解：，，
，
，
，
即
可知：数列是周期为的周期数列，
故；
故答案为．

16.【答案】解：当时，
因为，

所以等式成立．

由知数列是以为周期的周期数列，

所以．

因为，所以，

由于数列是以为周期的，，

所以．

【解析】本题考查周期数列的证明及利用周期数列的特点，求数列的前项和．
利用递推关系得到；

由得到数列以为周期的周期数列，即可求解；

由得，再由周期数列的特点，求得数列前项的和．

17.【答案】解：，
，则，
即，
，
经检验适合，
；
易知，，，
，
当时，，
当时，，当时，，
又，，
当时，有最小值．
 

【解析】本题考查数列的递推关系的应用，以及数列的通项公式和数列的函数特征，属于中档题．
根据数列的递推关系得到，从而得到，注意检验是否适合；
易得，利用比较法得到当时，，当时，，即可得到答案．
 

18.【答案】解：由知，

当时，，

当时，符合上式，

所以；

单调递增，当时
，

即恒成立，

解得．

【解析】本题考查数列的通项公式，以及前项和公式，属于中档题．
由求解即可；

由题意可得，从而可求出实数的取值范围

19.【答案】解：易知，故，，从而，，
故，，
又，故．
由知，，
若对任意的，数列是单调递减数列，
则对任意的恒成立，
即，
又，
由对勾函数的性质可知，当或时，取得最大值，
故实数的取值范围为．
 

【解析】利用已知条件推出，，然后利用累积法求解数列的通项公式．
化简，通过数列是单调递减数列，说明对任意的恒成立，得到的不等式，求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用以及数列与不等式相结合，考查转化思想以及计算能力，是较难题．
 

20.【答案】解：当时，，

当时，也成立，

综上所述，．

【解析】本题考查通项公式求法，属于基础题．

当时，，再求时，，并检验即可．

21.【答案】解：，在上递增，
所以当时，，时，
所以，
故是最小的项，最小项的值是．
 

【解析】本题考查了数列的函数特性，属于中档题．

利用作差法，研究出数列的函数特性得出数列的增减性，从而得出数列的最小项．

22.【答案】解：
，，
当时，数列递减，且，
当时，数列递减，且，
所以数列的前项中最大项和最小项分别为，．

 

【解析】本题考查了数列的最大、最小项，属于中档题．
将转化为：，再借助函数单调性求解即可．
 

23.【答案】解：由，得，

所以．

因为为单调递增数列，所以，
即恒成立，

即恒成立，而

所以，
所以的取值范围为．

【解析】根据递增数列恒成立，即恒成立，即得结果．
本题考查利用数列的单调性求参数的取值范围，属于中档题．