初中数学华师大版八年级上册第14章 勾股定理14.2 勾股定理的应用教案设计

14.2　勾股定理的应用

第1课时　勾股定理的应用(一)

一、基本目标

1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．

 2.在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法的理解．

二、重难点目标

【教学重点】

将实际问题转化为直角三角形模型．

【教学难点】

应用勾股定理解决实际问题．

环节1　自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P120～P121的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400 m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．

【互动探索】(引发学生思考)把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．

【解答】如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500 m，即A、C两点间的距离为500 m.

【互动总结】(学生总结，老师点评)此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？

解：已知A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点．则

AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km)．

在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132，

所以BC＝13 km.

故甲、乙两人相距13 km.

2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．

解：如图，利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝152＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25米．

3．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近桶边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒的长在什么范围内？

解：设伸入油桶中的长度为x m．则伸入长度最长时，x2＝1.52＋22，x＝2.5.

所以这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3(m)．伸入长度最短时，x＝1.5.所以这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2(m)．即：这根铁棒的长应在2～3 m之间．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？

【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．

【解答】如图1，在Rt△DD′B′中，由勾股定理，得B′D2＝32＋42＝25.

如图2，在Rt△DC′B′中，由勾股定理，得B′D2＝22＋52＝29.

因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.

图1 图2

【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

勾股定理在现实生活中的应用

请完成本课时对应练习！

第2课时　勾股定理的应用(二)

一、基本目标

会应用勾股定理及其逆定理解决数学问题．

二、重难点目标

【教学重点】

结合勾股定理及其逆定理解决数学问题．

【教学难点】

结合勾股定理及其逆定理解决数学问题．

环节1　自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P122的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　A　)

A．1.5,2,2.5 B．4,5,6

C．2,3,4   D．1，，3

2．已知△ABC的三边分别是6,8,10，则△ABC的面积是(　A　)

A．24 B．30

C．40 D．48

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，CD⊥AB于点D.

(1)求BC的长；

(2)求CD的长．

解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，

∴BC＝＝12.

(2)S△ABC＝×12×16＝×CD×20，解得CD＝9.6.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD＝12，求四边形ABCD的面积．

【互动探索】(引发学生思考)利用勾股定理可求出BD，再根据勾股定理逆定理求出∠CDB为直角，然后求出△ABD和△BDC的面积，相加即可得解．

【解答】∵∠A为直角，∴BD2＝AD2＋AB2.∵AD＝12，AB＝16，∴BD＝20.∵BD2＋CD2＝202＋152＝252＝BC2，∴∠CDB为直角．∴△ABD的面积为×16×12＝96，△BDC的面积为×20×15＝150，∴四边形ABCD的面积为96＋150＝246.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，是基础题，熟记两个定理并求出∠CDB为直角是解题关键．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高的长为(　A　)

A．   B．

C．   D．

2．下图阴影部分是一个等腰直角三角形，则此等腰直角三角形的面积为12.5 cm2.

3．已知△ABC的三边a＝m－n(m＞n＞0)，b＝m＋n，c＝2.

(1)求证：△ABC是直角三角形；

(2)利用第(1)题的结论，写出两组m、n的值，使三角形的边长均为整数．

解：(1)∵a＝m－n(m＞n＞0)，b＝m＋n，c＝2，∴a2＋c2＝(m－n)2＋(2)2＝m2＋n2－2mn＋4mn＝(m＋n)2＝b2，∴△ABC是直角三角形．　(2)当m＝4，n＝1时，三角形的边长为3,4,5；当m＝9，n＝4时，三角形的边长为5,12,13.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】中国古代对勾股定理有深刻的认识．

(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，求( a＋b)2的值．

(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3,4,5乘以k，得三边长．当面积S等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．

【互动探索】(1)根据勾股定理可以求得a2＋b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2即可求解；

(2)先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．

【解答】(1)根据勾股定理，得a2＋b2＝13.四个直角三角形的面积是ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12 ，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25.

(2)当S＝150时，k＝＝＝＝＝5，所以三边长分别为：3×5＝15,4×5＝20,5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25.

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2＋b2和ab的值是关键．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

勾股定理在数学中的应用

请完成本课对应练习！