华师大版九年级上册24.2直角三角形的性质教案设计

24.2　直角三角形的性质

一、基本目标

1．掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用．

2. 经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法．培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用．

【教学难点】

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明方法．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P102～P103的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．直角三角形的两个锐角__互余__.

2．直角三角形两直角边的平方和等于__斜边__的平方(勾股定理)．

3．直角三角形斜边上的中线等于__斜边的一半__.

4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于__斜边的一半__.

5．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么与∠B互余的角有__∠A、∠BCD__.

6．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD＝4，则AB＝__8__.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD.

【互动探索】(引发学生思考)观察法：E是Rt△ABC、Rt△ADC斜边上的中点→作辅助线，构造直角三角形的中线→得等腰三角形BED→由等腰三角形“三线合一”性质得结论．

【解答】如图，连结BE、DE.

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，

∴BE＝AC＝DE.

∵F是BD的中点，

∴EF⊥BD.

【互动总结】(学生总结，老师点评)由中点我们一般可以联想到中位线和直角三角形斜边上的中线．熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．

【例2】如图，在∠ABC中，∠B＝30°，AC＝，等腰Rt△ACD斜边AD在AB边上，求BC的长．

【互动探索】(引发学生思考)分析法：求BC长，有∠B＝30°→作辅助线，构造直角三角形→利用直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半求解．

【解答】过点C作CE⊥AB交AB于点E.

∵等腰直角△ACD，

∴△AEC是等腰直角三角形．

设CE＝x，

则2x2＝()2，

∴x＝1，即CE＝1.

在Rt△CEB中，∠B＝30°，

∴BC＝2CE＝2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)由∠B＝30°我们应该联想到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．因为∠B不在直角三角形中，所以我们要添加辅助线构造直角三角形．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为(　C　)

A．15° B．25°

C．35° D．45°

2．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于(　D　)

A．5 B．6

C．7 D．8

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且EC＝5，则AE的长为__10__.

4．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点(不与A、B重合)，DE⊥BC于点E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．

解：△PAE为等边三角形．理由：∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，∴PA＝PC＝CD，∴∠ACD＝∠PAC，∴∠APD＝∠ACD＋∠PAC＝2∠ACD.同理，在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，∴△PAE是等边三角形．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A＝30°，∠DBC＝60°，已知轮船的航行速度为24海里/时，求AD的长度．

【互动探索】转化法：实际问题转化为数学问题→得BC＝BA→直角三角形中，利用∠A＝30°→得BD与CB的数量关系→结合已知得AD的长度．

【解答】∵C在D的正西方向，∴∠ADC＝90°.

∵∠A＝30°，∠DBC＝60°，∠DBC＝∠A＋∠BCA.

∴∠BCA＝30°，∴∠BCA＝∠A，∴BC＝BA.

在Rt△CBD中，∠DBC＝60°，

∴∠BCD＝30°，∴DB＝CB，

∴AD＝AB＋DB＝AB＋CB＝AB＋AB＝AB.

∵AB＝24×(5－2)＝72(海里)，

∴AD＝AB＝×72＝108(海里)．

即AD的长度是108海里．

【互动总结】(学生总结，老师点评)灵活运用含30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！