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2021年山东省临沂市临沭县中考数学一轮验收试卷 解析版
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这是一份2021年山东省临沂市临沭县中考数学一轮验收试卷 解析版，共31页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省临沂市临沭县中考数学一轮验收试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）的绝对值是（ ）
A． B．6 C． D．
2．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣a+2a＝a B．a2•a＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a2）3＝a5
4．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
5．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≤2 B．1＜x≤2 C．x＜1 D．无解
6．（3分）如图⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AB＝6cm，PD＝3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．3cm D．4cm
7．（3分）化简的结果是（ ）
A．a+2 B．（a+2）（a﹣2） C． D．
8．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形
10．（3分）某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（ ）
A．27.5元 B．22.5元 C．21.5元 D．19.5元
11．（3分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．（+1）π
12．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
13．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x＝1.5时，函数有最值；
④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
⑤当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每小题3分，共15分）请将答案直接填写在题中横线上.
15．（3分）因式分解：4a3b3﹣ab＝ ．
16．（3分）如果一个正多边形的外角为30°，那么这个正多边形的边数是 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若OB＝6，AC＝3，则k的值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点F是OB的中点，若OB＝8，OC＝6，则EF的长是 ．
19．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．（n为正整数）
三、解答题（本大题共7个小题，共计63分）
20．（7分）计算：（﹣）﹣2﹣（4﹣）0+6sin45°﹣．
21．（7分）为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中D对应的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，试估计该校选择“一般了解”的学生有多少人？
22．（8分）如图，在树正东方向两个相距8m的A，B两点处，分别测得树顶端D的仰角为37°，45°，在树的正西方向的C处测得树顶端D的仰角是64°．求B，C之间的距离BC．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.0，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝12，求EF的长．
24．（9分）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
25．（11分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝ ．
26．（13分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
2021年山东省临沂市临沭县中考数学一轮验收试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）的绝对值是（ ）
A． B．6 C． D．
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：﹣的绝对值是：．
故选：C．
2．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣a+2a＝a B．a2•a＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a2）3＝a5
【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，幂的乘方的运算法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、﹣a+2a＝a，计算正确，故A不符合题意；
B、a2•a＝a3，计算正确，故B不符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，计算正确，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，计算错误，故D符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【分析】设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠C的度数．
【解答】解：设AE与CD交于点O，如图所示：
∵AB∥CD，∠A＝56°，
∴∠DOE＝∠A＝56°．
∵∠DOE＝∠C+∠E，∠E＝18°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝56°﹣18°＝38°．
故选：D．
5．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≤2 B．1＜x≤2 C．x＜1 D．无解
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞1，
所以这个不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：B．
6．（3分）如图⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AB＝6cm，PD＝3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．3cm D．4cm
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r cm，则OP＝（r﹣3）cm，OA＝rcm，根据垂径定理得到AP＝BP＝3cm，再利用勾股定理得到（r﹣3）2+（3）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r cm，则OP＝（r﹣3）cm，OA＝rcm，
∵CD⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝3cm，
在Rt△OAP中，（r﹣3）2+（3）2＝r2，
解得r＝6，
即⊙O的半径为6cm．
故选：A．
7．（3分）化简的结果是（ ）
A．a+2 B．（a+2）（a﹣2） C． D．
【分析】先通分，然后再根据同分母分式加减法运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
故选：D．
8．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正方形的面积＝4×4＝16，三角形ABC面积＝16﹣＝5，所以落在△ABC内部的概率．
【解答】解：正方形的面积＝4×4＝16，
三角形ABC的面积＝16﹣＝5，
所以落在△ABC内部的概率是，
故选：D．
9．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形
【分析】根据菱形的判定和性质，正方形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题．
B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题．
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题．
D、对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形，是假命题．
故选：C．
10．（3分）某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（ ）
A．27.5元 B．22.5元 C．21.5元 D．19.5元
【分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价．
【解答】解：这天销售的四种商品的平均单价是：
50×10%+30×15%+20×55%+10×20%＝22.5（元），
故选：B．
11．（3分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．（+1）π
【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．
∴正三角形的边长＝＝2．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为2π
∴侧面积为2π×2＝2π，∵底面积为πr2＝π，
∴全面积是3π．
故选：C．
12．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
13．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）
【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2．
令y＝﹣x﹣2中y＝0，则0＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选C．
（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x＝1.5时，函数有最值；
④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
⑤当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①由图表中数据可知，x＝0和x＝3时，函数值相同，都是3，
∴对称轴为直线x＝＝，
∵x＝1时，y＝5，
∴a＜0，
∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3，
∴ac＜0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③∵二次函数的对称轴为直线x＝＝1.5，
∴当x＝1.5时，函数有最值，故③正确；
④∵x＝3时，y＝3，
∴9a+3b+c＝3，
∴9a+3（b﹣1）+c＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故④正确；
⑤∵x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴a﹣b+c＝﹣1，
∴a﹣（b﹣1）+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故⑤正确；
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共15分）请将答案直接填写在题中横线上.
15．（3分）因式分解：4a3b3﹣ab＝ ab（2ab+1）（2ab﹣1） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝ab（4a2b2﹣1）＝ab（2ab+1）（2ab﹣1），
故答案为：ab（2ab+1）（2ab﹣1）
16．（3分）如果一个正多边形的外角为30°，那么这个正多边形的边数是 12 ．
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷30°＝12．
故答案为：12．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若OB＝6，AC＝3，则k的值为 9 ．
【分析】利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题．
【解答】解：∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC＝3，
∵AC＝3，
∴A（3，3），
把A（3，3）代入y＝（k≠0），可得k＝9，
故答案为9．
18．（3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点F是OB的中点，若OB＝8，OC＝6，则EF的长是 5 ．
【分析】先由中线BD和CE得到点O是△ABC的重心，然后由OC＝6求得OE，再由OB＝8和点F为OB的中点求得OF，最后利用BD⊥CE求得EF．
【解答】解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴OC＝2OE，
∵OC＝6，
∴OE＝3，
∵点F是OB的中点，OB＝8，
∴OF＝4，
∵BD⊥CE，
∴∠EOF＝90°，
∴EF＝＝5．
故答案为：5．
19．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 （n，） ．（n为正整数）
【分析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，
…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）
故答案为：（n，）．
三、解答题（本大题共7个小题，共计63分）
20．（7分）计算：（﹣）﹣2﹣（4﹣）0+6sin45°﹣．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝9﹣1+6×﹣3
＝9﹣1+3﹣3
＝8．
21．（7分）为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了 60 名学生，扇形统计图中D对应的圆心角为 18 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，试估计该校选择“一般了解”的学生有多少人？
【分析】（1）“B比较了解”的有24人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“D一般了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数，
（2）求出“A非常了解”的人数，即可补全条形统计图；
（3）用该校的总人数乘以“一般了解”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次问卷共随机调查的学生数是：24÷40%＝60（名），
扇形统计图中D对应的圆心角为 360°×＝18°，
故答案为：60，18；
（2）60×25%＝15（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）1800×＝540（人），
答：估计该校选择“一般了解”的学生有540人．
22．（8分）如图，在树正东方向两个相距8m的A，B两点处，分别测得树顶端D的仰角为37°，45°，在树的正西方向的C处测得树顶端D的仰角是64°．求B，C之间的距离BC．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.0，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，在Rt△ADE中，先求出DE的长，然后在Rt△DCE中求出CE的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
根据题意可知：AB＝8m，∠DAE＝37°，∠DBE＝45°，∠DCE＝64°，
∴DE＝BE，
∴AE＝AB+BE＝8+DE，
在Rt△ADE中，DE＝AE×tan∠DAE，
∴DE≈（8+DE）×0.75，
解得DE＝24（m），
在Rt△DCE中，DE＝CE×tan∠DCE，
∴24≈CE×2.0，
解得CE＝12（m），
∴BC＝CE+BE＝CE+DE＝12+24＝36（m）．
答：B，C之间的距离BC为36m．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝12，求EF的长．
【分析】（1）连接OD，得到∠ODC＝90°，结合∠ADB＝90°求得∠ADC＝∠ODB，然后利用OD＝OB得到∠ODB＝∠OBD，从而得到∠ADC＝∠OBD，再利用OF⊥AD得到OF∥BD，从而∠AOF＝∠OBD，最后得证结果；
（2）根据三角形的中位线定理得到OE＝6，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质得到EF的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠ODC＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ODB，
∴∠ADC＝∠OBD，
又∵OF⊥AD，
∴∠OEA＝∠ADB＝90°，
∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠OBD，
∴∠ADC＝∠AOF．
（2）∵OF∥BD，OA＝OB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝BD＝×12＝6，
∵sinC＝＝，
设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，
∴CB＝OC+OB＝x+3x＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝9，
∴EF＝OF﹣OE＝9﹣6＝3．
24．（9分）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 8 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8 ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，解得：m＝8，
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8（1个交点时，m＝8）；
（4）由（3）知，两个函数有交点时，m≥8．
25．（11分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝ 3 ．
【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD＝90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，据此可得＝、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；
（3）证△AHG∽△CHA得＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，知AC＝a，由＝得AH＝a、DH＝a、CH＝a，由＝可得a的值．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，
∴＝，GE∥AB，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
＝cos45°＝、＝cos45°＝，
∴＝＝，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝＝，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）由（2）知△BCE∽△ACG，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∵∠CGF＝45°，
∴∠AGC+∠CGF＝180°，
∴A、G、F三点共线．
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∴∠AGH＝∠CAH＝45°，
∵∠CHA＝∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴＝＝，
设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，
则由＝得＝，
∴AH＝a，
则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，
∴＝得＝，
解得：a＝3，即BC＝3，
故答案为：3．
26．（13分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝＝，同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2+2m+3），
设直线BM的表达式为y＝sx+t，则，解得，
故直线BM的表达式为y＝（﹣m﹣1）x+3m+3，
当x＝0时，y＝3m+3，故点N（0，3m+3），则ON＝3m+3；
S1＝AE×yM＝×（m+1）×（﹣m2+2m+3），
2S2＝ON•xM＝（3m+3）×m＝S1＝×（m+1）×（﹣m2+2m+3），
解得m＝﹣2±或﹣1（舍去负值），
故m＝﹣2．
2021年山东省临沂市临沭县中考数学一轮验收试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）的绝对值是（ ）
A． B．6 C． D．
2．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣a+2a＝a B．a2•a＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a2）3＝a5
4．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
5．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≤2 B．1＜x≤2 C．x＜1 D．无解
6．（3分）如图⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AB＝6cm，PD＝3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．3cm D．4cm
7．（3分）化简的结果是（ ）
A．a+2 B．（a+2）（a﹣2） C． D．
8．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形
10．（3分）某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（ ）
A．27.5元 B．22.5元 C．21.5元 D．19.5元
11．（3分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．（+1）π
12．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
13．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x＝1.5时，函数有最值；
④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
⑤当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每小题3分，共15分）请将答案直接填写在题中横线上.
15．（3分）因式分解：4a3b3﹣ab＝ ．
16．（3分）如果一个正多边形的外角为30°，那么这个正多边形的边数是 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若OB＝6，AC＝3，则k的值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点F是OB的中点，若OB＝8，OC＝6，则EF的长是 ．
19．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．（n为正整数）
三、解答题（本大题共7个小题，共计63分）
20．（7分）计算：（﹣）﹣2﹣（4﹣）0+6sin45°﹣．
21．（7分）为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中D对应的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，试估计该校选择“一般了解”的学生有多少人？
22．（8分）如图，在树正东方向两个相距8m的A，B两点处，分别测得树顶端D的仰角为37°，45°，在树的正西方向的C处测得树顶端D的仰角是64°．求B，C之间的距离BC．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.0，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝12，求EF的长．
24．（9分）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
25．（11分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝ ．
26．（13分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
2021年山东省临沂市临沭县中考数学一轮验收试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）的绝对值是（ ）
A． B．6 C． D．
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：﹣的绝对值是：．
故选：C．
2．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣a+2a＝a B．a2•a＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a2）3＝a5
【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，幂的乘方的运算法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、﹣a+2a＝a，计算正确，故A不符合题意；
B、a2•a＝a3，计算正确，故B不符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，计算正确，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，计算错误，故D符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【分析】设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠C的度数．
【解答】解：设AE与CD交于点O，如图所示：
∵AB∥CD，∠A＝56°，
∴∠DOE＝∠A＝56°．
∵∠DOE＝∠C+∠E，∠E＝18°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝56°﹣18°＝38°．
故选：D．
5．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≤2 B．1＜x≤2 C．x＜1 D．无解
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞1，
所以这个不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：B．
6．（3分）如图⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AB＝6cm，PD＝3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．3cm D．4cm
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r cm，则OP＝（r﹣3）cm，OA＝rcm，根据垂径定理得到AP＝BP＝3cm，再利用勾股定理得到（r﹣3）2+（3）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r cm，则OP＝（r﹣3）cm，OA＝rcm，
∵CD⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝3cm，
在Rt△OAP中，（r﹣3）2+（3）2＝r2，
解得r＝6，
即⊙O的半径为6cm．
故选：A．
7．（3分）化简的结果是（ ）
A．a+2 B．（a+2）（a﹣2） C． D．
【分析】先通分，然后再根据同分母分式加减法运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
故选：D．
8．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正方形的面积＝4×4＝16，三角形ABC面积＝16﹣＝5，所以落在△ABC内部的概率．
【解答】解：正方形的面积＝4×4＝16，
三角形ABC的面积＝16﹣＝5，
所以落在△ABC内部的概率是，
故选：D．
9．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形
【分析】根据菱形的判定和性质，正方形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题．
B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题．
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题．
D、对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形，是假命题．
故选：C．
10．（3分）某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（ ）
A．27.5元 B．22.5元 C．21.5元 D．19.5元
【分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价．
【解答】解：这天销售的四种商品的平均单价是：
50×10%+30×15%+20×55%+10×20%＝22.5（元），
故选：B．
11．（3分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．（+1）π
【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．
∴正三角形的边长＝＝2．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为2π
∴侧面积为2π×2＝2π，∵底面积为πr2＝π，
∴全面积是3π．
故选：C．
12．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
13．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）
【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2．
令y＝﹣x﹣2中y＝0，则0＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选C．
（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x＝1.5时，函数有最值；
④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
⑤当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①由图表中数据可知，x＝0和x＝3时，函数值相同，都是3，
∴对称轴为直线x＝＝，
∵x＝1时，y＝5，
∴a＜0，
∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3，
∴ac＜0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③∵二次函数的对称轴为直线x＝＝1.5，
∴当x＝1.5时，函数有最值，故③正确；
④∵x＝3时，y＝3，
∴9a+3b+c＝3，
∴9a+3（b﹣1）+c＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故④正确；
⑤∵x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴a﹣b+c＝﹣1，
∴a﹣（b﹣1）+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故⑤正确；
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共15分）请将答案直接填写在题中横线上.
15．（3分）因式分解：4a3b3﹣ab＝ ab（2ab+1）（2ab﹣1） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝ab（4a2b2﹣1）＝ab（2ab+1）（2ab﹣1），
故答案为：ab（2ab+1）（2ab﹣1）
16．（3分）如果一个正多边形的外角为30°，那么这个正多边形的边数是 12 ．
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷30°＝12．
故答案为：12．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若OB＝6，AC＝3，则k的值为 9 ．
【分析】利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题．
【解答】解：∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC＝3，
∵AC＝3，
∴A（3，3），
把A（3，3）代入y＝（k≠0），可得k＝9，
故答案为9．
18．（3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点F是OB的中点，若OB＝8，OC＝6，则EF的长是 5 ．
【分析】先由中线BD和CE得到点O是△ABC的重心，然后由OC＝6求得OE，再由OB＝8和点F为OB的中点求得OF，最后利用BD⊥CE求得EF．
【解答】解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴OC＝2OE，
∵OC＝6，
∴OE＝3，
∵点F是OB的中点，OB＝8，
∴OF＝4，
∵BD⊥CE，
∴∠EOF＝90°，
∴EF＝＝5．
故答案为：5．
19．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 （n，） ．（n为正整数）
【分析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，
…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）
故答案为：（n，）．
三、解答题（本大题共7个小题，共计63分）
20．（7分）计算：（﹣）﹣2﹣（4﹣）0+6sin45°﹣．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝9﹣1+6×﹣3
＝9﹣1+3﹣3
＝8．
21．（7分）为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了 60 名学生，扇形统计图中D对应的圆心角为 18 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，试估计该校选择“一般了解”的学生有多少人？
【分析】（1）“B比较了解”的有24人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“D一般了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数，
（2）求出“A非常了解”的人数，即可补全条形统计图；
（3）用该校的总人数乘以“一般了解”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次问卷共随机调查的学生数是：24÷40%＝60（名），
扇形统计图中D对应的圆心角为 360°×＝18°，
故答案为：60，18；
（2）60×25%＝15（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）1800×＝540（人），
答：估计该校选择“一般了解”的学生有540人．
22．（8分）如图，在树正东方向两个相距8m的A，B两点处，分别测得树顶端D的仰角为37°，45°，在树的正西方向的C处测得树顶端D的仰角是64°．求B，C之间的距离BC．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.0，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，在Rt△ADE中，先求出DE的长，然后在Rt△DCE中求出CE的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
根据题意可知：AB＝8m，∠DAE＝37°，∠DBE＝45°，∠DCE＝64°，
∴DE＝BE，
∴AE＝AB+BE＝8+DE，
在Rt△ADE中，DE＝AE×tan∠DAE，
∴DE≈（8+DE）×0.75，
解得DE＝24（m），
在Rt△DCE中，DE＝CE×tan∠DCE，
∴24≈CE×2.0，
解得CE＝12（m），
∴BC＝CE+BE＝CE+DE＝12+24＝36（m）．
答：B，C之间的距离BC为36m．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝12，求EF的长．
【分析】（1）连接OD，得到∠ODC＝90°，结合∠ADB＝90°求得∠ADC＝∠ODB，然后利用OD＝OB得到∠ODB＝∠OBD，从而得到∠ADC＝∠OBD，再利用OF⊥AD得到OF∥BD，从而∠AOF＝∠OBD，最后得证结果；
（2）根据三角形的中位线定理得到OE＝6，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质得到EF的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠ODC＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ODB，
∴∠ADC＝∠OBD，
又∵OF⊥AD，
∴∠OEA＝∠ADB＝90°，
∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠OBD，
∴∠ADC＝∠AOF．
（2）∵OF∥BD，OA＝OB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝BD＝×12＝6，
∵sinC＝＝，
设OD＝x，OC＝3x，则OB＝x，
∴CB＝OC+OB＝x+3x＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝9，
∴EF＝OF﹣OE＝9﹣6＝3．
24．（9分）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 8 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8 ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，解得：m＝8，
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8（1个交点时，m＝8）；
（4）由（3）知，两个函数有交点时，m≥8．
25．（11分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝ 3 ．
【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD＝90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，据此可得＝、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；
（3）证△AHG∽△CHA得＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，知AC＝a，由＝得AH＝a、DH＝a、CH＝a，由＝可得a的值．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，
∴＝，GE∥AB，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
＝cos45°＝、＝cos45°＝，
∴＝＝，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝＝，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）由（2）知△BCE∽△ACG，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∵∠CGF＝45°，
∴∠AGC+∠CGF＝180°，
∴A、G、F三点共线．
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∴∠AGH＝∠CAH＝45°，
∵∠CHA＝∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴＝＝，
设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，
则由＝得＝，
∴AH＝a，
则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，
∴＝得＝，
解得：a＝3，即BC＝3，
故答案为：3．
26．（13分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝＝，同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2+2m+3），
设直线BM的表达式为y＝sx+t，则，解得，
故直线BM的表达式为y＝（﹣m﹣1）x+3m+3，
当x＝0时，y＝3m+3，故点N（0，3m+3），则ON＝3m+3；
S1＝AE×yM＝×（m+1）×（﹣m2+2m+3），
2S2＝ON•xM＝（3m+3）×m＝S1＝×（m+1）×（﹣m2+2m+3），
解得m＝﹣2±或﹣1（舍去负值），
故m＝﹣2．
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