还剩21页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布精品同步练习题
展开
这是一份数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布精品同步练习题，共24页。试卷主要包含了5正态分布同步练习，0分），【答案】B，【答案】A，【答案】C等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前
7.5正态分布同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．
(参考数据P(μ-σ
2. 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．
(参考数据P(μ−σ
3. 研究表明，我国研制的新冠灭活疫苗，人体接种这种疫苗需要接种两次，间隔2～4周，接种完第一剂以后，7天开始普遍产生抗体，接种完第二剂28天以后，中和抗体阳转率或者叫阳性率均达百分之百．也就是说，按照规范的免疫程序接种两剂我国研制的新冠灭活疫苗28天后，所有人都能产生足以抵抗新冠病毒的抗体．某研究所在500名志愿者身上进行了人体新冠灭活疫苗注射，接种完第一剂7天后发现这些志愿者均已经产生了稳定的免疫应答，这些志愿者的免疫反应蛋白M的数值X(单位：mg/L)近似服从正态分布N(25,σ2)，且X在区间(10,40)内的人数占总人数的98%，则这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不大于10 mg/L的人数大约为
A. 5 B. 10 C. 50 D. 100
4. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A. 150 B. 200 C. 300 D. 400
5. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是( )
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方为100
C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D. 随机测量一株水稻，其株高在(90,100)和在(100,110)单位：的概率一样大
6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N105,σ2(σ>0).试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A. 150 B. 200 C. 300 D. 400
7. 中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名．则参赛的学生总数约为( )
(参考数据：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997)
A. 208 B. 206 C. 204 D. 202
8. 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．
(参考数据P(μ−σ
9. 在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)，已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
10. 中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，则参赛的学生总数约为( )
(参考数据：P(μ−σ
11. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=1102πe−(x−100)2200，x∈R，则下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高为100 cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大
12. 2020年10月8日，中国同全球疫苗免疫联盟签署协议，正式加入“新冠肺炎疫苗实施计划”。这是我国秉持人类卫生健康共同体理念、履行自身承诺推动疫苗成为全球公共产品的一个重要举措，我国研制的新冠灭活疫苗，人体接种这种疫苗需要接种两次，间隔2∼4周，接种完第一剂以后，7天开始普遍产生抗体，接种完第二剂28天以后，中和抗体阳转率或者叫阳性率均达百分之百．也就是说，按照规范的免疫程序接种两剂我国研制的新冠灭活疫苗28天后，所有人都能产生足以抵抗新冠病毒的抗体，某研究所在500名志愿者身上进行了人体新冠灭活疫苗注射，接种完第一剂7天后发现这些志愿者均已经产生了稳定的免疫应答，这些志愿者的免疫反应蛋白M的数值X(单位：mg/L)近似服从正态分布N(25,σ2)，且X在区间(10,40)内的人数占总人数的98%，则这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值不大于10mg/L的人数大约为( )
A. 5 B. 10 C. 50 D. 100
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人．(若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
(若X Nμ,σ2，则P(μ−σ
垃圾量x
[12.5,15.5)
[15.5,18.5)
[18.5,21.5)
[21.5,24.5)
[24.5,27.5)
[27.5,30.5)
[30.5,33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4
通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值x−= (精确到0.1)；假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均值x−，σ2近似为样本方差s2，经计算得s=5.2.请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标”社区的个数 ．
(参考数据：P(μ−σ
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
18. 某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．
该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
(1)某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8,36).若Y～N(μ,σ2)，令η=Y−μσ，则η～N(0,1)，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？(结果保留为整数)
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ=k)取得最大值时k的值．
附：若η～N(0,1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85．
19. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．
(Ⅰ)试问此次参赛学生总数约为多少人？
(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可共查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)=P(x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.2
0.8849
0.8869
0.888
0.89077
0.8925
0.8944
0.8962
0.8980
0.8997
0.9015
1.3
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9115
0.9131
0.9147
0.9162
0.9177
1.4
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9265
0.9278
0.9292
0.9306
0.9316
1.9
0.97713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
0.9762
0.9767
2.0
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0.9812
0.9817
2.1
0.9821
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9850
0.9854
0.9857
20. 某“双一流”大学在一年一度的校园科技节主题活动中，根据学生年度科技积分评选一批学校科技标兵并颁发励志奖学金，其中一等奖学金(金额为5000元)、二等奖学金(金额为3000元)、三等奖学金(金额为1000元).已知该大学三年级学生共1000人，他们的积分X(总分100分)服从正态分布N(80,52).已知积分在95分以上的学生可获一等奖学金，积分在90分以上且不高于95分的学生可获二等奖学金，积分在85分以上且不高于90分的学生可获三等奖学金．
(1)求该大学三年级获得一等、二等、三等奖学金的人数(结果四舍五入保留整数)；
(2)若周课外科技创新时间超过30小时的学生称为“励志型”学生，否则称为“非励志型”学生．已知三年级460名励志型的学生中有96名获得了奖学金，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9％的把握认为三年级学生获得励志奖学金与“励志型”学生有关；
获得奖学金
未获得奖学金
总计
“励志型”学生
“非励志型”学生
总计
(3)若以第(1)问中该大学三年级获得励志奖学金的频率作为全校学生获得奖学金的概率，从该校学生中任意选取200名学生，记这200名学生中获得奖学金的学生人数为随机变量Z，求随机变量Z的数学期望．
附参考数据：①若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，228602159×841×460×540≈0.015733
21. 2021年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“3+1+2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X(满分100分)服从正态分布N55,102．
(1)分别估计成绩在[45,65]和75分以上者的人数；(运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数)
附1：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
(2)本次考试物理成绩X服从正态分布Nμ,σ2.令η=X−μσ，则η N(0,1)，若本次考试物理成绩的前25%划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分?
附2：若η N(0,1)，则P(η<0.8)≈0.75．
22. 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
23. 公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？……
某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布).考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30人．
(1)最低录取分数是多少？(结果保留整数)
(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：
(1)当X～N(μ,σ2)时，令Y=X−μσ，则Y～N(0,1)．
(2)当Y～N(0,1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查正态分布的概率计算及其应用，属于基础题．
由正态分布的求出数学成绩面75分到86分的概率，即可得出结论．
【解答】
解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x=75，σ=11，
所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ−σ
故选B．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查正态分布的概率计算及其应用，属于基础题．
由正态分布的求出数学成绩面75分到86分的概率，即可得出结论．
【解答】
解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x=75，σ=11，
所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ−σ
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的性质及其应用，属于基础题．
由题意及正态分布的性质计算得PX⩽10+PX⩾40，进而得PX⩽10，即可得答案．
【解答】
解：因为X∽N(25,σ2)，
PX⩽10+PX⩾40
=1−P10
=2100，
所以PX⩽10=PX⩾40
=12×2100
=1100，
所以这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不大于10 mg/L的人数大约为
500×1100=5，
故答案为A．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
求出P90≤X≤105=310，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．
【解析】
解：∵PX≤90=PX≥120=15，P90≤X≤120=1−25=35，
所以P90≤X≤105=310，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=300．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.
由已知可得μ=100，σ=10，由此判断AB正确;然后再由σ、2σ、3σ原则求解概率判断C与D．
【解答】
解：由已知 ，故μ=100，σ2=100，
故该地水稻的平均株高为100 cm，该地水稻株高的方差为100；故A正确；B正确；
P(x>120)=P(x<80)>P(x<70)，所以随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大；故 C错误；
根据正态分布的对称性知：P(100P(80
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
求出P90≤X≤105=310，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．
【解析】
解：∵PX≤90=PX≥120=15，P90≤X≤120=1−25=35，
所以P90≤X≤105=310，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=300．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的应用和正态曲线及其性质，属于基础题．
设参赛学生的成绩为ξ，利用正态曲线的性质，结合题目条件得Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159，再利用概率的含义，计算得结论．
【解答】
解：设参赛学生的成绩为ξ，由题意知ξ∼N80,102，
因此P70<ξ⩽90=0.683，所以Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159．
又因为成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，
所以参赛的学生总数约为320.159≈202．
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查正态分布的概率计算及其应用，属于基础题．
由正态分布的求出数学成绩面75分到86分的概率，即可得出结论．
【解答】
解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x=75，σ=11，
所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ−σ
故选B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的概率计算，解题的关键是求出X≥108的概率．
根据公式求出P(X≥108)，即可得到结论．
【解答】
解：因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，μ=98，σ=10，
所以P(X≥108)=12[1−P(88
所以0.1587×9450≈1500，
故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名．
故选A．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的应用和正态曲线及其性质，属于基础题．
设参赛学生的成绩为ξ，利用正态曲线的性质，结合题目条件得Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159，再利用概率的含义，计算得结论．
【解答】
解：设参赛学生的成绩为ξ，由题意知ξ∼N80,102，
因此P70<ξ⩽90=0.683，所以Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159．
又因为成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，
所以参赛的学生总数约为320.159≈202．
故选D．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
由已知可得μ=100，σ=10.由此判断A正确，B错误;然后再由σ、2σ、3σ原则求解概率判断C与D．
【解答】
解：由已知 f(x)=1102πe−(x−100)2200，故μ=100，σ2=100，故该地水稻的平均株高为100 cm
该地水稻株高的方差为100；故A正确；B错误；
p(x>120)=p(x<80)>p(x<70)，所以随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大；故 C错误；
根据正态分布的对称性知：p(100p(80
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的性质及其应用，属于基础题．
由题意及正态分布的性质计算得PX⩽10+PX⩾40，进而得PX⩽10，即可得答案．
【解答】
解：因为X∽N(25,σ2)，
PX⩽10+PX⩾40
=1−P10
=2100，
所以PX⩽10=PX⩾40
=12×2100
=1100，
所以这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不大于10 mg/L的人数大约为
500×1100=5，
故答案为A．
13.【答案】0.16
10
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的概率计算与应用，属于中档题．
由已知求得μ=100，σ=17.5，结合σ原则可得P(X≤82.5);设本次数学考试成
绩特别优秀的有n人，分别求出P(x≥117.5)=0.16与P(x≥135)=0.02，可得0.160.02=80n，求解n值即可．
【解答】
解：因为数学成绩x服从正态分布N(100,17.52)，
则P(100−17.5
P(x≤82.5)=1−P(82.5
P(x>135)=1−P(65
则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.02=10．
故答案为0.16；10．
14.【答案】0.16
10
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的性质及应用，运用概率估计实际问题，属于中档题．
利用正态曲线的性质即可求出成绩不超过 82.5分的概率，求出高三考生总人数和本次考试数学成绩特别优秀的概率，即可求得本次考试数学成绩特别优秀的人数．
【解答】
解：P(X≤82.5)=P(X≤μ−δ)=P(μ−σ
高三考生总人数有800.16=500人，
P(X>135)=P(x>μ+2δ)≈P(μ−2σ
故答案为0.16；10．
15.【答案】22.8
38
【解析】
【分析】
本题考查由频率分布表求平均数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，属于基础题．
直接由每组数据的中间数乘以频率可得x−，再由正态分布的概率求得P(X>28)，乘以240可得这240个社区中“超标”社区的个数．
【解答】
解：由频率分布表可得，
x−=14×5+17×6+20×9+23×12+26×8+29×6+32×450=22.76≈22.8；
由题意，μ=22.8，∵s=5.2，∴σ=s=5.2，
∴P(X>28)=P(X>μ+σ)=1−0.68272=0.15865，
∵240×0.15865=38.076≈38．
∴估计这240个社区中“超标”社区的个数为38．
故答案为：22.8；38．
16.【答案】0.16
10
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质及正态分布的概率计算，属于基础题．
由题意可得PX>μ+δ=0.16，再根据PX<100−17.5=PX>100+17.5即可求出不超过82.5分的概率，再求出PX>100+2×17.5=0.02，从而求出数学成绩特别优秀的人数．
【解答】
解：依题意，Pμ−δ
此次参加考试的学生人数为800.16=500人，
所以PX<100−17.5=PX>100+17.5=0.16，
即此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为0.16，
本次考试数学成绩特别优秀的概率为：PX>100+2×17.5=12×1−0.96=0.02，
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10(人)．
故答案为0.16；10．
17.【答案】0.16
10
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质及正态分布的概率计算，属于基础题．
根据已知μ=100，σ=17.5，μ−σ=82.5，μ+σ=117.5，P(X<82.5)=P(X<μ+σ)
，结合已知数据，可求出学生成绩在82.5分以下的概率，求出
P(X>117.5)=P(X>μ+σ)，进而求出学生总人数，再由
P(X>135)=P(X>μ+2σ)即可求解．
【解答】
解：P(X<82.5)=P(X<μ−σ)=0.5−P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)2≈0.16，
P(X>117.5)=P(X>μ+σ)=0.5−P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)2≈0.16，
因为成绩在117.5分以上的学生有80人，
所以高三考生总人数约为800.16=500，
P(X>135)=P(X>μ+2σ)=0.5−P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)2≈0.02，
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10人.
故答案为0.16；10．
18.【答案】解：(1)由题知：随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3．
根据条件得P(X=0)=C50C53C103=10120=112;
P(X=1)=C51C52C103=50120=512;
P(X=2)=C52C51C103=50120=512;
P(X=3)=C53C50C103=10120=112．
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
112
512
512
112
数学期望E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=32．
(2)①设该划线分为m，
由Y～N(75.8,36)得μ=75.8，σ=6，
令η=Y−μσ=Y−75.86，
则Y=6η+75.8．
依题意P(Y≥m)≈0.85，
即P(6η+75.8 ≥ m)=P(η ≥ m−75.86)≈0.85，
因为当η～N(0,1)时，P(η≤1.04)≈0.85，
所以P(η=1.04)≈0.85，
所以m−75.86≈−1.04，
故m≈69.56．
∴取m=69．
②由①讨论及参考数据得P(Y≥71)=P(6η+75.8≥71)=P(η≥−0.8)=P(η≤0.8)≈0.788，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，
故ξ～B(800,0.788)，P(ξ=k)=C800k0.788k(1−0.788)800−k．
由P(ξ=k) ≥ P(ξ=k−1),P(ξ=k) ≥ P(ξ=k+1),
即C800k0.788k(1−0.788)800−k ≥ C800k−10.788k−1(1−0.788)801−k,C800k0.788k(1−0.788)800−k ≥ C800k+10.788k+1(1−0.788)799−k,
解得630.188≤k≤631.188，
又k∈N，
所以k=631，
故当k=631时，P(ξ=k)取得最大值．
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，正态分布的概念，性质与应用.属于中档题．
(1)结合题设条件先得到随机变量X的所有可能的取值，然后结合概率计算公式求得随机变量X取不同值是时对应的概率，最后列出分布列，结合期望计算公式代入计算即可;
(2)①设该划线分为m，由Y～N(75.8,36)得μ=75.8，σ=6，由η=Y−μσ=Y−75.86，则Y=6η+75.8，转化求解m即可．
②由①讨论及参考数据得P(Y≥71)=P(6η+75.8≥71)=P(η≥−0.8)=P(η≤0.8)≈0.788，得到ξ～B(800,0.788)，P(ξ=k)=C800k0.788k(1−0.788)800−k．
由P(ξ=k) ≥ P(ξ=k−1),P(ξ=k) ≥ P(ξ=k+1),求出k的范围，即可推出结果．
19.【答案】解：(Ⅰ)设参赛学生的竞赛成绩为ξ，因为ξ～N(70,100)，
由条件知，P(ξ≥90)=1−P(ξ<90)
=1−Φ(90−7010)=1−Φ(2)=1−0.9772=0.0228．
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，
∴参赛总人数约为120.0228≈526(人)．
(Ⅱ)假定设奖的分数线为x分，则
P(ξ≥x)=1−P(ξ
解得x≈83.1，
故设奖的分数线约为83．
【解析】本题考查正态分布的实际应用，考查标准正态分布表的应用，这种情景经常出现在我们的生活中．
(Ⅰ)设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，得到成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，得到参赛的总人数．
(Ⅱ)设出设奖的分数，根据获奖的人数和总体的人数得到获奖的概率，可得设奖的分数线约为83．
20.【答案】解：(1)设该大学三年级获得一等、二等、三等奖学金的人数分别为a,b,c.
则a=1−P(μ−3σ
(2)由(1)知该大学三年级获得励志奖学金的共159人.
故2×2列联表如下:
获得奖学金
未获得奖学金
总计
“励志型”学生
96
364
460
“非励志型”学生
63
477
540
总计
159
841
1000
∴K2=1000×(96×477−63×364)2159×841×460×540≈15.733>10.828
∴有99.9%的把握认为三年级学生获得励志奖学金与“励志型”学生有关.
(3)由题知每名学生获得励志奖学金的概率为0.159,
∴Z~B(200,0.159),
∴E(Z)=200×0.159=31.8.
【解析】本题考查独立性检验以及正态分布的概率计算，属于中档题；
(1)设该大学三年级获得一等、二等、三等奖学金的人数分别为a,b,c.
由a=1−P(μ−3σ
(3)由题知每名学生获得励志奖学金的概率为0.159,由Z~B(200,0.159),可得E(Z)=200×0.159=31.8.
21.【答案】解：(1)正态分布X N(55,100)，P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827
所以P(45≤X≤65)≈0.6827·
成绩在[45,65]的人数约为30000×0.6827=20481人·
由正态分布曲线的对称性可得：
P(35≤X≤75)=P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，
则P(X>75)=1−P(35≤X≤75)2≈0.0228
所以估计75分以上的人数约为30000×0.0228=684人·
(2)设该划线分为m，由X∼N(55,100)得μ=55,σ=10，
令η=X−μσ=X−5510≥m−5510
由题意因为η N(0,1)，P(η<0.8)≈0.75，所以P(η≥0.8)≈0.25
所以m−5510≈0.8，所以m≈63·
【解析】本题考查正态分布及其应用，属于一般题．
(1)由X N(55,100)，利用正态曲线的性质求P(45⩽X⩽65),P(X>75)，进而可估计相应的人数；
(2)先求出P(η≥0.8)≈0.25，得m−5510≈0.8，即可求m．
22.【答案】解(1)∵X～N(20,4)，
∴μ=20，σ=2，
∴μ−σ=18，μ+σ=22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%．
(2)∵μ−3σ=14，μ+3σ=26，μ−2σ=16，μ+2σ=24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%−95.45%2=2.14%．
∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%=107(个)．
【解析】本题考查正态分布概率性质及应用，属基础题目．
(1)利用正态分布概率性质即可得尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%，
(2)先计算尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比，再计算这批零件中不合格的零件个数．
23.【答案】解：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，
即X～N(180,σ2)，令Y=X−180σ，则Y～N(0,1)．
由360分及以上高分考生30名可得P(X≥360)=302000，即P(X<360)=1−302000=0.985，
即有P(X<360−180σ)=0.985，则360−180σ≈2.17，可得σ≈83，
可得N(180,832)，
设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)=P(Y≥x0−18083)=3002000，
即有P(Y
(2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取，
P(X<286)=P(Y<286−18083)≈P(Y<1.28)≈0.90，
表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1−0.90=0.10，2000×0.10=200，
即考生甲大约排在第200名，排在第275名之前，所以能被录取为高薪职位．
【解析】本题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题．
(1)利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N(180,832)，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线；
(2)计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．
绝密★启用前
7.5正态分布同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．
(参考数据P(μ-σ
2. 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．
(参考数据P(μ−σ
3. 研究表明，我国研制的新冠灭活疫苗，人体接种这种疫苗需要接种两次，间隔2～4周，接种完第一剂以后，7天开始普遍产生抗体，接种完第二剂28天以后，中和抗体阳转率或者叫阳性率均达百分之百．也就是说，按照规范的免疫程序接种两剂我国研制的新冠灭活疫苗28天后，所有人都能产生足以抵抗新冠病毒的抗体．某研究所在500名志愿者身上进行了人体新冠灭活疫苗注射，接种完第一剂7天后发现这些志愿者均已经产生了稳定的免疫应答，这些志愿者的免疫反应蛋白M的数值X(单位：mg/L)近似服从正态分布N(25,σ2)，且X在区间(10,40)内的人数占总人数的98%，则这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不大于10 mg/L的人数大约为
A. 5 B. 10 C. 50 D. 100
4. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A. 150 B. 200 C. 300 D. 400
5. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是( )
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方为100
C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D. 随机测量一株水稻，其株高在(90,100)和在(100,110)单位：的概率一样大
6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N105,σ2(σ>0).试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A. 150 B. 200 C. 300 D. 400
7. 中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名．则参赛的学生总数约为( )
(参考数据：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997)
A. 208 B. 206 C. 204 D. 202
8. 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．
(参考数据P(μ−σ
9. 在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)，已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
10. 中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，则参赛的学生总数约为( )
(参考数据：P(μ−σ
11. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=1102πe−(x−100)2200，x∈R，则下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高为100 cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大
12. 2020年10月8日，中国同全球疫苗免疫联盟签署协议，正式加入“新冠肺炎疫苗实施计划”。这是我国秉持人类卫生健康共同体理念、履行自身承诺推动疫苗成为全球公共产品的一个重要举措，我国研制的新冠灭活疫苗，人体接种这种疫苗需要接种两次，间隔2∼4周，接种完第一剂以后，7天开始普遍产生抗体，接种完第二剂28天以后，中和抗体阳转率或者叫阳性率均达百分之百．也就是说，按照规范的免疫程序接种两剂我国研制的新冠灭活疫苗28天后，所有人都能产生足以抵抗新冠病毒的抗体，某研究所在500名志愿者身上进行了人体新冠灭活疫苗注射，接种完第一剂7天后发现这些志愿者均已经产生了稳定的免疫应答，这些志愿者的免疫反应蛋白M的数值X(单位：mg/L)近似服从正态分布N(25,σ2)，且X在区间(10,40)内的人数占总人数的98%，则这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值不大于10mg/L的人数大约为( )
A. 5 B. 10 C. 50 D. 100
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人．(若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
(若X Nμ,σ2，则P(μ−σ
垃圾量x
[12.5,15.5)
[15.5,18.5)
[18.5,21.5)
[21.5,24.5)
[24.5,27.5)
[27.5,30.5)
[30.5,33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4
通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值x−= (精确到0.1)；假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均值x−，σ2近似为样本方差s2，经计算得s=5.2.请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标”社区的个数 ．
(参考数据：P(μ−σ
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
18. 某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．
该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
(1)某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8,36).若Y～N(μ,σ2)，令η=Y−μσ，则η～N(0,1)，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？(结果保留为整数)
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ=k)取得最大值时k的值．
附：若η～N(0,1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85．
19. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．
(Ⅰ)试问此次参赛学生总数约为多少人？
(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可共查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)=P(x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.2
0.8849
0.8869
0.888
0.89077
0.8925
0.8944
0.8962
0.8980
0.8997
0.9015
1.3
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9115
0.9131
0.9147
0.9162
0.9177
1.4
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9265
0.9278
0.9292
0.9306
0.9316
1.9
0.97713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
0.9762
0.9767
2.0
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0.9812
0.9817
2.1
0.9821
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9850
0.9854
0.9857
20. 某“双一流”大学在一年一度的校园科技节主题活动中，根据学生年度科技积分评选一批学校科技标兵并颁发励志奖学金，其中一等奖学金(金额为5000元)、二等奖学金(金额为3000元)、三等奖学金(金额为1000元).已知该大学三年级学生共1000人，他们的积分X(总分100分)服从正态分布N(80,52).已知积分在95分以上的学生可获一等奖学金，积分在90分以上且不高于95分的学生可获二等奖学金，积分在85分以上且不高于90分的学生可获三等奖学金．
(1)求该大学三年级获得一等、二等、三等奖学金的人数(结果四舍五入保留整数)；
(2)若周课外科技创新时间超过30小时的学生称为“励志型”学生，否则称为“非励志型”学生．已知三年级460名励志型的学生中有96名获得了奖学金，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9％的把握认为三年级学生获得励志奖学金与“励志型”学生有关；
获得奖学金
未获得奖学金
总计
“励志型”学生
“非励志型”学生
总计
(3)若以第(1)问中该大学三年级获得励志奖学金的频率作为全校学生获得奖学金的概率，从该校学生中任意选取200名学生，记这200名学生中获得奖学金的学生人数为随机变量Z，求随机变量Z的数学期望．
附参考数据：①若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，228602159×841×460×540≈0.015733
21. 2021年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“3+1+2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X(满分100分)服从正态分布N55,102．
(1)分别估计成绩在[45,65]和75分以上者的人数；(运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数)
附1：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
(2)本次考试物理成绩X服从正态分布Nμ,σ2.令η=X−μσ，则η N(0,1)，若本次考试物理成绩的前25%划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分?
附2：若η N(0,1)，则P(η<0.8)≈0.75．
22. 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
23. 公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？……
某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布).考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30人．
(1)最低录取分数是多少？(结果保留整数)
(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：
(1)当X～N(μ,σ2)时，令Y=X−μσ，则Y～N(0,1)．
(2)当Y～N(0,1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查正态分布的概率计算及其应用，属于基础题．
由正态分布的求出数学成绩面75分到86分的概率，即可得出结论．
【解答】
解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x=75，σ=11，
所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ−σ
故选B．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查正态分布的概率计算及其应用，属于基础题．
由正态分布的求出数学成绩面75分到86分的概率，即可得出结论．
【解答】
解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x=75，σ=11，
所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ−σ
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的性质及其应用，属于基础题．
由题意及正态分布的性质计算得PX⩽10+PX⩾40，进而得PX⩽10，即可得答案．
【解答】
解：因为X∽N(25,σ2)，
PX⩽10+PX⩾40
=1−P10
=2100，
所以PX⩽10=PX⩾40
=12×2100
=1100，
所以这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不大于10 mg/L的人数大约为
500×1100=5，
故答案为A．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
求出P90≤X≤105=310，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．
【解析】
解：∵PX≤90=PX≥120=15，P90≤X≤120=1−25=35，
所以P90≤X≤105=310，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=300．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.
由已知可得μ=100，σ=10，由此判断AB正确;然后再由σ、2σ、3σ原则求解概率判断C与D．
【解答】
解：由已知 ，故μ=100，σ2=100，
故该地水稻的平均株高为100 cm，该地水稻株高的方差为100；故A正确；B正确；
P(x>120)=P(x<80)>P(x<70)，所以随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大；故 C错误；
根据正态分布的对称性知：P(100
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
求出P90≤X≤105=310，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．
【解析】
解：∵PX≤90=PX≥120=15，P90≤X≤120=1−25=35，
所以P90≤X≤105=310，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=300．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的应用和正态曲线及其性质，属于基础题．
设参赛学生的成绩为ξ，利用正态曲线的性质，结合题目条件得Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159，再利用概率的含义，计算得结论．
【解答】
解：设参赛学生的成绩为ξ，由题意知ξ∼N80,102，
因此P70<ξ⩽90=0.683，所以Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159．
又因为成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，
所以参赛的学生总数约为320.159≈202．
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查正态分布的概率计算及其应用，属于基础题．
由正态分布的求出数学成绩面75分到86分的概率，即可得出结论．
【解答】
解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x=75，σ=11，
所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ−σ
故选B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的概率计算，解题的关键是求出X≥108的概率．
根据公式求出P(X≥108)，即可得到结论．
【解答】
解：因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，μ=98，σ=10，
所以P(X≥108)=12[1−P(88
所以0.1587×9450≈1500，
故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名．
故选A．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的应用和正态曲线及其性质，属于基础题．
设参赛学生的成绩为ξ，利用正态曲线的性质，结合题目条件得Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159，再利用概率的含义，计算得结论．
【解答】
解：设参赛学生的成绩为ξ，由题意知ξ∼N80,102，
因此P70<ξ⩽90=0.683，所以Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159．
又因为成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，
所以参赛的学生总数约为320.159≈202．
故选D．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
由已知可得μ=100，σ=10.由此判断A正确，B错误;然后再由σ、2σ、3σ原则求解概率判断C与D．
【解答】
解：由已知 f(x)=1102πe−(x−100)2200，故μ=100，σ2=100，故该地水稻的平均株高为100 cm
该地水稻株高的方差为100；故A正确；B错误；
p(x>120)=p(x<80)>p(x<70)，所以随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大；故 C错误；
根据正态分布的对称性知：p(100
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的性质及其应用，属于基础题．
由题意及正态分布的性质计算得PX⩽10+PX⩾40，进而得PX⩽10，即可得答案．
【解答】
解：因为X∽N(25,σ2)，
PX⩽10+PX⩾40
=1−P10
=2100，
所以PX⩽10=PX⩾40
=12×2100
=1100，
所以这500名志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不大于10 mg/L的人数大约为
500×1100=5，
故答案为A．
13.【答案】0.16
10
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的概率计算与应用，属于中档题．
由已知求得μ=100，σ=17.5，结合σ原则可得P(X≤82.5);设本次数学考试成
绩特别优秀的有n人，分别求出P(x≥117.5)=0.16与P(x≥135)=0.02，可得0.160.02=80n，求解n值即可．
【解答】
解：因为数学成绩x服从正态分布N(100,17.52)，
则P(100−17.5
P(x≤82.5)=1−P(82.5
P(x>135)=1−P(65
则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.02=10．
故答案为0.16；10．
14.【答案】0.16
10
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的性质及应用，运用概率估计实际问题，属于中档题．
利用正态曲线的性质即可求出成绩不超过 82.5分的概率，求出高三考生总人数和本次考试数学成绩特别优秀的概率，即可求得本次考试数学成绩特别优秀的人数．
【解答】
解：P(X≤82.5)=P(X≤μ−δ)=P(μ−σ
高三考生总人数有800.16=500人，
P(X>135)=P(x>μ+2δ)≈P(μ−2σ
故答案为0.16；10．
15.【答案】22.8
38
【解析】
【分析】
本题考查由频率分布表求平均数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，属于基础题．
直接由每组数据的中间数乘以频率可得x−，再由正态分布的概率求得P(X>28)，乘以240可得这240个社区中“超标”社区的个数．
【解答】
解：由频率分布表可得，
x−=14×5+17×6+20×9+23×12+26×8+29×6+32×450=22.76≈22.8；
由题意，μ=22.8，∵s=5.2，∴σ=s=5.2，
∴P(X>28)=P(X>μ+σ)=1−0.68272=0.15865，
∵240×0.15865=38.076≈38．
∴估计这240个社区中“超标”社区的个数为38．
故答案为：22.8；38．
16.【答案】0.16
10
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质及正态分布的概率计算，属于基础题．
由题意可得PX>μ+δ=0.16，再根据PX<100−17.5=PX>100+17.5即可求出不超过82.5分的概率，再求出PX>100+2×17.5=0.02，从而求出数学成绩特别优秀的人数．
【解答】
解：依题意，Pμ−δ
此次参加考试的学生人数为800.16=500人，
所以PX<100−17.5=PX>100+17.5=0.16，
即此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为0.16，
本次考试数学成绩特别优秀的概率为：PX>100+2×17.5=12×1−0.96=0.02，
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10(人)．
故答案为0.16；10．
17.【答案】0.16
10
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质及正态分布的概率计算，属于基础题．
根据已知μ=100，σ=17.5，μ−σ=82.5，μ+σ=117.5，P(X<82.5)=P(X<μ+σ)
，结合已知数据，可求出学生成绩在82.5分以下的概率，求出
P(X>117.5)=P(X>μ+σ)，进而求出学生总人数，再由
P(X>135)=P(X>μ+2σ)即可求解．
【解答】
解：P(X<82.5)=P(X<μ−σ)=0.5−P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)2≈0.16，
P(X>117.5)=P(X>μ+σ)=0.5−P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)2≈0.16，
因为成绩在117.5分以上的学生有80人，
所以高三考生总人数约为800.16=500，
P(X>135)=P(X>μ+2σ)=0.5−P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)2≈0.02，
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10人.
故答案为0.16；10．
18.【答案】解：(1)由题知：随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3．
根据条件得P(X=0)=C50C53C103=10120=112;
P(X=1)=C51C52C103=50120=512;
P(X=2)=C52C51C103=50120=512;
P(X=3)=C53C50C103=10120=112．
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
112
512
512
112
数学期望E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=32．
(2)①设该划线分为m，
由Y～N(75.8,36)得μ=75.8，σ=6，
令η=Y−μσ=Y−75.86，
则Y=6η+75.8．
依题意P(Y≥m)≈0.85，
即P(6η+75.8 ≥ m)=P(η ≥ m−75.86)≈0.85，
因为当η～N(0,1)时，P(η≤1.04)≈0.85，
所以P(η=1.04)≈0.85，
所以m−75.86≈−1.04，
故m≈69.56．
∴取m=69．
②由①讨论及参考数据得P(Y≥71)=P(6η+75.8≥71)=P(η≥−0.8)=P(η≤0.8)≈0.788，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，
故ξ～B(800,0.788)，P(ξ=k)=C800k0.788k(1−0.788)800−k．
由P(ξ=k) ≥ P(ξ=k−1),P(ξ=k) ≥ P(ξ=k+1),
即C800k0.788k(1−0.788)800−k ≥ C800k−10.788k−1(1−0.788)801−k,C800k0.788k(1−0.788)800−k ≥ C800k+10.788k+1(1−0.788)799−k,
解得630.188≤k≤631.188，
又k∈N，
所以k=631，
故当k=631时，P(ξ=k)取得最大值．
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，正态分布的概念，性质与应用.属于中档题．
(1)结合题设条件先得到随机变量X的所有可能的取值，然后结合概率计算公式求得随机变量X取不同值是时对应的概率，最后列出分布列，结合期望计算公式代入计算即可;
(2)①设该划线分为m，由Y～N(75.8,36)得μ=75.8，σ=6，由η=Y−μσ=Y−75.86，则Y=6η+75.8，转化求解m即可．
②由①讨论及参考数据得P(Y≥71)=P(6η+75.8≥71)=P(η≥−0.8)=P(η≤0.8)≈0.788，得到ξ～B(800,0.788)，P(ξ=k)=C800k0.788k(1−0.788)800−k．
由P(ξ=k) ≥ P(ξ=k−1),P(ξ=k) ≥ P(ξ=k+1),求出k的范围，即可推出结果．
19.【答案】解：(Ⅰ)设参赛学生的竞赛成绩为ξ，因为ξ～N(70,100)，
由条件知，P(ξ≥90)=1−P(ξ<90)
=1−Φ(90−7010)=1−Φ(2)=1−0.9772=0.0228．
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，
∴参赛总人数约为120.0228≈526(人)．
(Ⅱ)假定设奖的分数线为x分，则
P(ξ≥x)=1−P(ξ
解得x≈83.1，
故设奖的分数线约为83．
【解析】本题考查正态分布的实际应用，考查标准正态分布表的应用，这种情景经常出现在我们的生活中．
(Ⅰ)设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，得到成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，得到参赛的总人数．
(Ⅱ)设出设奖的分数，根据获奖的人数和总体的人数得到获奖的概率，可得设奖的分数线约为83．
20.【答案】解：(1)设该大学三年级获得一等、二等、三等奖学金的人数分别为a,b,c.
则a=1−P(μ−3σ
(2)由(1)知该大学三年级获得励志奖学金的共159人.
故2×2列联表如下:
获得奖学金
未获得奖学金
总计
“励志型”学生
96
364
460
“非励志型”学生
63
477
540
总计
159
841
1000
∴K2=1000×(96×477−63×364)2159×841×460×540≈15.733>10.828
∴有99.9%的把握认为三年级学生获得励志奖学金与“励志型”学生有关.
(3)由题知每名学生获得励志奖学金的概率为0.159,
∴Z~B(200,0.159),
∴E(Z)=200×0.159=31.8.
【解析】本题考查独立性检验以及正态分布的概率计算，属于中档题；
(1)设该大学三年级获得一等、二等、三等奖学金的人数分别为a,b,c.
由a=1−P(μ−3σ
(3)由题知每名学生获得励志奖学金的概率为0.159,由Z~B(200,0.159),可得E(Z)=200×0.159=31.8.
21.【答案】解：(1)正态分布X N(55,100)，P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827
所以P(45≤X≤65)≈0.6827·
成绩在[45,65]的人数约为30000×0.6827=20481人·
由正态分布曲线的对称性可得：
P(35≤X≤75)=P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，
则P(X>75)=1−P(35≤X≤75)2≈0.0228
所以估计75分以上的人数约为30000×0.0228=684人·
(2)设该划线分为m，由X∼N(55,100)得μ=55,σ=10，
令η=X−μσ=X−5510≥m−5510
由题意因为η N(0,1)，P(η<0.8)≈0.75，所以P(η≥0.8)≈0.25
所以m−5510≈0.8，所以m≈63·
【解析】本题考查正态分布及其应用，属于一般题．
(1)由X N(55,100)，利用正态曲线的性质求P(45⩽X⩽65),P(X>75)，进而可估计相应的人数；
(2)先求出P(η≥0.8)≈0.25，得m−5510≈0.8，即可求m．
22.【答案】解(1)∵X～N(20,4)，
∴μ=20，σ=2，
∴μ−σ=18，μ+σ=22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%．
(2)∵μ−3σ=14，μ+3σ=26，μ−2σ=16，μ+2σ=24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%−95.45%2=2.14%．
∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%=107(个)．
【解析】本题考查正态分布概率性质及应用，属基础题目．
(1)利用正态分布概率性质即可得尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%，
(2)先计算尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比，再计算这批零件中不合格的零件个数．
23.【答案】解：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，
即X～N(180,σ2)，令Y=X−180σ，则Y～N(0,1)．
由360分及以上高分考生30名可得P(X≥360)=302000，即P(X<360)=1−302000=0.985，
即有P(X<360−180σ)=0.985，则360−180σ≈2.17，可得σ≈83，
可得N(180,832)，
设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)=P(Y≥x0−18083)=3002000，
即有P(Y
(2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取，
P(X<286)=P(Y<286−18083)≈P(Y<1.28)≈0.90，
表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1−0.90=0.10，2000×0.10=200，
即考生甲大约排在第200名，排在第275名之前，所以能被录取为高薪职位．
【解析】本题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题．
(1)利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N(180,832)，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线；
(2)计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．
相关试卷
数学选择性必修 第三册7.5 正态分布优秀课后作业题： 这是一份数学选择性必修 第三册7.5 正态分布优秀课后作业题，文件包含同步讲义人教A版2019高中数学选修第三册75正态分布原卷版docx、同步讲义人教A版2019高中数学选修第三册75正态分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布测试题： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布综合训练题： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布综合训练题，文件包含人教A版2019选择性必修三高中数学同步75正态分布解析版02docx、人教A版2019选择性必修三高中数学同步75正态分布原卷版02docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
