2021学年第六章 计数原理6.2 排列与组合精品课时训练

绝密★启用前

6.2.3组合同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）

1. 某中学从名男生和名女生中推荐人参加社会公益活动，若选出的人中既有男生又有女生，则不同的选法共有     

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2. 若，则等于

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

4. 下列等式不正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为奇数的方法数为

A.  B.  C.  D.

6. 年月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业或海外负责人．某新闻机构安排名记者和名摄影师对本次进博会进行采访，其中名记者和名摄影师负责“云采访”区域的采访，另名记者和名摄影师分两组每组记者和摄影师各人，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7. 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 文化和旅游部在年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”这三个主题，遴选出“建党百年红色旅游百条精品线路”这些精品线路中包含中共一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场个展现改革开放和新时代发展成就的景区，中国天眼、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州花茂村个展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述个景区中选个景区，则必须含有传统红色旅游景区以及展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的不同选法种数为

A.  B.  C.  D.

9. 数独是源自世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由行列个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字各个全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有   

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10. 年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这个图案的卡片卡片的形状、大小、质地均相同中随机选取张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为

A.  B.  C.  D.

11. 已知多项选择题的四个选项A、、、中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）

12. 若，则正整数的值是                                                                             ．

A.  B.  C.  D.

三、单空题（本大题共10小题，共50.0分）

13. 将标号为的个球放入标号为的个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________________种．以数字作答
14. 计算的结果为______．
15. 小张要从种水果中任意选种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为          ．
16. 年以来，全球新冠肺炎疫情依然复杂严峻，境外输入风险持续存在某市疾控中心决定将含，在内的名专家平均分配到所县疾控中心去指导防疫工作，若，这名专家不能分配在一起，则不同的分配方法有          种
17. 三封信随机放入两个不同的信箱中，共有种方法，则展开式的常数项为____________用数字作答
18. 若，则的展开式中含项的系数为______用数字作答
19. 一个盒子里装有个大小、形状完全相同的小球，其中红球个，编号分别为，，，，黄球个，编号分别为，，，从盒子中任取个小球，其中含有编号为的不同取法有_________种．
20. 某医院传染病科室有名医生．名护士，现从这名医护人员中选取名参加医院组织的运动会，要求其中至少有名医生．名护士，则不同的选取方法有______种．
21. 某单位在名男职工和名女职工中，选取人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______结果用数值表示
22. 春节是中国的传统佳节，春节贴“福”字，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿小实同学购买了、、三种类型的福字，其中种福字个，种福字个，种福字个，现从中随机抽取个福字，则、、三种福字各至少被抽取一个的情况种数为_____________．

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

23. 求不等式的解集．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知平面平面，在内有个点，在内有个点．

过这个点中的点作一平面，最多可作多少个不同的平面？

以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？

中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？






 

25. 年开始上海高考实行“”制度，即语文、数学、外语三门为必考科目，选考科目从政治、历史、地理、物理、化学、生物六门中选出三门参加等级考．

地理和生物两门等级考在高二完成，为了减轻高三的学习压力，某校要求每位学生必须从这两门中选择一门且只能选择一门，问该校学生共有多少种选科方式先列式，结果用数值表示？

求小李和小刘选择的等级考科目恰好有一门相同的概率先列式，结果用最简分数表示．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合数及正难则反的方法，属于简单题．
从个人中选人共种选法，去掉不合题意的只有男生或女生的选法种数就可得既有男生，又有女生的选法．
【解答】
解：从个人中选人共种选法，只有男生或女生的选法有种，
所以既有男生又有女生的选法有种．
故选A．  

2.【答案】
 

【解析】解：，，化为：．
解得，
故选：．
，可得，解出即可得出．
本题考查了组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了组合公式的计算，属于基础题．
利用组合数公式计算即可得答案．
【解答】
解：根据公式可得，，，
，
原式等于．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：因为，所以错，
因为，所以C正确，
因为，所以B正确．
因为，所以D正确．
故选：．
由排列组合数公式化简可得，C正确，利用的结论可检验B正确，排列组合数公式检验是错误的．
本题主要考查排列组合数公式的化简应用，属于基础题．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查分类计数原理与组合的应用，属于基础题．
选取的个数之和为奇数分两种情况，个阳数，个阴数，或者个阳数．
【解答】
解：从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，和为奇数，则分两种情况，个阳数，个阴数，或者个阳数．
个阳数，个阴数：种不同方法；
个阳数：种不同方法，
故共有种方法．
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分步计数原理的应用，属于较易题目．
由题意可分两步完成，先选名记者和名摄影师负责“云采访”区域的采访，再选名记者和名摄影师负责“汽车展区”的现场采访，剩余的名记者和名摄影师负责“技术装备展区”的现场采访即可．
【解答】
解：由题意可分两步完成，先选名记者和名摄影师负责“云采访”区域的采访，再选名记者和名摄影师负责“汽车展区”的现场采访，剩余的名记者和名摄影师负责“技术装备展区”的现场采访即可故不同的安排方案有种
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题．
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解．
【解答】
解：首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆．
故不同的安排方法共有种
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合与组合数公式，属于基础题．
使用直接法，即可求出结果．
【解答】
解：根据题意，必须含有传统红色旅游景区以及展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的选法有：
．
故选B．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了组合与组合公式相关的计数问题，考查了分析和运用能力，属于中档题．
根据题意，每一行每一列均有，，，则按先填第一行，再填第二行，再第三行的方式填写，再结合分步乘法计数原理计算即可求解．
【解答】
解：由题意，因为每一行每一列均有，，，
则按照先填第一行，再填第二行，再第三行的方式填写，
所以第一行填写方式有种，第二行填写方式有种，第三行有种填写方式．
故有种不同的填法．
故选A．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查古典概型的概率计算公式的运用，属于基础题．
求出从张片中随机选取张，基本事件总数为，“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的基本事件个数为，利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】
解：从张片中随机选取张，基本事件总数为，
“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的基本事件个数为，
故所求事件的概率为．
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查组合数及古典概型的计算与应用，属于基础题．
先分别求出随机选择两个选项及选择正确选项中的任意两个的选法种数，再根据古典概型的计算即可得概率．

【解答】 
解：随机选择两个选项有种，
根据题意选择含中的两个选项有种，
则该同学得分的概率为．
故选A．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合数公式的应用是基础题．
利用组合数公式化简求值．
【解答】
解：由，
得或，
即或．
故选AC．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查计数问题，属于基础题．
由分步计数原理知，从个盒中挑个与球标号不一致，共种挑法，每一种个盒子与球标号全不一致的方法为种，根据分步计数原理得到结果． 

【解答】
解：由分步计数原理知
从个盒中挑个与球标号不一致，共种挑法，
每一种个盒子与球标号全不一致的方法为种，
共有种．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】解：利用公式得，
而，原题答案为．
故答案为：．
利用排列组合数公式进行转化即可得到答案．
本题考查了组合数公式得计算，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：从种水果中任意选种的所有基本事件总数，
芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，
小张送的水果既有热带水果又有温带水果包含的基本事件个数，
小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率．
故答案为：．
从种水果中任意选种的所有基本事件总数，小张送的水果既有热带水果又有温带水果包含的基本事件个数，由此能求出小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查分步乘法原理的应用，首先计算出将名专家平均分配到所县疾控中心的方法数，然后计算出这名专家分配在一起的方法数，做差即可求出结果．
【解答】
解：将名专家平均分配到所县疾控中心的方法数为，其中这名专家分配在
一起的方法数为，故所求的分配方法数．
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合和利用二项式定理求特定项，属于基础题．
先求出，再利用二项式展开式的通项公式即可求解．
【解答】
解：三封信随机放入两个不同的信箱中，一共有种放法，
因此，
此时展开式的通项为，
令，得，
因此展开式的常数项为．
故答案为．
  

18.【答案】
 

【解析】解：，
；
展开式中，通项公式为：
，
令，解得；
展开式中含项的系数为．
故答案为：．
根据组合数公式求出的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中含项的系数．
本题考查了组合数公式与二项式定理的应用问题，是基础题．
 

19.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合及组合数的公式，属于基础题．
从袋子中任取个球假设取到任何一个球的可能性相同，得出基本事件总数，进而得出取出的个球中，含有编号为的球包含的基本事件个数．
【解答】
解：一个盒子里装有个球，其中有红球个，编号分别为，，，黄球个，编号分别为，，．
从盒子中任取个球假设取到任何一个球的可能性相同，
基本事件总数，
取出的个球中，含有编号为的球包含的基本事件个数，
故答案为．  

20.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列、组合的应用，注意分类讨论．属基础题目．
根据题意分析即可得有两种选取方案：名医生名护士或名护士名医生，计算组合数即可得答案．
【解答】
解：根据题意，从名护士和名医生，现从这名医护人员中选取名参加医院组织的运动会，要求其中至少有名医生．名护士，则有两种选取方案：名医生名护士或名护士名医生，

 ；
故答案为：  

21.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合的运用，本题适宜用排除法间接法，可以避免分类讨论，简化计算．属于基础题．
根据题意，运用排除法分析，先在名职工中选取人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男职工的情况，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，报名的有名男职工和名女职工，共名职工，
在名职工中选取人，参加义务献血，有种；
其中只有男职工的有种情况；
则男、女职工都有的选取方式的种数为种．
故答案为．  

22.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合应用题，属于基础题．
，，三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，通过组合数公式以及分类原理求解即可．
【解答】
解：
由题意可知，，，三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：
种花灯选个，种花灯选个，种花灯选个
种花灯选个，种花灯选个，种花灯选个．
故不同的抽取方法有种．  

23.【答案】解：不等式可以转化为，
，
解得，
由题知且，
，
故不等式的解集为．
 

【解析】本题主要考查的是组合数公式以及二次不等式的有关知识，属于基础题．
不等式可以转化为，求解即可．
 

24.【答案】解：所作出的平面有三类：
内点，内点确定的平面，有，
内点，内点确定的平面，有，
，本身，
所作的平面最多有个；
所作的三棱锥有三类：
内点，内点确定的三棱锥，有个，
内点，内点确定的三棱锥，有个，
内点，内点确定的三棱锥，有个，
所以，最多可作出的三棱锥有；
当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面，
体积不相等的三棱锥最多有个．
 

【解析】本题考查了排列、组合的综合应用，是中档题．
所作出的平面有三类内点，内点确定的平面，有，内点，内点确定的平面，有，，本身，即可得出结果；
所作的三棱锥有三类：内点，内点确定的三棱锥，有个，内点，内点确定的三棱锥，有个，内点，内点确定的三棱锥，有个，即可得出结果；
体积不相等的三棱锥最多有．
 

25.【答案】解：根据题意，语文、数学、外语三门为必考科目，
故这三门学科只有一种选法，
从地理和生命科学两门选择一门且只能选择一门有种选法，
再从剩下四科中选两门共有种选法，
所以该校学生共有种选科方式；
小李和小刘从六门学科中选出三门参加等级考共有种选科方式，
小李和小刘选择的等级考科目恰好有一门相同有，
所以小李和小刘选择的等级考科目恰好有一门相同的概率为．
 

【解析】本题主要考查排列组合问题、古典概型的概率问题，属于基础题．
根据题意分步完成选法即该校学生共有种选科方式；
先把总的基本事件数找到即小李和小刘从六门学科中选出三门参加等级考共有种选科方式，恰好有一门相同有种选科方式，则可得到恰好有一门相同的概率为．