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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理本章综合与测试精品课后复习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理本章综合与测试精品课后复习题，共25页。试卷主要包含了0分），求证，【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
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6.4数学探究杨辉三角的性质与应用同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2，……，第n(n≥2)行的第3个数字为an−1，则a1+a2+a3+⋯+a10=( )
A. 220 B. 186 C. 120 D. 96
2. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记an为图中第n行各数之和，则a5+a11的值为( )
A. 528 B. 1020 C. 1038 D. 1040
3. 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示)，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用ai−j表示三角形数阵的第i行第j个数，则a100−3=( )
A. 5050 B. 4851 C. 4950 D. 5000
4. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记an为图中第n行各数之和，则a5+a11的值为( )
A. 528
B. 1020
C. 1038
D. 1040
5. 图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩上”两数之和，则第n行的n+1个数的和为( )
A. 3n
B. 3×2n-1
C. 3(n2-n)2+3
D. n2-n+3
6. 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为2:3，则m=( )
A. 40 B. 50 C. 34 D. 32
7. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前37项和为
A. 1040 B. 1004 C. 1014 D. 1024
8. 如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A. 144
B. 146
C. 164
D. 461
9. 杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律．设fn=a+bnn∈N*,n≥2，若f(n)的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P.如f(7)=(a+b)7的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f(7)具有性质P.若存在n≤25，使f(n)具有性质P，则n的最大值为( )
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
10. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为( )
A. C 633 B. C634 C. C 643 D. C 644
11. 如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为( )
A. 55 B. 89 C. 120 D. 144
12. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为( )
A. C633 B. C634 C. C643 D. C644
二、多空题（本大题共6小题，共30.0分）
13. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第1行第3个数是 (1) ；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，则n= (2) ．
14. 如图所示的三角形数列满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)从第三行起，每行除首末两个数以外，每个数都等于上一行相邻两个数的和；则第7行的第2个数为 ，第n行(n≥2)的第2个数是 ．
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
......
15. 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，则这个数列的第19个数为 (1) ；记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)的值为 (2) ．
16. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，C63= (1) ，C74= (2) .(用数字作答)
17. 我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列an，则a14= ；若数列an的前n项和为Sn，则S67= ．
18. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第3个数是 ；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，则n= ．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
19. 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n≥r+3，求证：任何四个相邻的组合数Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3，不能构成等差数列．
20. 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n>r+3，求证：任何四个相邻的组合数Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3不能构成等差数列．
21. 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n,r为正整数，且n≥r+3，求证：任何四个相邻的组合数Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3不能构成等差数列．
22. 杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；
(3)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般地有这样的结论：第m−1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．试用含有m，k(m,k∈N *)的数字公式表示上述结论，并给予证明．
23. 在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．
(1)利用杨辉三角展开(1-x)6；
(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5?
24. 在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．
1利用杨辉三角展开；
2在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3:4:5?
25. 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由．
(2)已知n，r为正整数．且n≥r+3.求证：任何四个相邻的组合数Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3不能构成等差数列．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查的是杨辉三角及组合数的性质，属于基础题．
把所求的值用对应的组合数表示，再结合组合数的性质：，求解即可．
【解答】
解：因为a1+a2+a3+…+a10
．
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．
根据前4行可得，第n行数字之和为2n−1，代值计算即可．
【解答】
解：第一行数字之和为1=21−1，
第二行数字之和为2=22−1，
第三行数字之和为4=23−1，
第四行数字之和为8=24−1，
…
第n行数字之和为2n−1，
∴a5+a11=24+210=16+1024=1040
故选：D
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角 ，属于基础题．
观察得第i行第j个数应为Ci−1j−1，故可得答案
【解答】
解：依据二项展开式可知，第i行第j个数应为Ci−1j−1，
故第100行第3个数为C992=99×982=4851
故选：B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查杨辉三角形的应用．
利用杨辉三角形的性质，即可得．
【解答】
解： 因为a5=C40+C41+C42+C43+C44=24=16，
a11=C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，
∴a5+a11=1040，
故选D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查归纳推理的应用，注意直接分析各行的所有数的和变化规律．
根据题意，由所给的表格，依次求出第1行的2个数的和，第2行的3个数的和，第3行的4个数的和，…，分析其变化规律即可得答案．
【解答】
解：根据题意，由所给的表格：第1行的2个数为1、2，其和为1+2=3=3×20，
第2行的3个数为1、3、2，其和为1+3+2=6=3×21，
第3行的4个数为1、4、5、2，其和为1+4+5+2=12=3×22，
…；
则第n行的n+1个数的和为3×2n−1，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理中二项式系数的应用问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
确定第m行中从左至右第14个和第15个的二项式系数分别为Cm13与Cm14，利用条件列出方程，即可求得结论．
【解答】
解：∵二项式展开式第r+1项的系数为Tr+1=Cmr，
∴从左至右第m行的第14个和第15个的二项式系数分别为Cm13与Cm14，
∴Cm13Cm14=23，
整理得14m−13=23，解得m=34．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角 ，由题意得前n行的和为Sn=1−2n1−2=2n−1及前n行的总个数为Tn=n(n+1)2，再由去掉两端“1”后此数列的前36项和及第37项为第11行去掉“1”后的第一个数计算可得所求．
【解答】
解：没有去掉“1”之前，第1行的和为20，第2行的和为21，第3行的和为22，以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则前n行的和为Sn=1−2n1−2=2n−1.每一行数的个数为1，2，3，4，…，可以构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则前n行的总个数为Tn=n(n+1)2.当n=10时，T10=55，去掉两端“1”，
可得55−19=36，则去掉两端“1”后此数列的前36项和为S10−19=210−1−19=1004，
所以第37项为第11行去掉“1”后的第一个数，第一个数为10，
所以该数列的的前37项和为1004+10=1014．
故选C
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角以及组合与组合数公式的计算，属于中档题．
由题干图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 21，第3项是C 32，第4项是C 31，…，第15项是C 92，第16项是C 91.通过组合数公式的性质计算，即可得到答案．
【解答】
解：由题干图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 21，第3项是C 32，第4项是C 31，…，第15项是C 92，第16项是C 91．
所以S(16)=C 21+C 22+C 31+C 32+…+C 91+C 92
=(C 21+C 31+…+C 91)+(C 22+C 32+…+C 92)
=(C 22+C 21+C 31+…+C 91−C 22)+(C22+C 32+…+C 92)
=44+C 103=164．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了简单的合情推理，属中档题．
假设存在k∈N*，1≤k≤n−1，使Cnk−1，Cnk，Cnk+1成等差数列，所以Cnk−1+Cnk+1=2Cnk，整理得：4k2−4nk+n2−n−2=0，即(2k−n)2=n+2，根据n+2为完全平方数，且n≤25可得n的最大值为23．
【解答】
解：若存在n≤25，使f(n)具有性质P，
假设存在k∈N*，1≤k≤n−1，使Cnk−1，Cnk，Cnk+1成等差数列，
所以Cnk−1+Cnk+1=2Cnk，
利用组合数公式整理得：4k2−4nk+n2−n−2=0，即(2k−n)2=n+2，
所以n+2为完全平方数，
又n≤25，25+2=27不是完全平方数，24+2=26也不是完全平方数，23+2=25是完全平方数．
所以n的最大值为23．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角以及等差数列求和，属于基础题．
直接利用二项式定理，等差数列的前n项和公式求出结果．
【解答】
解：由“杨辉三角”可知第一行一个数，第二行2个数，…，
第n行n个数．
所以前n行有n(n+1)2个数．
当n=63时，63×(63+1)2=2016．
所以第2020项是第64行的第4个数，
即为C633．
故选A．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查归纳推理，考查杨辉三角，属于中档题．
根据题意，找出规律，即可求出数列的第10项．
【解答】
解：由题意，记新数列为数列an，
可知该数列从第3项开始每一项为前两项之和，
则a1=1，a2=1，a3=2，a4=1+2=3，a5=2+3=5，a6=3+5=8，a7=5+8=13，a8=8+13=21，a9=13+21=34，a10=21+34=55．
故选A．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角以及等差数列求和，属于基础题．
直接利用二项式定理，等差数列的前n项和公式求出结果．
【解答】
解：由“杨辉三角”可知第一行一个数，第二行2个数，…，
第n行n个数．
所以前n行有n(n+1)2个数．
当n=63时，63×(63+1)2=2016．
所以第2020项是第64行的第4个数，
即为C633．
故选A．
13.【答案】36
27
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理的应用以及杨辉三角，属于中档题．
根据杨辉三角的规律由组合数公式进行求解．
【解答】
解：根据杨辉三角的规律第9行从左到右的第3个数是，C92=9×82×1=36，
若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34,
则Cn11Cn12=34，即Cn11Cn12=n!11!·n−11!n!12!·n−12!=34，
即12n−11=34，
解得n=27．
故答案为36；27．
14.【答案】22
n2−n+22
【解析】
【分析】
本题考查合情推理的应用，属于基础题．
由题意进行合情推理，由等差数列求和得答案．
【解答】
解：因为由三角形数阵知：
第三行的第二个数可以表示为4=2+2；
第四行的第二个数可表示为7=3+4；
第五行的第二个数可表示为11=4+7;
第六行的第二个数可表示为16=11+5;
第七行的第二个数可表示为22=16+6;
...
由此可合情推理，根据图形第n行的第二个数为1+2+3+4+...+n−1+1=n2−n+22，
故答案为22；n2−n+22．
15.【答案】55
164
【解析】
【分析】
本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出Cnm+Cnm−1的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题．
根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出．
【解答】
解：由图可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，
则第19个数为C112=55，
这十六个数的和为：
C22+C21+C31+C32+C41+C42+⋯+C91+C92
=3+(C31+C41+⋯+C91)+(C32+C42+⋯+C92)
=(C32+C31+C41+⋯+C91)+(C33+C32+C42+⋯+C92)−1
=C102+C103−1=45+120−1=164．
故答案为55；164．
16.【答案】20
35
【解析】
【分析】本题主要考查杨辉三角，考查考生的观察能力，考查的核心素养是直观想象．
根据题意可得C63=C52+C53，C74=C63+C64=C63+C53+C54，分别计算即可得解．
【解答】解：C63=C52+C53=10+10=20，
C74=C63+C64=C63+C53+C54=20+10+5=35．
17.【答案】4
2048
【解析】
【分析】
本题考查了杨辉三角，二项式系数的和以及等比数列的前n项公式的应用．属较难题目．
解决问题的关键是弄清a67在杨辉三角中第几行第几列．
【解答】
解：观察可知，a14=4；
使得每行的序数与该行的项数相等，
则第k行最后项在数列an中的项数为kk+12，
设a67位于第kk∈N*行，则kk−12<67≤kk+12，解得k=12，
且第11行最后一项在数列an中的项数为11×122=66，
所以a67位于杨辉三角数阵的第12行第1个，
而第一行各项和为1=20，
第二行各项和为2=21，
第三行各项的和为4=22，
依此类推，第k行各项的和为2k−1，
因此，S67=(20+21+22+⋯+210)+C110=1−2111−2+1=211=2048．
故答案为4；2048．
18.【答案】36
27
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角，组合数公式，属于较易题．
得出第n(n≥1)行第r个数为Cnr−1(r=1,2,...n,n+1)即可求解．
【解答】
解：根据杨辉三角的性质可知，第n(n≥1)行第r个数为Cnr−1(r=1,2,...n,n+1)
故第9行从左到右的第3个数是C93−1=C92=9×82=36；
若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，
则有Cn11Cn12=34 n≥12,n∈N*，即n!11!n−11!·12!n−12!n!=12n−11=34，
解得n=27．
故答案为36;27．
19.【答案】解：(1)存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数Cnk，k=0，1，2，…，n组成，
如果第n行中有Cnk−1Cnk=kn−k+1=34,CnkCnk+1=k+1n−k=45，
那么3n−7k=−3，4n−9k=5，解得k=27，n=62，
即第62行有三个相邻的数C6226,C6227,C6228的比为3:4:5;
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，
即2×n!(r+1)!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!+n!(r+2)!(n−r−2)!，
2×n!(r+2)!(n−r−2)!=n!(r+1)!(n−r−1)!+n!(r+3)!(n−r−3)!，
所以有2(r+1)(n−r−1)=1(n−r−1)(n−r)+1(r+1)( r+2)，
2(r+2)(n−r−2)=1(n−r−2)(n−r−1)+1(r+2)(r+3)，
整理得到n2−(4r+5)n+4r(r+2)+2=0，
n2−(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0. 两式相减可得n=2r+3，
于是C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，
而由二项式系数的性质可知C2r+3r=C2r+3r+3
【解析】本题考查了组合及组合数公式及等差数列的性质，杨辉三角的应用，属于中档题．
(1)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和k的方程组，能够解出对应的n和k的值；
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，根据等差数列的性质得到2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，整理得n=2r+3，得到C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，再由组合数的性质可知得以证明．
20.【答案】解：(1)存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数Cnk，k=0，1，2，…，n组成，
如果第n行中有Cnk−1Cnk=kn−k+1=34,CnkCnk+1=k+1n−k=45，
那么3n−7k=−3，4n−9k=5，解得k=27，n=62，
即第62行有三个相邻的数C6226,C6227,C6228的比为3:4:5;
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1,+Cnr+3，
即2×n!(r+1)!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!+n!(r+2)!(n−r−2)!，
2×n!(r+2)!(n−r−2)!=n!(r+1)!(n−r−1)!+n!(r+3)!(n−r−3)!，
所以有2(r+1)(n−r−1)=1(n−r−1)(n−r)+1(r+1)( r+2)，
2(r+2)(n−r−2)=1(n−r−2)(n−r−1)+1(r+2)(r+3)，
整理得到n2−(4r+5)n+4r(r+2)+2=0，
n2−(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0. 两式相减可得n=2r+3，
于是C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，
而由二项式系数的性质可知C2r+3r=C2r+3r+3
【解析】本题考查了组合及组合数公式及等差数列的性质，杨辉三角的应用，属于中档题．
(1)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和k的方程组，能够解出对应的n和k的值；
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，根据等差数列的性质得到2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，整理得n=2r+3，得到C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，再由组合数的性质可知得以证明．
21.【答案】解：(1)存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数Cnk，k=0，1，2，…，n组成，
如果第n行中有Cnk−1Cnk=kn−k+1=34,CnkCnk+1=k+1n−k=45，
那么3n−7k=−3，4n−9k=5，解得k=27，n=62，
即第62行有三个相邻的数C6226,C6227,C6228的比为3:4:5;
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1,+Cnr+3，
即2×n!(r+1)!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!+n!(r+2)!(n−r−2)!，
2×n!(r+2)!(n−r−2)!=n!(r+1)!(n−r−1)!+n!(r+3)!(n−r−3)!，
所以有2(r+1)(n−r−1)=1(n−r−1)(n−r)+1(r+1)( r+2)，
2(r+2)(n−r−2)=1(n−r−2)(n−r−1)+1(r+2)(r+3)，
整理得到n2−(4r+5)n+4r(r+2)+2=0，
n2−(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0. 两式相减可得n=2r+3，
于是C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，
而由二项式系数的性质可知C2r+3r=C2r+3r+3
【解析】本题考查了组合及组合数公式及等差数列的性质，杨辉三角的应用，属于中档题．
(1)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和k的方程组，能够解出对应的n和k的值；
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，根据等差数列的性质得到2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，整理得n=2r+3，得到C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，再由组合数的性质可知得以证明．
22.【答案】解：(1)根据数阵中数的排列规律，可得第n行的从左到右第m+1个数为Cnm，
所以第20行中从左到右的第4个数C 203=20×19×183×2×1=1140．
(2)1+2+22+…+2n=2n+1−1．
(3)C m−1m−1+C mm−1+…+C m+k−2m−1=C m+k−1m．
证明如下：
左边=C mm+C mm−1+…+C m+k−2m−1=C m+1m+C m+1m−1+…+C m+k−2m−1=…=C m+k−2m+C m+k−2m−1=C m+k−1m=右边．
【解析】【试题解析】
本题考查杨辉三角和二项式系数等知识．
(1)根据数阵中数的排列规律，可得第n行的从左到右第m+1个数为Cnm，由此即可算出第20行中从左到右的第4个数的大小；
(2)n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和即是1+2+22+…+2n，根据等比数列的前n项和公式计算即可；
(4)利用二项式系数的性质Cnm−1+Cnm=Cn+1m证明即可．
23.【答案】解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，
可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，
所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
令a=1，b=−x，得(1−x)6=1−6x+15x2−20x3+15x4−6x5+x6．
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，
并设这三个数分别是C nk−1，C nk，C nk+1，
则有34=Cnk−1Cnk,45=CnkCnk+1,
所以34=n！(k−1)！(n+1−k)！×k！(n−k)！n！,45=n！k！(n−k)！×(k+1)！(n−1−k)！n！,
所以34=kn+1−k,45=k+1n−k,即3n−7k=−3,4n−9k=5,
所以n=62,k=27,
即在第62行会出现C 6226∶C 6227∶C 6228=3∶4∶5．
【解析】本题考查二项式定理的应用以及杨辉三角，属于中档题．
(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，
可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1， 所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6. 令a=1，b=−x，即可得到答案；
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，
并设这三个数分别是C nk−1，C nk，C nk+1，从而得到34=Cnk−1Cnk,45=CnkCnk+1,
再解方程，得到n=62,k=27, 即可得到答案．
24.【答案】解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，
可写出第6行为1，6，15，20，15，6，1，
所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
令a=1，b=−x，得(1−x)6=1−6x+15x2−20x3+15x4−6x5+x6．
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，
并设这三个数分别是C nk−1，C nk，C nk+1，
则有34=Cnk−1Cnk,45=CnkCnk+1,
所以34=n！(k−1)！(n+1−k)！×k！(n−k)！n！,45=n！k！(n−k)！×(k+1)！(n−1−k)！n！,
所以34=kn+1−k,45=k+1n−k,即3n−7k=−3,4n−9k=5,
所以n=62,k=27,
即在第62行会出现C 6226∶C 6227∶C 6228=3∶4∶5．
【解析】本题考查二项式定理的应用以及杨辉三角，属于中档题．
(1)根据杨辉三角的规律， 可写出第6行的数， 所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6. 令a=1，b=−x，即可得到答案；
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C nk−1，C nk，C nk+1，从而得到34=Cnk−1Cnk,45=CnkCnk+1,，再解方程，得到n=62,k=27, 即可得到答案．
25.【答案】解：(1)假设在杨辉三角形的一行能出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5，
则不妨设这三个数为Cnk−1，Cnk，Cnk+1，
∴Cnk−1:Cnk:Cnk+1=3:4:5，
∴Cnk−1Cnk=kn−k+1=34,CnkCnk+1=k+1n−k=45，
∴3n−7k=−3，4n−9k=5，
解这个联立方程组，得k=27，n=62，
∴在杨辉三角形的第62行出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5；
(2)证明：若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，
经整理得到n2−4r+5n+4rr+2+2=0，
n2−4r+9n+4r+1r+3+2=0，
两式相减可得n=2r+3，
∴C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，
即C2r+3r+1+C2r+3r+2=C2r+3r+C2r+3r+3，①
而由组合数的性质可知：C2r+3r+1=C2r+3r+2,C2r+3r=C2r+3r+3，②
所以由①②可得C2r+3r+1=C2r+3r+2=C2r+3r=C2r+3r+3，
这与组合数的性质矛盾，从而任何四个相邻的组合数Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3不能构成等差数列．
【解析】本题考查了组合及组合数公式及等差数列的性质，属于中档题．
(1)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，不妨设这三个数为Cnk−1，Cnk，Cnk+1，由此列两个关于n和k的方程组，能够解出对应的n和k的值；
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，根据等差数列的性质得到2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，整理得n=2r+3，得到C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，再由组合数的性质可知得以证明．
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6.4数学探究杨辉三角的性质与应用同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2，……，第n(n≥2)行的第3个数字为an−1，则a1+a2+a3+⋯+a10=( )
A. 220 B. 186 C. 120 D. 96
2. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记an为图中第n行各数之和，则a5+a11的值为( )
A. 528 B. 1020 C. 1038 D. 1040
3. 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示)，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用ai−j表示三角形数阵的第i行第j个数，则a100−3=( )
A. 5050 B. 4851 C. 4950 D. 5000
4. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记an为图中第n行各数之和，则a5+a11的值为( )
A. 528
B. 1020
C. 1038
D. 1040
5. 图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩上”两数之和，则第n行的n+1个数的和为( )
A. 3n
B. 3×2n-1
C. 3(n2-n)2+3
D. n2-n+3
6. 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为2:3，则m=( )
A. 40 B. 50 C. 34 D. 32
7. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前37项和为
A. 1040 B. 1004 C. 1014 D. 1024
8. 如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A. 144
B. 146
C. 164
D. 461
9. 杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律．设fn=a+bnn∈N*,n≥2，若f(n)的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P.如f(7)=(a+b)7的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f(7)具有性质P.若存在n≤25，使f(n)具有性质P，则n的最大值为( )
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
10. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为( )
A. C 633 B. C634 C. C 643 D. C 644
11. 如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为( )
A. 55 B. 89 C. 120 D. 144
12. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为( )
A. C633 B. C634 C. C643 D. C644
二、多空题（本大题共6小题，共30.0分）
13. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第1行第3个数是 (1) ；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，则n= (2) ．
14. 如图所示的三角形数列满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)从第三行起，每行除首末两个数以外，每个数都等于上一行相邻两个数的和；则第7行的第2个数为 ，第n行(n≥2)的第2个数是 ．
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
......
15. 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，则这个数列的第19个数为 (1) ；记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)的值为 (2) ．
16. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，C63= (1) ，C74= (2) .(用数字作答)
17. 我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列an，则a14= ；若数列an的前n项和为Sn，则S67= ．
18. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第3个数是 ；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，则n= ．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
19. 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n≥r+3，求证：任何四个相邻的组合数Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3，不能构成等差数列．
20. 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n>r+3，求证：任何四个相邻的组合数Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3不能构成等差数列．
21. 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n,r为正整数，且n≥r+3，求证：任何四个相邻的组合数Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3不能构成等差数列．
22. 杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；
(3)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般地有这样的结论：第m−1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．试用含有m，k(m,k∈N *)的数字公式表示上述结论，并给予证明．
23. 在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．
(1)利用杨辉三角展开(1-x)6；
(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5?
24. 在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．
1利用杨辉三角展开；
2在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3:4:5?
25. 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由．
(2)已知n，r为正整数．且n≥r+3.求证：任何四个相邻的组合数Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3不能构成等差数列．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查的是杨辉三角及组合数的性质，属于基础题．
把所求的值用对应的组合数表示，再结合组合数的性质：，求解即可．
【解答】
解：因为a1+a2+a3+…+a10
．
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．
根据前4行可得，第n行数字之和为2n−1，代值计算即可．
【解答】
解：第一行数字之和为1=21−1，
第二行数字之和为2=22−1，
第三行数字之和为4=23−1，
第四行数字之和为8=24−1，
…
第n行数字之和为2n−1，
∴a5+a11=24+210=16+1024=1040
故选：D
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角 ，属于基础题．
观察得第i行第j个数应为Ci−1j−1，故可得答案
【解答】
解：依据二项展开式可知，第i行第j个数应为Ci−1j−1，
故第100行第3个数为C992=99×982=4851
故选：B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查杨辉三角形的应用．
利用杨辉三角形的性质，即可得．
【解答】
解： 因为a5=C40+C41+C42+C43+C44=24=16，
a11=C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，
∴a5+a11=1040，
故选D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查归纳推理的应用，注意直接分析各行的所有数的和变化规律．
根据题意，由所给的表格，依次求出第1行的2个数的和，第2行的3个数的和，第3行的4个数的和，…，分析其变化规律即可得答案．
【解答】
解：根据题意，由所给的表格：第1行的2个数为1、2，其和为1+2=3=3×20，
第2行的3个数为1、3、2，其和为1+3+2=6=3×21，
第3行的4个数为1、4、5、2，其和为1+4+5+2=12=3×22，
…；
则第n行的n+1个数的和为3×2n−1，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理中二项式系数的应用问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
确定第m行中从左至右第14个和第15个的二项式系数分别为Cm13与Cm14，利用条件列出方程，即可求得结论．
【解答】
解：∵二项式展开式第r+1项的系数为Tr+1=Cmr，
∴从左至右第m行的第14个和第15个的二项式系数分别为Cm13与Cm14，
∴Cm13Cm14=23，
整理得14m−13=23，解得m=34．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角 ，由题意得前n行的和为Sn=1−2n1−2=2n−1及前n行的总个数为Tn=n(n+1)2，再由去掉两端“1”后此数列的前36项和及第37项为第11行去掉“1”后的第一个数计算可得所求．
【解答】
解：没有去掉“1”之前，第1行的和为20，第2行的和为21，第3行的和为22，以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则前n行的和为Sn=1−2n1−2=2n−1.每一行数的个数为1，2，3，4，…，可以构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则前n行的总个数为Tn=n(n+1)2.当n=10时，T10=55，去掉两端“1”，
可得55−19=36，则去掉两端“1”后此数列的前36项和为S10−19=210−1−19=1004，
所以第37项为第11行去掉“1”后的第一个数，第一个数为10，
所以该数列的的前37项和为1004+10=1014．
故选C
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角以及组合与组合数公式的计算，属于中档题．
由题干图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 21，第3项是C 32，第4项是C 31，…，第15项是C 92，第16项是C 91.通过组合数公式的性质计算，即可得到答案．
【解答】
解：由题干图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 21，第3项是C 32，第4项是C 31，…，第15项是C 92，第16项是C 91．
所以S(16)=C 21+C 22+C 31+C 32+…+C 91+C 92
=(C 21+C 31+…+C 91)+(C 22+C 32+…+C 92)
=(C 22+C 21+C 31+…+C 91−C 22)+(C22+C 32+…+C 92)
=44+C 103=164．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了简单的合情推理，属中档题．
假设存在k∈N*，1≤k≤n−1，使Cnk−1，Cnk，Cnk+1成等差数列，所以Cnk−1+Cnk+1=2Cnk，整理得：4k2−4nk+n2−n−2=0，即(2k−n)2=n+2，根据n+2为完全平方数，且n≤25可得n的最大值为23．
【解答】
解：若存在n≤25，使f(n)具有性质P，
假设存在k∈N*，1≤k≤n−1，使Cnk−1，Cnk，Cnk+1成等差数列，
所以Cnk−1+Cnk+1=2Cnk，
利用组合数公式整理得：4k2−4nk+n2−n−2=0，即(2k−n)2=n+2，
所以n+2为完全平方数，
又n≤25，25+2=27不是完全平方数，24+2=26也不是完全平方数，23+2=25是完全平方数．
所以n的最大值为23．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角以及等差数列求和，属于基础题．
直接利用二项式定理，等差数列的前n项和公式求出结果．
【解答】
解：由“杨辉三角”可知第一行一个数，第二行2个数，…，
第n行n个数．
所以前n行有n(n+1)2个数．
当n=63时，63×(63+1)2=2016．
所以第2020项是第64行的第4个数，
即为C633．
故选A．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查归纳推理，考查杨辉三角，属于中档题．
根据题意，找出规律，即可求出数列的第10项．
【解答】
解：由题意，记新数列为数列an，
可知该数列从第3项开始每一项为前两项之和，
则a1=1，a2=1，a3=2，a4=1+2=3，a5=2+3=5，a6=3+5=8，a7=5+8=13，a8=8+13=21，a9=13+21=34，a10=21+34=55．
故选A．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角以及等差数列求和，属于基础题．
直接利用二项式定理，等差数列的前n项和公式求出结果．
【解答】
解：由“杨辉三角”可知第一行一个数，第二行2个数，…，
第n行n个数．
所以前n行有n(n+1)2个数．
当n=63时，63×(63+1)2=2016．
所以第2020项是第64行的第4个数，
即为C633．
故选A．
13.【答案】36
27
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理的应用以及杨辉三角，属于中档题．
根据杨辉三角的规律由组合数公式进行求解．
【解答】
解：根据杨辉三角的规律第9行从左到右的第3个数是，C92=9×82×1=36，
若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34,
则Cn11Cn12=34，即Cn11Cn12=n!11!·n−11!n!12!·n−12!=34，
即12n−11=34，
解得n=27．
故答案为36；27．
14.【答案】22
n2−n+22
【解析】
【分析】
本题考查合情推理的应用，属于基础题．
由题意进行合情推理，由等差数列求和得答案．
【解答】
解：因为由三角形数阵知：
第三行的第二个数可以表示为4=2+2；
第四行的第二个数可表示为7=3+4；
第五行的第二个数可表示为11=4+7;
第六行的第二个数可表示为16=11+5;
第七行的第二个数可表示为22=16+6;
...
由此可合情推理，根据图形第n行的第二个数为1+2+3+4+...+n−1+1=n2−n+22，
故答案为22；n2−n+22．
15.【答案】55
164
【解析】
【分析】
本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出Cnm+Cnm−1的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题．
根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出．
【解答】
解：由图可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，
则第19个数为C112=55，
这十六个数的和为：
C22+C21+C31+C32+C41+C42+⋯+C91+C92
=3+(C31+C41+⋯+C91)+(C32+C42+⋯+C92)
=(C32+C31+C41+⋯+C91)+(C33+C32+C42+⋯+C92)−1
=C102+C103−1=45+120−1=164．
故答案为55；164．
16.【答案】20
35
【解析】
【分析】本题主要考查杨辉三角，考查考生的观察能力，考查的核心素养是直观想象．
根据题意可得C63=C52+C53，C74=C63+C64=C63+C53+C54，分别计算即可得解．
【解答】解：C63=C52+C53=10+10=20，
C74=C63+C64=C63+C53+C54=20+10+5=35．
17.【答案】4
2048
【解析】
【分析】
本题考查了杨辉三角，二项式系数的和以及等比数列的前n项公式的应用．属较难题目．
解决问题的关键是弄清a67在杨辉三角中第几行第几列．
【解答】
解：观察可知，a14=4；
使得每行的序数与该行的项数相等，
则第k行最后项在数列an中的项数为kk+12，
设a67位于第kk∈N*行，则kk−12<67≤kk+12，解得k=12，
且第11行最后一项在数列an中的项数为11×122=66，
所以a67位于杨辉三角数阵的第12行第1个，
而第一行各项和为1=20，
第二行各项和为2=21，
第三行各项的和为4=22，
依此类推，第k行各项的和为2k−1，
因此，S67=(20+21+22+⋯+210)+C110=1−2111−2+1=211=2048．
故答案为4；2048．
18.【答案】36
27
【解析】
【分析】
本题考查杨辉三角，组合数公式，属于较易题．
得出第n(n≥1)行第r个数为Cnr−1(r=1,2,...n,n+1)即可求解．
【解答】
解：根据杨辉三角的性质可知，第n(n≥1)行第r个数为Cnr−1(r=1,2,...n,n+1)
故第9行从左到右的第3个数是C93−1=C92=9×82=36；
若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，
则有Cn11Cn12=34 n≥12,n∈N*，即n!11!n−11!·12!n−12!n!=12n−11=34，
解得n=27．
故答案为36;27．
19.【答案】解：(1)存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数Cnk，k=0，1，2，…，n组成，
如果第n行中有Cnk−1Cnk=kn−k+1=34,CnkCnk+1=k+1n−k=45，
那么3n−7k=−3，4n−9k=5，解得k=27，n=62，
即第62行有三个相邻的数C6226,C6227,C6228的比为3:4:5;
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，
即2×n!(r+1)!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!+n!(r+2)!(n−r−2)!，
2×n!(r+2)!(n−r−2)!=n!(r+1)!(n−r−1)!+n!(r+3)!(n−r−3)!，
所以有2(r+1)(n−r−1)=1(n−r−1)(n−r)+1(r+1)( r+2)，
2(r+2)(n−r−2)=1(n−r−2)(n−r−1)+1(r+2)(r+3)，
整理得到n2−(4r+5)n+4r(r+2)+2=0，
n2−(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0. 两式相减可得n=2r+3，
于是C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，
而由二项式系数的性质可知C2r+3r=C2r+3r+3
【解析】本题考查了组合及组合数公式及等差数列的性质，杨辉三角的应用，属于中档题．
(1)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和k的方程组，能够解出对应的n和k的值；
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，根据等差数列的性质得到2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，整理得n=2r+3，得到C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，再由组合数的性质可知得以证明．
20.【答案】解：(1)存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数Cnk，k=0，1，2，…，n组成，
如果第n行中有Cnk−1Cnk=kn−k+1=34,CnkCnk+1=k+1n−k=45，
那么3n−7k=−3，4n−9k=5，解得k=27，n=62，
即第62行有三个相邻的数C6226,C6227,C6228的比为3:4:5;
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1,+Cnr+3，
即2×n!(r+1)!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!+n!(r+2)!(n−r−2)!，
2×n!(r+2)!(n−r−2)!=n!(r+1)!(n−r−1)!+n!(r+3)!(n−r−3)!，
所以有2(r+1)(n−r−1)=1(n−r−1)(n−r)+1(r+1)( r+2)，
2(r+2)(n−r−2)=1(n−r−2)(n−r−1)+1(r+2)(r+3)，
整理得到n2−(4r+5)n+4r(r+2)+2=0，
n2−(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0. 两式相减可得n=2r+3，
于是C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，
而由二项式系数的性质可知C2r+3r=C2r+3r+3
【解析】本题考查了组合及组合数公式及等差数列的性质，杨辉三角的应用，属于中档题．
(1)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和k的方程组，能够解出对应的n和k的值；
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，根据等差数列的性质得到2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，整理得n=2r+3，得到C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，再由组合数的性质可知得以证明．
21.【答案】解：(1)存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数Cnk，k=0，1，2，…，n组成，
如果第n行中有Cnk−1Cnk=kn−k+1=34,CnkCnk+1=k+1n−k=45，
那么3n−7k=−3，4n−9k=5，解得k=27，n=62，
即第62行有三个相邻的数C6226,C6227,C6228的比为3:4:5;
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1,+Cnr+3，
即2×n!(r+1)!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!+n!(r+2)!(n−r−2)!，
2×n!(r+2)!(n−r−2)!=n!(r+1)!(n−r−1)!+n!(r+3)!(n−r−3)!，
所以有2(r+1)(n−r−1)=1(n−r−1)(n−r)+1(r+1)( r+2)，
2(r+2)(n−r−2)=1(n−r−2)(n−r−1)+1(r+2)(r+3)，
整理得到n2−(4r+5)n+4r(r+2)+2=0，
n2−(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0. 两式相减可得n=2r+3，
于是C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，
而由二项式系数的性质可知C2r+3r=C2r+3r+3
【解析】本题考查了组合及组合数公式及等差数列的性质，杨辉三角的应用，属于中档题．
(1)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和k的方程组，能够解出对应的n和k的值；
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，根据等差数列的性质得到2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，整理得n=2r+3，得到C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，再由组合数的性质可知得以证明．
22.【答案】解：(1)根据数阵中数的排列规律，可得第n行的从左到右第m+1个数为Cnm，
所以第20行中从左到右的第4个数C 203=20×19×183×2×1=1140．
(2)1+2+22+…+2n=2n+1−1．
(3)C m−1m−1+C mm−1+…+C m+k−2m−1=C m+k−1m．
证明如下：
左边=C mm+C mm−1+…+C m+k−2m−1=C m+1m+C m+1m−1+…+C m+k−2m−1=…=C m+k−2m+C m+k−2m−1=C m+k−1m=右边．
【解析】【试题解析】
本题考查杨辉三角和二项式系数等知识．
(1)根据数阵中数的排列规律，可得第n行的从左到右第m+1个数为Cnm，由此即可算出第20行中从左到右的第4个数的大小；
(2)n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和即是1+2+22+…+2n，根据等比数列的前n项和公式计算即可；
(4)利用二项式系数的性质Cnm−1+Cnm=Cn+1m证明即可．
23.【答案】解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，
可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，
所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
令a=1，b=−x，得(1−x)6=1−6x+15x2−20x3+15x4−6x5+x6．
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，
并设这三个数分别是C nk−1，C nk，C nk+1，
则有34=Cnk−1Cnk,45=CnkCnk+1,
所以34=n！(k−1)！(n+1−k)！×k！(n−k)！n！,45=n！k！(n−k)！×(k+1)！(n−1−k)！n！,
所以34=kn+1−k,45=k+1n−k,即3n−7k=−3,4n−9k=5,
所以n=62,k=27,
即在第62行会出现C 6226∶C 6227∶C 6228=3∶4∶5．
【解析】本题考查二项式定理的应用以及杨辉三角，属于中档题．
(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，
可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1， 所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6. 令a=1，b=−x，即可得到答案；
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，
并设这三个数分别是C nk−1，C nk，C nk+1，从而得到34=Cnk−1Cnk,45=CnkCnk+1,
再解方程，得到n=62,k=27, 即可得到答案．
24.【答案】解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，
可写出第6行为1，6，15，20，15，6，1，
所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
令a=1，b=−x，得(1−x)6=1−6x+15x2−20x3+15x4−6x5+x6．
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，
并设这三个数分别是C nk−1，C nk，C nk+1，
则有34=Cnk−1Cnk,45=CnkCnk+1,
所以34=n！(k−1)！(n+1−k)！×k！(n−k)！n！,45=n！k！(n−k)！×(k+1)！(n−1−k)！n！,
所以34=kn+1−k,45=k+1n−k,即3n−7k=−3,4n−9k=5,
所以n=62,k=27,
即在第62行会出现C 6226∶C 6227∶C 6228=3∶4∶5．
【解析】本题考查二项式定理的应用以及杨辉三角，属于中档题．
(1)根据杨辉三角的规律， 可写出第6行的数， 所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6. 令a=1，b=−x，即可得到答案；
(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C nk−1，C nk，C nk+1，从而得到34=Cnk−1Cnk,45=CnkCnk+1,，再解方程，得到n=62,k=27, 即可得到答案．
25.【答案】解：(1)假设在杨辉三角形的一行能出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5，
则不妨设这三个数为Cnk−1，Cnk，Cnk+1，
∴Cnk−1:Cnk:Cnk+1=3:4:5，
∴Cnk−1Cnk=kn−k+1=34,CnkCnk+1=k+1n−k=45，
∴3n−7k=−3，4n−9k=5，
解这个联立方程组，得k=27，n=62，
∴在杨辉三角形的第62行出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5；
(2)证明：若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，
经整理得到n2−4r+5n+4rr+2+2=0，
n2−4r+9n+4r+1r+3+2=0，
两式相减可得n=2r+3，
∴C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，
即C2r+3r+1+C2r+3r+2=C2r+3r+C2r+3r+3，①
而由组合数的性质可知：C2r+3r+1=C2r+3r+2,C2r+3r=C2r+3r+3，②
所以由①②可得C2r+3r+1=C2r+3r+2=C2r+3r=C2r+3r+3，
这与组合数的性质矛盾，从而任何四个相邻的组合数Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3不能构成等差数列．
【解析】本题考查了组合及组合数公式及等差数列的性质，属于中档题．
(1)假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，不妨设这三个数为Cnk−1，Cnk，Cnk+1，由此列两个关于n和k的方程组，能够解出对应的n和k的值；
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr，Cnr+1，Cnr+2，Cnr+3成等差数列，根据等差数列的性质得到2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1+Cnr+3，整理得n=2r+3，得到C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，再由组合数的性质可知得以证明．
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