高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列精品巩固练习

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7.2离散型随机变量及其分步列同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知随机变量满足，，且，令随机变量，则   

A.  B.  C.  D.

2. 若小明通过某次考试的概率是未通过的倍，令随机变量，则

A.  B.  C.  D.

3. 下列随机变量服从两点分布的有个

掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数；

射击一次命中目标的次数；

抛掷一枚质地均匀的骰子，定义随机变量；

随机变量的分布列如表．

A.  B.  C.  D.

4. 一个袋中有形状大小完全相同的个白球和个红球，从中任意摸出个球，用表示个球都是白球，用表示个球不全是白球，则满足条件的概率分布为

A.

 B.

 C.

 D.

5. 下列随机变量服从两点分布的有个

掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数；

射击一次命中目标的次数；

抛掷一枚质地均匀的骰子，定义随机变量；

随机变量的分布列如表．

A.  B.  C.  D.

6. 一串钥匙有把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的最大可能取值为

A.  B.  C.  D.

7. 已知随机变量的分布列为   

若，则的值为   

A.  B.  C.  D.

8. 已知随机变量的分布规律为，则   

A.  B.  C.  D.

9. 若离散型随机变量的分布列为，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， 

A. 减小 B. 增大
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小

11. 已知离散型随机变量的分布列为

若，则

A.  B.  C.  D.

12. 若某随机事件的概率分布列满足，则 

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知，随机变量的分布列如表．若时，          ；在的变化过程中，的最大值为          ．

14. 某地有，、、四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有到过疫区，肯定是受感染的，对于，因为难以判定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是，同样也假设受、和感染的概率都是在这种假定之下，、、中直接受感染的人数就是一个随机变量，写出的可能取值为          ，的均值即数学期望为          ．
15. 设，随机变量的分布列是

则实数的值为          ；随机变量的方差为          ．

16. 已知盒中装有个红球和个黄球，从中任取个球取到每个球是等可能的，随机变量表示取到黄球的个数，且的分布列为

则          ，           

17. 已知随机变量的分布列如下表：

若，则       ，       ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知服从两点分布，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，编号为，，；黑球有个，编号为，；白球有个，编号为现从袋中一次随机抽取个球．

求取出的个球的颜色都不相同的概率．

记取得号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列．

在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列．






 

20. 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功．

求至少回答对一个问题的概率；

求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列；

求这位挑战者闯关成功的概率．






 

21. 目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
    某校为了解高一年级名学生选考科目的意向，随机选取名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：

Ⅰ估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
Ⅱ将列联表填写完整，并通过计算判定能否有把握认为选历史是否与性别有关？

Ⅲ从选考方案确定的名男生中随机选出名，设随机变量，求的分布列及数学期望．
附：，．

22. 袋内有个红球，个白球，从中摸出个球，记，求的分布列．
    
    
    
    
    
    
     
23. 为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共道题，每题分，总分分，该课外活动小组随机抽取了名学生的问卷成绩单位：分进行统计，将数据按照，，，，分成组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于分的称为“文科意向”学生，低于分的称为“理科意向”学生．
    根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？

将频率视为概率，现在从该市学生中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次，记被抽取的人中“文科意向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．

参考公式：，其中．

参考临界值：

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的期望和方差，同时考查两点分布，属于基础题．
根据离散型随机变量的分布列分别求出和的期望和方差，然后比较即可得出答案．
【解答】
解：因为的分布列为：

则， ．
的分布列为：

则，
，
显然和大小不确定，
因为，，
所以，
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查离散型随机变量的概率，属于基础题，由题意可直接得到，从而得到的值．
【解答】解：由题意，则．
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查两点分布的概念，是个基础题．
两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，均满足定义，不满足．
【解答】
解：两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，均满足定义，
随机变量的取值为，，故说法是错误的．
故选C．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查古典概型及离散型随机变量及其分布列，
由古典概型公式求出的大小即可求解．
【解答】
解： 由已知，
则，
所以的概率分布为．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查两点分布的概念，是个基础题．
两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，均满足定义，不满足．
【解答】
解：两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，均满足定义，
随机变量的取值为，，故说法是错误的．
故选C．  

6.【答案】
 

【解析】略
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查两点分布的方差公式，利用两点分布的方差公式即可求解，属于基础题．
【解答】
解：由条件，得，
整理得，故．
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量及其分布列，属于较易题目，根据分布列的概率和为的性质，求解即可．
【解答】
解：由离散型随机变量的分布列的性质知，
，即，．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
由离散型随机变量的分布列为
，求出，从而，由此能求出结果．
【解答】

解：由题可知，

则由离散型随机变量分布列的性质可得

，
解得，
故．
故选A．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
先求数学期望，再求方差，即可得解．

【解答】

解：因为，

所以，

因为，

所以先增后减．

故选D．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望、方差的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出，，进而求出，由此能求出．
【解答】
解：是离散型随机变量，，，，
，，
解得，，
，
．
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列和方差，属于基础题．
利用分布列的性质求，再由方差公式即可求解．
【解答】
解：因为，
故，，
，
，
，
故选D．  

13.【答案】 

【解析】解：；
，
时，取最大值，此时．
故答案为：，．
利用期望公式的求解方法，方差的求解方法即可解决．
本题考查了统计与概率中的期望与方差，方差的性质，属于中档题．
 

14.【答案】，，
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量及其分布列和均值的求法，是中档题．
由题意知的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和的均值． 
【解答】
解：由题意知的可能取值为，，，
，用“”、、表示被直接感染的人数．四个人的传染情形共有种：
，，，，，
每种情况发生的可能性都相等，
所以传染人有两种情况，传染人有三种情况，传染人有一种情况．
“”表示传染，没有传染给、；
“”表示传染给、，没有传染给，或传染给、，没有传染给；
“”表示传染给、、．
于是有，
，
．
所以随机变量的分布列是

的均值为．
故答案为：，，；．  

15.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查离散型随机变量的期望与方差的求法，对于分布列的理解与应用，是基本知识的考查．
首先分析题目已知的分布列，利用概率之和为求出，再根据方差公式直接求得方差即可．
【解答】
解：，解之得负值舍去，
，
，
故答案为；．  

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查随机变量的分布列及期望的计算，同时考查古典概型，为中档题．
由古典概型和已知，求出，进而求出，，然后利用期望公式求解即可．

【解答】

解：由已知从装有个红球和个黄球的盒子中，从中任取个球，没有黄球的概率为，
所以，
结合，，解得，

则，
所以．

故答案为．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，考查的核心素养是数学运算，根据分布列的性质结合列出方程组即可求出结果，属于基础题．

【解答】

解：由随机变量的分布列及，
得，解得，，
所以．

18.【答案】解因为服从两点分布，则其分布列如下：

 ，
 

则当时，取最大值，最大值为，

所以．

【解析】本题考查两点分布相关知识，由两点分布的方差公式求其取值范围．
 

19.【答案】解：从袋中一次随机抽取个球，
基本事件总数，
取出的个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为，
所以取出的个球的颜色都不相同的概率
由题意知，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：

由题意知，，服从两点分布，
又，
所以随机变量的分布列为：

【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要注意排列组合的合理运用．
从袋中一次随机抽取个球，求出基本事件总数，取出的三个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数，由此能求出取出的三个球的颜色都不相同的概率．
由题意知，，，，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布．
由题意知，，服从两点分布，可以求出结果．
 

20.【答案】解：依题意，设事件表示“至少回答对一个问题”，则事件的对立事件表示“三个问题全部回答错误”，
；
这位挑战者回答这三个问题的总得分所有可能的取值为，，，，，，
，，
，，
，．
所以的分布列为：

依题意总分不低于分就算闯关成功，
这位挑战者闯关成功的概率．
 

【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法，考查离散型随机变量的概率分布列，考查运算求解能力，是中档题．
设事件表示“至少回答对一个问题”，则事件的对立事件表示“三个问题全部回答错误”，求出，根据互为对立事件的概率关系即可得到结论；
依题意，这位挑战者回答这三个问题的总得分所有可能的取值为，，，，，，分别求出对应概率，列出分布列即可；
结合闯关成功为不低于分，即由中分布列即可得到结论．
 

21.【答案】解：Ⅰ由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．
Ⅱ列联表为：

由列联表中数据得

，
所以有的把握认为选历史与性别有关．
Ⅲ由数据可知，选考方案确定的男生中有人选择物理、化学和生物：有人选择物理、化学和历史：有人选择物理、化学和地理：有人选择物理、化学和政治，由已知的取值为，．
，，
所以的分布列为

．

【解析】本题主要考查独立性检验以及概率分布列的计算，考查学生的计算能力属于中档题．
Ⅰ计算男生和女生确定选考生物的人数，进行估算即可
Ⅱ根据数据完成列联表，计算，结合独立性检验的性质进行判断即可
Ⅲ求出随机变量的数值和对应的概率，即可得到和期望．
 

22.【答案】解：由题设可知服从两点分布，
且，
．
所以的分布列为

【解析】

【分析】本题考查两点分布．
由已知得服从两点分布，然后求出概率，制作分布列求解即可．  

23.【答案】解：由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，
在之间的学生人数为，
所以低于分的学生人数为．
因此列联表如下：

又，所以有的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．
 易知从该校高一学生中随机抽取人，则该人为“文科意向”的概率为依题意知，
，所以的分布列为：

期望，方差．
 

【解析】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及古典概型问题，属于中档题．
根据频率分布直方图求得不低于分的频率和频数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
易知从该校高一学生中随机抽取人，则该人为“文科意向”的概率为依题意知，写出分布列求出期望和方差．