湖北省九师联盟2021-2022学年高三上学期数学10月质量检测试卷

这是一份湖北省九师联盟2021-2022学年高三上学期数学10月质量检测试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三上学期数学10月质量检测试卷
一、单选题
1.不等式 的解集为（    ）
A.           B.           C. 或           D. 或
2.复数 下列说法正确的是（    ）
A. z的模为                                                      B. z的虚部为
C. z的共轭复数为                                    D. z的共轭复数表示的点在第四象限
3.若 ，则 （    ）
A. -4                                       B.                                        C. -3                                       D. 
4.一种药在病人血液中的量保持在 以上时才有疗效，而低于 时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过（ ，结果精确到1h）（    ）
A. 5h                                        B. 6h                                        C. 7h                                        D. 8h
5.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （    ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
6.函数 的单调递增区间是（    ）
A.                                       B. 
C.                                       D. 
7.把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数 ，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在 中，点D为线段 的黄金分割点（ ）， ， ， ，则 （    ）
A.                                B.                                C.                                D. 
8.已知函数 的定义域为 ，则满足 的实数 的取值范围是（    ）
A.                                B.                                C.                                D. 
二、多选题
9.为了得到函数 的图象，只需将函数 图象上（    ）
A. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C. 所有点沿y轴向下平移1个单位长度
D. 所有点沿x轴向右平移 个单位长度
10.设 ， 是复数，则（    ）
A.                                                  B. 若 ，则
C. 若 ，则                                  D. 若 ，则
11.下列命题成立的是（    ）
A. 若 ， ，则
B. 若不等式 的解集是 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若a，b满足 ，则 的取值范围是
12.已知函数 ，则（    ）
A. 当 时，                    B. 当 时，
C. 当 时，                 D. 方程 有两个不同的解
三、填空题
13.若 是奇函数，则       .
14.已知 是 的外心，且 ，则       .
15.已知函数 （ ， ）满足 ，其图象与 轴在原点右侧的第一个交点的坐标为 ，则函数 的解析式为      .
16.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在 中， ，以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其中心依次为 ， ， ，若 ，则        ， 的最大值为      .

四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答；
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 的面积 ， ，  ▲  ， 求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.已知 ， ，方程 的一个根为 ，复数 ，满足 .
（1）.求复数 ；
（2）.若 ，求复数 .
19.已知函数 .
（1）.若 ，解关于x的不等式 ；
（2）.若存在 ，使得 成立，求整数a的最大值.
20.已知向量 ， .
（1）.若 ，且 ，求 的值；
（2）.若函数 ，且 ，求 的值.
21.已知函数 ， .
（1）.求函数 的极值；
（2）.证明：有且只有两条直线与函数 ， 的图象都相切.
22.  
（1）.已知函数 （ ），求证： ；
（2）.若函数 在 上为减函数，求实数 的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 .
故答案为：B.

【分析】由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
2.【答案】 A
【解析】【解答】 ，
z的模为 ，A符合题意；
z的虚部为 ，B不符合题意；
z的共轭复数为 ，C不符合题意；
z的共轭复数表示的点为 在第一象限，D不符合题意.
故答案为：A.

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数模的定义以及复数代数形式的几何意义即可得出答案。
3.【答案】 D
【解析】【解答】 ， .
故答案为：D.

【分析】根据题意由两角和的正切公式代入数值计算出的值，然后由二倍角的正切公式代入数值计算出结果即可。
4.【答案】 B
【解析】【解答】血液中含药量y（单位： ）与注射后的时间t（单位：h）的关系式为 ，由题意，得 ，即 ，两边取对数，得 .
故答案为：B

【分析】根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，然后由题意即可得出不等式，结合指、对互化公式以及对数的运算性质计算出结果即可。
5.【答案】 B
【解析】【解答】由已知，得 ，结合 ， 得 ，
解得 ，
所以 ，即 .
故答案为：B.

【分析】首先由向量的运算性质整理化简即可求出， 然后由向量模的性质计算出结果即可。
6.【答案】 A
【解析】【解答】 ，
设 ，则 ， ，
函数 是由 和 复合而成，
当 时， 是减函数；
若求 的单调递增函数，
只需求 的单调递减区间，
当 时， 为减函数，
所以函数 的单调递增区间是 .
故答案为：A.

【分析】首先由同角三角函数的基本关系式整理化简原式，再令整理得出， 结合二次函数的性质即可求出该函数的单调性，再由复合函数的单调性以及余弦函数的单调性，结合题意即可得出答案。
7.【答案】 A
【解析】【解答】点D为线段 的黄金分割点，

则 ，
所以 ，
则 .
故答案为：A.

【分析】由已知条件结合向量的加减运算性质整理即可得出然后由数量积的运算公式整理化简计算出结果即可。，
8.【答案】 C
【解析】【解答】 ，
函数 和 的图象在 上都关于直线 对称，
且它们都在 上递增，在 上递减，
所以函数 的图象在 上关于直线 对称，且在 上递增，在 上递减，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
实数 的取值范围是 ，
故答案为：C.

【分析】由已知条件整理化简函数的解析式，然后由二次函数和正弦函数的单调性即可得出函数的图象在 上关于直线 对称，结合图象的性质以及单调性即可得出， 求解诶出不等式的解集，从而得出a的取值范围。
二、多选题
9.【答案】 A,C
【解析】【解答】对于A，函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
可得函数 的图象，则A符合题意；
对于B，函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，可得函数 的图象，B不符合题意；
对于C， ，将 图象上的所有点沿y轴向下平移1个单位长度，就得到函数 的图象，C符合题意；
对于D，函数 图象上所有点沿x轴向右平移 个单位长度，可得函数 的图象， D不符合题意；
故答案为：AC.

【分析】根据题意由函数平移的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10.【答案】 A,C
【解析】【解答】设 ， ，a，b，x， ，
，A成立；
，则 ，所以 ， ，
从而 ，所以 ，C成立；
对于B，取 ， ，满足 ，但结论不成立；
对于D，取 ， ，满足 ，但结论不成立.
故答案为：AC

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数模的定义对选项逐一判断即可得出答案。
11.【答案】 B,C
【解析】【解答】对于A，取 ， ， ， ，则 ，则A不符合题意；
对于B，方程 的两根分别为1和2，则 ， ，解得 ， ，所以 ，则B符合题意；
因为 ， ，所以 ，则C符合题意；
由 ， ，得 ，又 ，所以 ，即a-b的取值范围是 ，则D不符合题意.
故答案为：BC

【分析】根据题意由不等式的简单性质即可判断出选项A错误；由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系结合韦达定理即可判断出选项B正确；由不等式的性质即可判断出选项C正确、D错误，由此即可得出答案。
12.【答案】 B,C
【解析】【解答】 在定义域内单调递增，则 ，A不符合题意；
，令 ， ，当 时， ，则 在 单调递增，所以B符合题意；
由 ，可得 ，令 ， 在 上小于0，所以 在 单调递减，则当 时， ，即 ，所以C符合题意；
，当 时， ，而函数 在 上单调递增，函数 的图象与直线 仅有一个公共点，如图所示：

则方程 仅有一个解，D不符合题意.
故答案为：BC

【分析】由对数函数的单调性即题意整理即可判断出选项A错误；根据题意构造函数由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可比较出大小由此判断出选项B正确；同理即可得出选项C正确，由题意即可作出函数的图象，利用数形结合法即可得出选项D错误，由此即可得出答案。
三、填空题
13.【答案】 -1
【解析】【解答】由题得 .
由题意，得 对任意的 恒成立
对任意的 恒成立
对任意的 恒成立，
考虑到 ，于是 .
故答案为：-1

【分析】由已知条件结合奇函数的性质即可得出对任意的 恒成立，结合指数函数的性质即可得出a的取值范围。
14.【答案】 -1
【解析】【解答】如图：取 的中点D，连接 ，

因为 是 的外心，所以 ，
所以 ，
故答案为：-1.

【分析】首先由圆的几何性质即可得出线线垂直，再由数量积的运算公式计算出结果即可。
15.【答案】 或
【解析】【解答】因为 满足 ，所以 图象关于 对称，
因为 图象与 轴在原点右侧的第一个交点的坐标为 ，
所以 ，所以 ，
所以 即 ，所以 ， ，
解得： ， ，
因为 ，所以 或
所以 或 .
故答案为： 或 .

【分析】由已知条件即可得出图象关于 对称，由此即可求出 图象与 轴的交点坐标，结合周期公式代入数值计算出的值，然后由特殊点法代入计算出， 对k赋值计算出结果即可。
16.【答案】 ；
【解析】【解答】设 ， ， .如图，连接 ， .

由拿破仑定理知， 为等边三角形.
因为 为等边三角形的中心，所以在 中， ， ，设 ，由余弦定理，得 ，即 ，
解得： ，即 ， ，同理 ；
又 ， ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，化简得 ，
由基本不等式得 ，解得 （当且仅当 时取等号），所以 .
故答案为： ； .

【分析】 在中，由三角形中的几何计算关系结合余张定理可求得AD 的值；同理可得在中，求出∠DAF的大小，再由余弦定理可求得AB 与AC的关系，结合基本不等式即可求最大值。
 
四、解答题
17.【答案】 解：选条件①：
因为 ，
根据正弦定理，可得 ，
即 ， 
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ；
由 的面积 ，解得 . 
根据余弦定理，得 ，
所以 . 
选条件②：
因为 ，根据正弦定理可得： ，
由 ，得 ，所以 ， 
则 ，又 ，所以 ；
由 的面积 ，解得 .
根据余弦定理，得 ，
故 .
选条件③： ，即 ，
整理得 ，解得 或 . 
由 ，得 ，所以 ；
由 的面积 ，解得 . 
根据余弦定理，得 ，
故 .
【解析】【分析】 （1）若选择方案①，利用正弦定理边角互化，再结合三角函数恒等变换，求角；若选②利用二倍角公式，结合正弦定理和余弦定理，求出角的大小；若选择③利用正弦定理边角互化，再结合三角函数恒等变换，求出角的大小；
18.【答案】 （1）解：依题意，得 ，
即 ，
由复数相等的定义及a， ，得 ，
解得 . 
故复数

（2）解：设 （ ， ），由 ，得 ，
，
又 ，得 ，即 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
【解析】【分析】(1)由复数相等的定义整理即可求出a与b的值，然后由共轭复数的定义即可得出答案。
(2)由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出， 结合题意代入计算出x与y的值，由此即可得出答案。
 
 
19.【答案】 （1）解：由 ，得 ， ，
当 ，即 ，或 时， 的根 ，
原不等式的解集为 或 ；
当 ，即 ，或 时， 的根 ，
原不等式的解集为 ；
当 ，即 时，原不等式的解集为 .

（2）解：由 ，得 ，
再由 得 ，
所以存在 ，使得 成立就等价于 .
而 （当且仅当 时等号成立），
所以 ，解得 ，
故整数a的最大值为-1.
【解析】【分析】(1)由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合方程根的情况即可求出不等式的解集。
(2)由已知条件即可得出， 结合二次函数的性质即可得出， 利用基本不等式即可求出的最小值，由此即可得出a的取值范围。
 
 
20.【答案】 （1）解：由 ，得 ，
即 ，
所以 或 .
当 时， ，则 ；
当 时，得 ， ，则 .
综上，x的值为 或

（2）解：
.
由 ，得 ，
所以

【解析】【分析】(1)首先由共线向量的坐标公式整理得出， 由此求出或 ， 分情况讨论由余弦函数以及正切函数的性质即可求出x的值。
(2)由数量积的坐标公式以及二倍角的正、余弦公式整理化简函数的解析式，再由题意整理即可得到， 利用诱导公式以及二倍角的余弦公式代入数值计算出结果即可。
 
21.【答案】 （1）解： 的定义域为 ，
且 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，
故 的极大值为 ，没有极小值.

（2）证明：设直线 分别切 ， 的图象于点 ， ，
由 可得 ，得 的方程为 ，
即 ： ；
由 可得 ，
得 的方程 ，即 ： .
比较 的方程，得 ，
消去 ，得 .
令 （ ），则 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
因为 ，所以 在 上有一个零点；
由 ，得 ，
所以 在 上有一个零点，所以 在 上有两个零点，
故有且只有两条直线与函数 ， 的图象都相切.
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，结合极值的定义即可得出答案。
(2)首先由导函数的性质求出切线的斜率，由此得出直线的方程，然后由已知条件联立两式即可得出
， 由此得出整理即可得到， 构造函数， 结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，然后由零点的定义结合题意整理即可得证出结论。
22.【答案】 （1）证明：由 可得 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 在 上为减函数，
所以 ， ，
故

（2）解：设 ，则 对于 恒成立，
所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，即 .
（i）当 时， ，则 ，从而 ，
因为函数 在 上为减函数，
所以 ，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
由（1）知 ，所以 ，所以 .
（ii）当 时， ，则 ，
所以 ，
因为函数 在 上为减函数，
所以 ，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
由（1）知 ，所以 ，所以
（iii）当 时，则存在唯一的 ，使得 ，从而 .
当 时， ，即存在 ， 且 ，使得 ，这与“ 在 上为减函数”矛盾，此时不合题意.
综上，实数 的取值范围是 .
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得证出结论。
(2)由已知条件 设 ，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合题意即可得出， 然后再对k分情况讨论，由函数的单调性即可得出函数g(x)的导函数的性质，由此得出即对 恒成立 ，分析题意即可得出满图条件的k的取值范围。