陕西省宝鸡市陈仓区2022届高三下学期理数教学质量检测试卷（二）

这是一份陕西省宝鸡市陈仓区2022届高三下学期理数教学质量检测试卷（二），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三下学期理数教学质量检测试卷（二）
一、单选题
1.已知 ，集合 ，则 （    ）
A.                        B.                        C.                        D. 
2.复数 ＝（    ）
A.                              B.                              C.                              D. 
3.某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数 与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型： .已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（    ）
A. 44                                        B. 48                                        C. 80                                        D. 125
4.设向量 ， ，则（    ）
A.                    B.                    C.                    D. 与 的夹角为
5.在等比数列 中， 是方程 的根，则 的值为（   ）
A.                               B.                               C.                               D. 
6.函数 的图象大致是（ ）
A.                             B. 
C.                            D. 
7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（   ）

A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
8.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232  321  230  023  123  021  132  220  001
231  130  133  231  031  320  122  103  233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ）
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
9.已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（    ）
A.                                B.                                C. 或                                D. 或
10.执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（    ）

A. 0                                    B.                                     C.                                     D. 
11.已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（    ）
A.                                B.                                C.                                D. 
12.过抛物线 的焦点 作直线与抛物线在第一象限交于点 ，与准线在第三象限交于点 ，过点 作准线的垂线，垂足为 .若 ，则 （    ）
A.
B.
C.
D.2
二、填空题
13.的展开式中 的系数为      .
14.已知P是 的边 上任一点，且满足 ， ，则 的最小值为      .
15.设 是函数 的一个极值点，则       .
16.将正方形 沿对角线 折成直二面角，给出下列四个结论：① ， 所成的角为 ；② 为等边三角形；③ ；④ 与平面 所成角 .其中真命题是      .（请将你认为是真命题的序号都填上）
三、解答题
17.已知数列 是公比为3的等比数列，且 ， ， 成等差数列．
（1）.求数列 的通项公式；
（2）.记 ，求数列 的前n项和 ．
18.中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取 名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在[50，60）内的频数为3.

（1）.求 的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；
（2）.已知抽取的 名参赛人员中，成绩在[80，90）和[90，100]女士人数都为2人，现从成绩在[80，90）和[90，100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为 ，求 的分布列与数学期望.
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 相交于点 ， ，已知 ， ， .

（1）求证： 平面 ；
（2）设棱 的中点为 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
20.已知椭圆 的离心率为 ，左右顶点分别为 ，上下顶点分别为 ，四边形 的面积为 ，
（1）.求椭圆的方程；
（2）.过椭圆的右焦点 的直线 与椭圆交于 ， 两点，直线 、 分别交直线 于 两点，判断 是否为定值，并说明理由．
21.已知函数 的极大值为 ，其中 为常数， 为自然对数的底数.
（1）求 的值；
（2）若函数 ，对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）.若曲线 关于直线 对称，求 的值；
（2）.若 ， 为曲线 上两点，且 ，求 面积的最大值.
23.已知 ，函数
（1）若 ， ，求不等式 的解集﹔
（2）求证： .

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】因为 ，
集合 ，则 ,
故答案为：D.

【分析】首先由对数函数的单调性即可求出x的取值范围，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2.【答案】 C
【解析】【解答】因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
所以 .
故答案为：C

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简即可得出答案。
3.【答案】 D
【解析】【解答】依题意得 ， ， ，所以 .故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.
故答案为：D

【分析】根据题意把数值代入到函数的解析式计算出结果即可。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：因为 A不符合题意
因为 ， ，所以 ，所以 与 不共线，B不符合题意
因为 ， ，
所以
因为 ，所以 ，D不符合题意；
因为 ， ，所以 ，
所以 ，C符合题意．
故答案为：C．

【分析】 根据平面向量以及向量模的坐标公式、向量共线的坐标公式和夹角的数量积运算公式，对选项逐一判断即可得出答案。
5.【答案】 B
【解析】【解答】∵ 是方程 的根
∴ ，
∴
∴
∵ 为等比数列
∴
∴
∴
故答案为：B

【分析】由已知条件结合等比数列的项的性质即可得出， 然后把数值代入计算出结果即可。
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：根据题意， ，其定义域为 ，
有 ， 为偶函数，函数图象关于 轴对称，排除 ，
又由 ，则 ，即 的值域为 ， ，因为 ，所以 ，排除 、 ，
故答案为：A．

【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于y轴对称由此排除D，再由正弦函数的性质即可求出函数的值域，由此即可排除选项B、C，由此得到答案。
7.【答案】 C
【解析】【解答】详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为
故答案为：C.
【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．注意画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
8.【答案】 C
【解析】【解答】因为随机模拟产生18组随机数，
由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：
， ， ， 共4个基本事件，
根据古典概型概率公式可得，
恰好第三次就停止的概率为 ，
故答案为：C.

【分析】根据题意得出恰好第三次就停止的有4个基本事件，利用古典概型概率公式可得出结果。
9.【答案】 D
【解析】【解答】∵三个数1，a，9成等比数列，∴ ，则 ．
当 时，曲线方程为 ，表示椭圆，则长半轴长为 ，半焦距为1，离心率为 ；
当 时，曲线方程为 ，实半轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ．
故答案为：D．

【分析】首先由等比数列的项的性质即可求出a的值，然后由双曲线的简单性质即可求出离心率的值。
10.【答案】 D
【解析】【解答】由程序框图可知，
， ； ， ， ； ；
， ， ， ， ， ；
， ； ， ； ， ；
， ；…；所以周期为8.
又 ，
所以当 时， ，输出 .
故答案为：D.

【分析】根据题意由程序框图的循环代入数值验证即可得出满足题意的输出值.
11.【答案】 B
【解析】【解答】由 得， .
令 ，则 在 上单调递增，
因为 的定义域为 ，所以
不等式 满足 ， ，
不等式两边同时乘以 得， ，
即 ，
又因为 在 上单调递增，所以
，解得 ，
故答案为：B.

【分析】 根据条件构造函数g(x)=xf(x)，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行
转化求解即可.
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，

直线BH是抛物线准线，令|FH|=2m,
由抛物线定义知，|AF|=|AH|， △AFH中，∠AHF=∠AFH=α，
过F作FM⊥AH于M，而AH⊥BH, BH⊥x轴于E,
则四边形EFMH是矩形，|EF|=|MH|=2mcosα，
取FH中点N，连接AN，则AN⊥FH，
又△AMF∽△FEB
∴

故答案为：C
【分析】利用抛物线定义，结合几何图形的相似三角形及同角三角函数的基本关系，转化为可用∠AFH表示的线段比值求解即可.
二、填空题
13.【答案】 4096
【解析】【解答】由题意， 的系数的为： .
故答案为：4096.

【分析】 根据已知条件，结合二项展开式的通项公式，即可求解.
14.【答案】 9
【解析】【解答】因为P是 的边 上任一点，且满足 ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为：9.

【分析】由向量的加法的运算性质整理即可得出， 然后整理化简原式再结合基本不等式计算出最小值即可。
15.【答案】
【解析】【解答】因为函数 ，所以 ，
因为 是函数 的一个极值点，
所以 ， ，
所以
.
故答案为： .

【分析】 先利用连续光滑曲线的极值点处的导数为0求出， 再把cos20除以构造齐次式，进而分子分母同时除以整理化简计算出结果即可。
16.【答案】 ①②③
【解析】【解答】解：在①中： 将正方形 沿对角线 折成直二面角，得到四面体 ，
设 ，
取 中点 ， 中点 ， 中点 ，连结 ， ， ， ， ，

则 ，且 ， ，
由三角形中位线定理得 ， ，且 ， ，
是 ， 所成的角，
， 是等边三角形， ，
， 所成的角为 ，故①正确；
在②中： ，且 ， ，
，
为等边三角形，故②正确；
在③中： ， 是 中点，
， ，又 ， 面 ，
面 ， ，故③正确；
在④中： 是直二面角， ，
平面 ， 是 与平面 所成角，
， ，
与平面 所成角为 ，故④错误．
故答案为：①②③．

【分析】 在①中，设AB=BC=CD=AD=2，取BD中点O，AC中点E，BC中点F，推导出△EFO是等边三角形，从而得到AB，CD所成的角为60°；在②中，由， 且OA⊥OC，由此能得到△ADC为等边三角形；在③中，推导出BD⊥面AOC，从而AC⊥BD；在④中，推导出∠ABO是AB与平面BCD所成角，从而得到AB与平面BCD所成角为45°.
三、解答题
17.【答案】 （1）解：由题意可得 ，
即 ，解得： ．
∴数列 的通项公式为

（2）解： ．

．
【解析】【分析】(1)由已知条件结合等比数列的通项公式即可得出，首项和公差的值，由此即可得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法以及等差数列的前n项和公式和等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
 
 
18.【答案】 （1）解：由频率分布直方图知，成绩在 频率为
，
成绩在[50，60）内频数为3， 抽取的样本容量 ，
参赛人员平均成绩为

（2）解：由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80，90）的人数为0.0125×10×40=5，
成绩在[90，100]的人数为0.0100×10×40=4，
的可能取值为0，1，2，3，4，
； ，
， ，
.
的分布列为

0
1
2
3
4






.
【解析】【分析】(1) 由已知条件的频率直方图中的数据以及性质即可得出 成绩在 频率 ，结合样本容量的定义即可计算出m的值，结合平均值公式代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
 
 
19.【答案】 （1）证明：∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴在 中， ，
，
∴
∴ ，∴ ，∵ 平面
∴ ， ，且 都在平面 ，
∴ 平面


（2）解：以 为 轴建立空间直角坐标系，

∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 与平面 法向量分别为 ， 二面角为
∴ ，

∴ ，则 .
【解析】【分析】 （1）根据直线与平面垂直的判定定理证；
（2）用向量法，二面角问题转化为向内积求解．
20.【答案】 （1）解：由题意得 ，．
解得 ，所以椭圆 的方程为 ．

（2）解：若直线 的斜率不存在，则直线 方程为 ，
此时可得 ， ， ，所以 ．
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入 整理得
，易得 恒成立．
设 ，则 ，
由直线 的方程 可得点 ，
由直线 的方程 可得点 ，
所以 ．
所以 ．

综上， 为定值．．
【解析】【分析】(1)首先由已知条件解椭圆的 a、b 、c 三者的关系即可得出，关于a、b、c的方程组，求解出结果，由此即可得出椭圆的方程。
(2)据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由数量积的坐标公式整理化简即可计算出为定值，由此得出答案。
 
 
21.【答案】 （1）解： 的定义域为 ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以当 ， 为增函数，当 ， 为减函数，
所以 时， 有极大值 ，所以 ；

（2）解：由（1）知， ，
则 ，即 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立
设 ，则 对 恒成立，

设 ， ，原问题转化为： 对 恒成立，
①若 ，当 时， ，
则 ，不合题意；
②若 ，则 对 恒成立，符合题意
③若 ，则 ，
令 ， ，令 ， ，
所以当 时， 为减函数，
当 时， 为增函数，
所以 ，
即 ，即 ；
综上
【解析】【分析】（1）本小题先求导函数，再根据单调性求解即可.（2）本小题先将不等式恒成立问题转化为函数恒大于零的问题，再分类讨论解题即可.
22.【答案】 （1）解：直线 的参数方程为 ，
消去参数 得直线 的普通方程为 .
由 ， ，得曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，
因为圆 关于直线 对称，
所以圆心 在直线 上，所以 .

（2）解：由点 ， 在圆 上，且 ，
不妨设 ，则 ，
∴ 的面积为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立
∴ 面积的最大值为1.
【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，然后由直线与圆的对称关系，把圆心坐标代入到直线的方程计算出a的值即可。
(2)根据椭圆设出由已知条件即可得出， 由三角形的面积公式即可得出， 由正弦函数的单调性即可求出面积的最大值。
23.【答案】 （1）解：由 ， 可得 ，
则 即 ，所以 或 ，
解得： 或
故不等式 的解集为 或 ，

（2）证明：由题意即证，
因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
当且仅当 即 ， 时，等号成立，
所以
故 成立.
【解析】【分析】（1）由题意可得  ，解不等式 即可求解；
（2）由题可得需证 利用绝对值三角不等式可得。