陕西省渭南市富平县2022届高三下学期理数二模试卷

这是一份陕西省渭南市富平县2022届高三下学期理数二模试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三下学期理数二模试卷
一、单选题
1.已知复数z满足 ，其中i为虚数单位，则z的虚部是（    ）
A. 3                                           B. 3i                                           C. 2                                           D. 2i
2.已知集合 ， ，则 的元素个数为（    ）
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
3.函数 的图象大致为（   ）
A.            B. 
C.            D. 
4.学校组织开展劳动实践，高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院､消防队等场所劳动服务.经统计，该15名学生的劳动服务时长平均为20小时，标准差为s后来经核实，发现统计的甲､乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为20小时，被误统计为15小时；乙同学的劳动服务时长实际为18小时，被误统计为23小时.更正后重新计算，得到标准差为 ，则s与 的大小关系为（    ）
A.                                   B.                                   C.                                   D. 无法判断
5.下列函数中，周期为π，且在区间 上单调递增的是（    ）
A.                           B.                           C.                           D. 
6.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （    ）
A. 20                                         B. 30                                         C. 40                                         D. 50



7.已知双曲线 的渐近线与圆 相切，则 （    ）
A. 3                                         B.                                          C.                                          D. 



8.已知数列 的前n项和为 ， ，则当 取最小值时，n的值为（    ）
A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 8
9.近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国!某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属.若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为（    ）(参考数据： )
A. 11                                         B. 12                                         C. 13                                         D. 14
10.已知函数 ，给出三个条件：① ；② ；③ .从中选出一个能使数列 成等比数列的条件，在这个条件下，数列 的前 项和 （    ）
A.                              B.                              C.                              D. 
11.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意思是：把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2：1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（    ）


A. 4π                                      B. 3π                                      C.                                       D. 
12.若函数 满足 ，且 时， ，已知函数 则函数 在区间 内的零点个数为（    ）
A. 14                                         B. 13                                         C. 12                                         D. 11
二、填空题
13.已知平面向量 ， ， ，则       .
14.2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有      种.
15.已知F是抛物线 的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则 周长的最小值为      .
16.在空间中，给出下面四个命题，其中真命题的个数为      .
①过平面 外的两点，有且只有一个平面与平面 垂直；
②若平面 内有不共线三点到平面 的距离都相等，则 ；
③若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.
三、解答题
17.如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， .

（1）.求 的大小；
（2）.求BC的长.
18.中国探月工程自2004年批准立项以来，聚焦“自主创新､重点跨越､支撑发展､引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.

附： ，其中 .

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
（1）.完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？

关注
没关注
合计
男生



女生



合计



（2）.若将频率视为概率，现从该中学高三女生中随机抽取2人.记被抽取的2名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
19.如图，在三棱锥 中， 平面ABC， ， ，点E，F分别是AB，AD的中点.

（1）.求证： 平面BCD；
（2）.设 ，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值
20.已知点 为椭圆 （ ）上任一点，椭圆的一个焦点坐标为 ．
（1）.求椭圆的标准方程；
（2）.若点 是抛物线 的准线上的任意一点，以 为直径的圆过原点 ，试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
21.已知函数 ， .
（1）.记 ，试讨论函数 的单调性；
（2）.若曲线 与曲线 在 处的切线都过点（0，1）.求证：当 时， .
22.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 .
（1）.求曲线 ､直线 的直角坐标方程；
（2）.若直线 过点 且与直线 平行，直线 交曲线 于 ， 两点，求 的值.
23.已知函数 ，且 的最小值为2．
（1）.求m的值；
（2）.若 均为正数，且 ，求证： ．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】由题意知 .
虚部为3，
故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
2.【答案】 B
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因此 的元素个数为3.
故答案为：B

【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此得出集合B然后由交集的定义即可得出答案。
3.【答案】 B
【解析】【解答】因为 的定义域为 ，且 ，故 为偶函数，
排除C，D，验算特值 ，排除A,
故答案为：B
【分析】根据解析式求得函数奇偶性，以及 即可容易求得结果.
4.【答案】 C
【解析】【解答】由于甲同学的劳动服务时长实际为20小时，被误统计为15小时，
乙同学的劳动服务时长实际为18小时，被误统计为23小时，所以平均时长不变，
设20名学生的平均时长为 ，
用 分别表示甲乙两名学生原来错误的服务时长，用 分别表示甲乙两名学生正确的服务时长， 分别表示余下18名学生的劳动服务时长，
所以 ，
，
所以只比较 与 即可，
因为 ，
所以 ， .
故答案为：C.

【分析】 根据题意首先判断两次统计的平均数情况，然后再利用标准差的计算公式进行比较即可.
5.【答案】 A
【解析】【解答】A， ， ，
由余弦函数的单调递增区间可得 ，
解得 ，当 时， ，A符合题意；
B， ， ，
由正弦函数的单调递增区间可得 ，
解得 ，显然在区间 上不单调，B不符合题意；
C， ， ，C不符合题意；
D，当 时， ，当 时， ，所以周期不是 ，D不符合题意；
故答案为：A

【分析】根据题意由周期公式以及正弦函和余弦函数的单调性，对选项逐一判断即可得出答案。
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列，
，
，
解得 ．
故答案为：B．

【分析】 由等差数列的性质得， ， 也成等差数列，由此能求出  。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：由 ，得 ，所以圆心为 ，半径为1，
双曲线 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 的渐近线与圆 相切，
所以 ，化简得 ，解得 或 （舍去），
故答案为：C

【分析】 由双曲线方程求得其一条渐近线方程，根据圆的方程求得圆心与半径，由题意可得：圆心到渐近线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，即可求得
a的值.
8.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意，数列 中， ，
当 时，有 ，当 时，有 ，
则当 时， 最小，
故答案为：B

【分析】由已知条件结合n的取值范围，即可得出数列项的性质，结合数列前n项和公式由二次函数的性质即可求出最小值。
9.【答案】 D
【解析】【解答】设废水中最原始的该重金属含量为 ，则经过 次该装置过滤后，该重金属含量为 ，根据题意知 ，即 ，两边取常用对数得 .
所以 取最小整数为14.
故答案为：D.

【分析】根据题意即可得出方程=， 由指对互化公式整理即可得出由对数的运算性质整理计算出结果即可。
10.【答案】 D
【解析】【解答】已知函数 ，定义域为 .
若选①，则 ， ， 不是常数，则 不是等比数列；
若选②，则 ， ， 不是常数，则 不是等比数列；
若选③，则 ， ， 是常数，
则 是以 为首项，以3为公比的等比数列，则 .
故答案为：D.

【分析】 根据题意直接利用已知条件和选项判断出只有②符合等比数列，进一步求出通项公式，再求出数列的和的公式.
11.【答案】 D
【解析】【解答】根据几何体的三视图知，该“阳马”是底面对角线长为 的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即 ，
球体积为 ，

故答案为：D

【分析】 根据三视图得出四棱锥的结构特征，根据阳马与长方体的关系计算长方体的棱长，得出外接 球的半径，再把数值代入到体积公式计算出结果即可。
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：因为 ，所以函数 是周期为2函数，
因为 时， ，所以作出它的图象，则 的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数 的图象，

容易得出到交点为12个．
故答案为：C．

【分析】由已知条件结合周期公式即可得出函数的周期值，结合对数函数和指数函数的图象，再由题意作出函数的图象，利用零点的定义由数形结合法即可得出答案。
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
代入数据可得： ，解得 ，
故答案为： .

【分析】由数量积的运算性质整理化简即可得出， 由此得出答案。
14.【答案】 120
【解析】【解答】根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，
在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有 种安排方法，
则有 种不同的安排方法，
故答案为：120.

【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
15.【答案】
【解析】【解答】 的焦点坐标为 ,求 周长的最小值，即求 的最小值，

设点 在准线上的射影为 ，
根据抛物线的定义，可知
因此， 的最小值，即 的最小值
根据平面几何知识，可得当 ， ， 三点共线时 最小，
因此的最小值为 ，
，所以 周长的最小值为 ，
故答案为： ．

【分析】根据题意由抛物线的定义整理即可得出， 结合已知条件即可得出可得当 ， ， 三点共线时 最小，结合两点间的距离计算出答案。
16.【答案】 0
【解析】【解答】对于①中，当平面 外两点的连线与平面 垂直时，此时过两点有无数个平面与平面 垂直，所以①不正确；
对于②中，只有当不共线的三点在平面 的同侧时，才能得到 ，所以②不正确；
对于③中，只有直线 与平面内的任意直线垂直时，才能得到 ，所以③不正确；
对于④中，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确，
综上可得，正确命题的个数为0个.
故答案为：0

【分析】由空间里直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。
三、解答题
17.【答案】 （1）解：由正弦定理，得 ,即 .
所以 ， 则 故 .

（2）解：由（1）可知 ，所以 .
由余弦定理，得 ，
所以 .
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理代入数值计算出， 结合三角形的几何性质以及正弦函数的单调性即可得出角的大小关系，由此即可得出答案。
(2)由(1)的结论即可求出， 然后由余弦定理代入数值计算出BC的值即可。
 
 
18.【答案】 （1）解：由题意，根据等高条形图中的数据，
可得：女性40人中，其中 人关注，28人不关注；
男性60人中，其中 人关注，30人不关注；
所以可得如下的 的列联表：

关注
没关注
合计
男生
30
30
60
女生
12
28
40
合计
42
58
100
所以 ，
所以有95%的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”.

（2）解：因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为 ，
又因为随机变量 ，所以随机变量 的分布列为：

0
1
2
 
 


所以 .
【解析】【分析】 (1)利用已知条件填写列联表，由此计算出k2的值，再和标准值进行比较，由此得出结果即可.
(2)求出随机选一高三女生的概率，得到， 写出X的分布列，然后求解出期望值即可.
 
 
19.【答案】 （1）解：因为 平面ABC， 平面ABC，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 平面BCD；

（2）解：因为 平面ABC， 平面ABC，
所以 ，
所以 两两垂直，所以以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ，则 ,

因为点E，F分别是AB，AD的中点,所以 ,
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，令 ，则 ，
直线AD与平面CEF所成角为 ，则
，
所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值为
【解析】【分析】 (1)证明AC⊥CD，AC⊥CB.然后证明AC⊥平面BCD.
(2)根据题意以点C为坐标原点，分别以直线CB，CD，CA为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz.求出平面CEF的法向量，设直线AD与平面CEF所成角为， 利用空间向量的数量积求解直线AD与平面CEF所成角的正弦值即可.
20.【答案】 （1）解：因为椭圆 的一个焦点坐标为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
所以椭圆 的标准方程为 ；

（2）解：由（1）知抛物线 的标准方程为 ，其准线方程为： ，
设 ， ，
因为以 为直径的圆过原点，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 为定值，且定值为1．
【解析】【分析】 (1)利用已知求出c的值，再根据椭圆方程即可求出m的值，由此求解；
(2)根据(1)求出抛物线方程以及准线方程，设出点P，Q的坐标，根据已知求出OP⊥OQ，然后根据向量运算求出点P，Q的坐标的关系式，然后求出1，化简求出结果即可。
 
 
21.【答案】 （1）解： ， ，
记 ，
当 时， ， 在 单调递增，
当 时， ，
有异号的两根 ， ，
∴ ， ， ， 在 单调递减，
， ， ， 在 单调递减，

（2）解：∵ ， ，
∴ ， 在 处的切线方程为 ，过点 得： ，
， 在 处的切线方程为 ，过点 得： ，
∴ ， ，
要证： ，即证： ，
即证： ，
构造函数 ，则 ，
∵ 时， ，
∴ 时， ， 在 单调递减，
∴ 时， ， 在 单调递增，
∴ ，故原不等式成立．
【解析】【分析】 (1)根据题意求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性求出函数的极值点即可；
(2)首先求出函数的导数，计算出f ， (1)和g ， (1)的值，由此即可求出切线方程，求出a，b的值，从而求出f(x)，g(x)的解析式，问题转化为证明， 构造函数求出函数的导数，根据函数的单调性即可得出由此证明出结论。
 
 
22.【答案】 （1）解：因为 ， ， ，
所以由 可得 ，
所以曲线 的直角坐标方程为： ，
由 可得： ，
即 ，所以直线 的直角坐标方程为： ，

（2）解：直线 的的斜率为-1，所以倾斜角为 ，
所以过点 且与直线 平行的直线 的方程为 （ 为参数），
代入 可得 ，
整理可得： ，
所以 ，
所以 的值为2.
【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
 
 
23.【答案】 （1）解：因为 ，
所以 ，
所以 或 ．
又 ，所以 ．

（2）解：因为 均为正数，所以 ， ，
所以 ，
又 ，所以
（当且仅当 时等号成立）．
【解析】【分析】 (1)利用绝对值三角不等式，推出， 然由已知条件即可得到求解出m的值即可.
(2)通过柯西不等式求解表达式的最值，即可证明不等式.