湖北省金太阳百校联考2021-2022学年高三上学期数学10月月考试卷

这是一份湖北省金太阳百校联考2021-2022学年高三上学期数学10月月考试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.如图所示的复古时钟显示的时刻为10:10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A. B. C. D.
3.若函数 的定义域为 ，且 ， ， ， ，则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
4.将函数 （ ）的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若 为偶函数，则 （ ）
A. 5 B. C. 4 D.
5.已知命题 ： ， ， ，则 为（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
6.函数 在 上的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知点 为角 终边上一点， ，且 ，则 （ ）
A. 2 B. 2± C. 1 D. ±1
二、多选题
9.关于充分必要条件，下列判断正确的有（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. “ ”是“ ， ， 成等比数列”的充分不必要条件
C. “ 的图象经过点 ”是“ 是幂函数”的必要不充分条件
D. “直线 与 平行”是“直线 与 的倾斜角相等”的充要条件
10.血压（bldpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压 或舒张压 ，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时， ），他的血压 （ ）与经过的时间 （ ）满足关系式 ，则（ ）
A. 函数 的最小正周期为6 B. 当天早晨7点时李华的血压为
C. 当天李华有高血压 D. 当天李华的收缩压与舒张压之差为
11.已知函数 的定义域为 ， ， ，当 时， ，则（ ）
A. B. 的图象关于直线 对称
C. 当 时， D. 函数 有4个零点
12.若 存在，则称 为二元函数 在点 处对 的偏导数，记为 ；若 存在，则称 为一元函数 在点 处对 的偏导数，记为 ，已知二元函数 （ ， ），则（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题
13.函数 的图象在点 处的切线方程为 .
14.设集合 ， 或 ，若 ，则 的取值范围是 .
15.设函数 关于 的方程 有四个实根 ， ， ， ，则 的最小值为 .
16.已知函数 ，则 的最小值为 ， 图象的一条对称轴方程可以是 .
四、解答题
17.已知 .
（1）.求 的值；
（2）.求 值.
18.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 与 的长度之和为6米， ，现要给三棱锥 的侧面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升.
（1）.设 米，三棱锥 的侧面共需要油漆 升，试写出 关于 的函数表达式；
（2）.刷油漆需要请油漆工来完成，工费按照每平方米10元计算，若油漆工工费及油漆费用的总预算为400元，试问最后油漆工工费及油漆费用是否有可能会超预算？说明你的理由.
19.已知函数 的部分图象如图所示.
（1）.求 的解析式；
（2）.把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，证明： 在 上有最大值的充要条件是 .
20.已知函数 .
（1）.讨论 在 上的单调性；
（2）.若曲线 的一条切线的斜率为 ，证明：这条切线与曲线 只有一个公共点.
21.已知函数 （ 且 ）经过定点 ，函数 （ 且 ）的图象经过点 .
（1）.求函数 的定义域与值域；
（2）.若函数 在 上有两个零点，求 的取值范围.
22.已知函数 .
（1）.若 ，求 的取值范围；
（2）.若 ，证明： .
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】 ， ，
.
故答案为：D.

【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合M，再由并集的定义结合不等式的性质即可得出答案。
2.【答案】 B
【解析】【解答】表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为 ；
当时针指向10，分针指向2时，时针与分针夹角为 ；
但当分针指向2时，时针由10向11移动了 ；
该时刻的时针与分针所夹钝角为 .
故答案为：B.

【分析】利用圆心角公式结合时钟旋转的特点，计算出结果即可。
3.【答案】 D
【解析】【解答】由题意可知： 为定义在 上的增函数，
对于A， 的定义域为 ，A不符合题意；
对于B， 在 上单调递减，B不符合题意；
对于C， 与 均为 上的增函数，则 为 上的减函数，C不符合题意；
对于D， 为 上的增函数， 为 上的减函数，则 为 上的增函数，D符合题意.
故答案为：D.

【分析】首先由已知条件即可得出函数的单调性，再由对数函数、二次函数以及指数函数的单调性，结合复合函数的单调性，对选项逐一判断即可得出答案。
4.【答案】 C
【解析】【解答】由题意可知 ，
因为 为偶函数，所以 （ ），则 （ ），
因为 ，所以 .
故答案为：C.

【分析】首先由函数平移的性质即可得出函数g(x)的解析式，再由偶函数的定义即可求出， 结合计算出结果即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】根据全称命题与特称命题的否定可知： ： ， ， .
故答案为：A.

【分析】利用全称命题的否定是特称命题结合不等式的性质，由题意即可得出答案。
6.【答案】 D
【解析】【解答】设 ，则 ，且 ，则 为奇函数，故排除A与B，
因为 ，
所以在区间 上有4个零点，故排除C，从而选D.
故答案为：D.

【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除A、B，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项C，由此得到答案。
7.【答案】 A
【解析】【解答】因为 ， ，
故 ，
故答案为：A.

【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简，再由对数函数的单调性即可比较出答案。
8.【答案】 C
【解析】【解答】因为点 在角 的终边上，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，解得 .
故答案为：C.

【分析】首先由任意角的三角函数的定义代入数值计算出， 然后由二倍角的余弦公式结合同角三角函数的基本关系式，整理即可得出， 计算出m的值。
二、多选题
9.【答案】 B,C
【解析】【解答】因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以A不符合题意；
因为 （ ， ， 均大于0），所以“ ”是“ ， ， 成等比数列”的充分不必要条件，所以B符合题意；
幂函数的图象都经过点 ，反之不成立，比如： ，所以C符合题意；
若直线 与 平行，则直线 与 的倾斜角相等；若直线 与 的倾斜角相等，则直线 与 平行或重合，所以D不符合题意.
故答案为：BC.

【分析】由不等式的简单性质结合充分和必要条件的定义即可判断出选项A错误；由对数的运算性质结合等比数列的项的性质，由充分和必要的定义即可判断出选项B正确；由图象点的坐标代入求出幂函数的解析式，再由充分和必要条件的定义即可判断出选项C正确；再由两条直线平行的斜率之间的关系即可推出倾斜角的大小，然后由充要条件的定义即可判断出选项D错误，由此即可得出答案。
10.【答案】 B,C,D
【解析】【解答】因为 ，所以 ；
当 时， ，所以当天早晨7点时李华的血压为 ；
因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以李华的收缩压为 ，舒张压为 ，因此李华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为 .
故答案为：BCD.

【分析】根据题意由正弦函数的周期公式计算出结果，再由周期公式计算出， 再由特殊点法代入计算出， 由此得出当天早晨7点时李华的血压，再由正弦函数的单调性计算出函数的最值，由此得出当天李华的收缩压与舒张压之差 ，从而得出答案。
11.【答案】 A,C,D
【解析】【解答】对于A， ， ，
，即 ，
，即 是以4为周期的周期函数，
，A符合题意；
对于B， ， 图象关于点 对称，B不符合题意；
对于C，当 时， ， .
的图象关于点 对称， 的定义域为 ， .
，满足 ，
当 时， ，C符合题意；
对于D，由 得： ，
的值域为 ，则由 得： ，
作出 ， 的部分图象，如图所示，
由图可知，它们有4个交点，故函数 有4个零点，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】首先由已知条件整理函数的解析式，由此得出函数的周期值，再由二次函数的图象即可判断出选项B错误；由图象的对称性结合已知条件即可得出选项C正确；由已知条件即可得出函数的图象，路数形结合法以及零点与方程根的情况，由此即可得出选项D正确，由此即可得出答案。
12.【答案】 A,B,D
【解析】【解答】因为 （ ， ），
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
因为 ，
所以当 时， 取得最小值，且最小值为 ，
，
令 （ ）， ，
当 时， ，当 时， ，
故 ，
从而当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故答案为：ABD.

【分析】 首先对函数求导由一头扎进结合偏导数的运算性质整理化简即可得出的最小值，再由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数g(x)的最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13.【答案】 3x-y+1=0
【解析】【解答】由题意得： ， ，又 ，
所求切线方程为： ，即3x-y+1=0.
故答案为：3x-y+1=0.

【分析】根据题意对函数求导，再把点的坐标代入到导函数的解析式，计算出切线的斜率，再由点斜式求出直线的方程。
14.【答案】 [-2,-1]
【解析】【解答】 或 ，
因为 或 ，所以 ，
若 ，则 ，解得 .
所以 的取值范围是[-2,-1]，
故答案为：[-2,-1].

【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合A再由已知条件， 即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
15.【答案】 10
【解析】【解答】作出函数 的大致图象，如图所示：
当 时， 对称轴为 ，所以 ，
若关于 的方程 有四个实根 ， ， ， ，
则 ，
由 ，
得 或 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，
即 时，等号成立，
故 的最小值为10.
故答案为：10.

【分析】根据题意由二次函数和对数函数的图象作出函数f(x)的分段函数的图象，然后由数形结合法结合方程根的情况即可得出， 再由对数的运算性质整理即可得到， 整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值。
16.【答案】 ；（答案不唯一，满足 即可）
【解析】【解答】 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ；
令 ，解得： .
当 时， 图象的一条对称轴方程是 .
故答案为： ； （答案不唯一，满足 即可）.

【分析】首先由二倍角的余弦公式结合同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，整理化简即可得出函数的解析式，再由正弦函数的单调性即可求出函数的最值，然后由正弦公式的图象对k赋值计算出结果即可。
四、解答题
17.【答案】 （1）解：因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以
（2）解：因为 ，
所以
【解析】【分析】(1)首先由诱导公式整理化简即可得出， 再由二倍角的正切公式代入数值计算出结果即可。
(2)由二倍角的正、余弦公式以及同角三角函数的基本关系式化简整理，代入数值计算出结果即可。


18.【答案】 （1）解：因为 平面 ，所以 ， ，
由题意得 ， ， ，
，
，
，
则
（ ）
（2）解：设油漆工工费及油漆的费用之和为 元，
则 ，
当 时，取得最大值，且最大值为405.
因为 ，所以最后有可能会超预算.
【解析】【分析】(1)首先由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，结合题意设出， 由三角形的面积公式整理即可得到关于x的方程，由此即可得出函数的解析式。
(2)由(1)的结论结合题意即可得出油漆工工费及油漆的费用 的函数的解析式，再由二次函数的性质即可求出最大值，从而得出答案。

19.【答案】 （1）解：由图象可知： ，则 ，解得： .
将点 代入 得： ，
， .
的解析式为
（2）证明：依题意可得 .
先证充分性：当 时， ，
， ， 必有解，
从而 在 上有最大值.，即充分性成立.
再证必要性： 在 上有最大值，且当 时， ，
所以 ，又 ， ，必要性成立.
综上所述： 在 上有最大值的充要条件是 .
【解析】【分析】(1)由已知的图象即可求出函数的周期，然后由周期公式计算出， 再由特殊点代入法计算出， 由此得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数平移的性质整理即可得出函数g(x)的解析式，再由角的取值范围结合正弦函数的单调性即可求出函数的最值，由已知条件即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。


20.【答案】 （1）解： .
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得： ；令 ，解得： .
在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：由 得： ，
这条切线与曲线 的切点为 ，
这条切线的方程为 ，即 .
联立 得： .
， ，解得： .
这条切线与曲线 只有一个公共点.
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，结合a的取值范围即可得出导函数的性质，由此即可得出函数的单调性。
(2)根据题意对函数求导，再把点的坐标代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，由点斜式求出直线的方程，再联立直线与曲线的方程，整理化简计算出x的值，由此即可得出结论。



21.【答案】 （1）解：令 ，解得： ， ，
将点 的坐标代入 得： ，解得： ， ，
由 得： ， 的定义域为 .
， 的值域为 .
（2）解：由（1）可知： .
设 ，则 ，
为关于 的单调递增函数， 在 上有两个零点等价于函数 在 上有两个零点.
①当 时，由 得： ， 有一个零点，则 不合题意.
②当 时， ，解得： .
③当 时， ，不等式组无解.
综上所述： 的取值范围为 .
【解析】【分析】(1)由幂函数的解析式计算出点A的坐标，再把点的坐标代入到函数的解析式求出a的值，由此得出函数的解析式，再由整体思想结合指数函数的单调性即可求出函数的值域。
(2)由(1)的结论即可得出函数g(x)的解析式，整理令化简得出关于t的方程，然后由二次函数根的情况结合零点的定义即可得出关于的不等式组，求解出 的取值范围 。


22.【答案】 （1）解：因为 ，所以 对 恒成立.
设函数 ，则 .
令函数 ，因为 在 上单调递减，且 .
所以当 时， ，则 ；当 时， ，则 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，故 的取值范围为 .
（2）证明：由 ，得 ，
即 ，整理得 .
令 ，设函数 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .因为 ，所以 .
因为方程组 无解，所以 中的等号不成立，
所以 .
【解析】【分析】(1)由分离参数法得到构造函数， 对函数求导由对函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可得出a的取值范围。
(2)根据题意整理化简即可得出令， 构造函数， 结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得出即， 结合已知条件即可得出无解，从而得出 中的等号不成立， 由此即可得证出结论。