2020-2021学年河南省许昌市某校高二（上）12月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省许昌市某校高二（上）12月月考数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知q：∃x∈1,3，2x2−3x<1，则¬q为（ ）
A.∀x∉1,3,2x2−3x≥1B.∀x∈1,3,2x2−3x≥1
C.∃x∉1,3,2x2−3x≥1D.∃x∈1,3,2x2−3x≥1

2. 已知a>b>c，则（ ）
A.ab>acB.a2>b2C.a+b>a+cD.a−b>b−c

3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinA=13，则sinB=( )
A.23B.73C.26D.346

4. “x∈Z”是“x∈Q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 在等差数列an中，a2+a5=10，a3+a6=14，则a5+a8=（ ）
A.12B.22C.24D.34

6. 已知方程x23+m+y2m−5=1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A.−3,+∞B.5,+∞
C.−3,5D.−∞,−3∪5,+∞

7. 与椭圆x210+y26=1有相同焦点的曲线方程是（ ）
A.x26+y210=1B.x220+y214=1
C.x214−y210=1D.x2−3y2=3

8. 已知A地与C地的距离是4千米，B地与C地的距离是3千米，A地在C地的西北方向上，B地在C地的西偏南15∘方向上，则A，B两地之间的距离是（ ）
A.13千米B.13千米C.37千米D.37千米

9. 下列结论正确的是（ ）
A.在△ABC中，“A是钝角”是“△ABC是钝角三角形”的必要不充分条件
B.“∃a>0，关于x的方程x2+x+a=0有两个不相等的实数根”是真命题
C.“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题
D.若p是真命题，则¬p可能是真命题

10. 已知抛物线y2=8x的焦点为F，P为该抛物线上的一动点，A6,3为平面上的一定点，则|PA|+|PF|的最小值为( )
A.8B.10C.12D.14

11. 已知等比数列an共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列an的所有项之和是（ ）
A.30B.60C.90D.120

12. 已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，
△PF1F2内切圆的圆心为I，现有下列结论：
①△PF1F2内切圆的圆心必在直线x=a上；
②△PF1F2内切圆的圆心必在直线x=b上；
③双曲线C的离心率等于S△IF1F2S△PIF1−S△PIF2；
④双曲线C的离心率等于S△IF1F2S△PIF1+S△PIF2．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
二、填空题

已知x，y满足约束条件x+y≤5,2x−y+2≥0y≥0,，则z=2x+3y的最大值是________．

设正项等比数列an的前n项和为Sn，a1=3，且S2020=2a2020−3，则数列an的公比q=________.

已知m>0，n>0，且m+n=t（t为常数）．若3m+1+3n+1的最小值为2，则t=________.

过抛物线y2=4x的焦点作两条垂直的弦AB，CD，则|AB|3−12|CD|的最小值为________.
三、解答题

设Sn为等差数列an的前n项和，a5=−7，S5=−55．
(1)求an的通项公式；

(2)求Sn的最小值及对应的n值．

(1)求经过点P−6,22,Q2,1且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程；
(2)求与双曲线x22−y2=1有公共的渐近线，且过点2,2的双曲线的标准方程．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinB=bcsA+1.
(1)证明：△ABC是直角三角形；

(2)若D为BC的中点，且AD=6，求△ABC面积的最大值．

某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本fx万元，fx=5x2+50x+500,0(1)求出利润gx（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；

(2)当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．

已知曲线C上每一点到直线l:x=−32的距离比它到点F12,0的距离大1.
(1)求曲线C的方程；

(2)若曲线C上存在不同的两点P和Q关于直线l:x−y−2=0对称，求线段PQ中点的坐标．

设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A，直线l过点B1,0且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)直线l′过点A且与点E的轨迹交于M，N两点，O为坐标原点，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON面积的最大值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省许昌市某校高二（上）12月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
无
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题．
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
不等式比较两数大小
不等式的概念与应用
【解析】

【解答】
解：因为b>c，所以a+b>a+c，C正确．A，B，D用特值法易证均错误．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：因为a=2b，所以ba=22．
由正弦定理可得asinA=bsinB，
则sinB=bsinAa=22×13=26．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】

【解答】
解：当x∈Z时，x∈Q成立，
当x∈Q时，x∈Z不一定成立，
即“x∈Z”是“x∈Q”的充分不必要条件．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
【解析】

【解答】
解：设数列an的公差为d，
则d=a3+a6−a2+a52=14−102=2，
故a5+a8=a2+a5+6d=10+6×2=22．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：由3+mm−5<0，解得−3故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：椭圆x210+y26=1的焦点在x轴上，且a2=10，b2=6，
所以c2=a2−b2=10−6=4，所以椭圆的焦点坐标为±2,0．
A选项，其焦点在y轴上；
B选项，其焦点在x轴上，且c2=20−14=6，故其焦点坐标为±6,0；
C选项，其焦点在x轴上，且c2=14+10=24，故其焦点坐标为±26,0；
D选项，双曲线方程x2−3y2=3⇒x23−y2=1，其焦点在x轴上，且c2=3+1=4，故其焦点坐标为±2,0．
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
解三角形
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：如图，
由题意可得AC=4千米，BC=3千米，∠ACB=45∘+15∘=60∘，
则AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs∠ACB
=16+9−2×4×3×12=13．
故AB=13千米．
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：由“A是钝角”可以得到“△ABC是钝角三角形”，
但是“△ABC是钝角三角形”不一定得到“A是钝角”，A错误；
当Δ=1−4a>0，即a<14时，
关于x的方程x2+x+a=0有两个不相等的实数根，B正确；
菱形的对角线不一定相等，C错误；
命题与命题的否定一定是一真一假，D错误．
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
抛物线的求解
抛物线的性质
【解析】
无
【解答】
解：抛物线的准线方程为x=−2，焦点为F2,0．
如图，过A点向准线作垂线，垂足为B．
结合抛物线的定义可知|PA|+|PF|≥|AB|=8．
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
等比数列的前n项和
【解析】
无
【解答】
解：设等比数列an的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，
则S2S1=q=3,S1+60=S2,解得S1=30，S2=90，故数列an的所有项之和是30+90=120．
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
双曲线的定义
【解析】
无
【解答】
解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A，B，与F1F2切于点N，如图，
则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1N|，|F2B|=|F2N|．
又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|−|PF2|=2a.
又|PF1|=|PA|+|AF1|，|PF2|=|PB|+|BF2|，
所以|PF1|−|PF2|=|PA|+|AF1|−|PB|+|BF2|
=|AF1|−|BF2|=2a，
故|F1N|−|F2N|=2a．
设点N的坐标为x,0，可得(x+c)−(c−x)=2a，解得x=a，
所以△PF1F1的内切圆必经过点a,0，显然内切圆的圆心与点N的连线垂直于x轴，
所以△PF1F2内切圆的圆心必在直线x=a上，故①正确．
又S△IF1F2S△PIF1−S△PIF2=2c2a=e，所以③正确．
故选A．
二、填空题
【答案】
14
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
无
【解答】
解：画出可行域如图，
由x+y=5,2x−y+2=0,，可得A(1,4)，
平移直线y=−23x可知，
当直线z=2x+3y经过点1,4时，z取得最大值，且最大值是14．
故答案为：14.
【答案】
2
【考点】
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】

【解答】
解：当q=1时，S2020=2020a1=2020a2020≠2a2020−3，
所以q=1不符合题意；
当q≠1时，S2020=3(1−q2020)1−q=2a2020−3=2⋅3q2019−3，
所以1−q20201−q=2q2019−1，
所以q2020−2q2019−q+2=0，
即(q2019−1)(q−2)=0，
解得q=2，
综上，q=2，
故答案为：2．
【答案】
4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为m+n=t，
所以m+1+n+1=t+2，
所以3m+1+3n+1
=1t+2m+1+n+13m+1+3n+1
=1t+23m+1n+1+3n+1m+1+6.
因为3m+1n+1+3n+1m+1≥2×3=6，当且仅当m=n时，等号成立，
所以3m+1+3n+1≥12t+2=2，
解得t=4．
故答案为：4.
【答案】
1
【考点】
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
直线与抛物线结合的最值问题
基本不等式
【解析】
无
【解答】
解：由抛物线y2=4x，可知2p=4，设直线AB的倾斜角为θ，则直线CD的倾斜角为π2+θ，
过焦点的弦|AB|=2ρsin2θ，|CD|=2ρsin2π2+θ=2pcs2θ，
所以1|AB|+1|CD|=sin2θ2p+cs2θ2p=14．
|AB|3−12|CD|=|AB|3+12|AB|−3≥24−3=1，当且仅当|AB|=6时，取得最小值．
故答案为：1.
三、解答题
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d．
由题意可得a5=a1+4d=−7，S5=5a1+10d=−55，
解得a1=−15，d=2．
故an=a1+n−1d=2n−17．
(2)由(1)可得Sn=na1+nn−12d=n2−16n．
因为Sn=n−82−64，所以当n=8时，
Sn取得最小值，最小值为S8=−64 ．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d．
由题意可得a5=a1+4d=−7，S5=5a1+10d=−55，
解得a1=−15，d=2．
故an=a1+n−1d=2n−17．
(2)由(1)可得Sn=na1+nn−12d=n2−16n．
因为Sn=n−82−64，所以当n=8时，
Sn取得最小值，最小值为S8=−64 ．
【答案】
解：(1)依题意，设椭圆的方程为Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）．
因为椭圆过P−6,22，Q2,1两点，
所以6A+12B=1,4A+B=1,解得 A=18,B=12,
因此，该椭圆的标准方程为x28+y22=1．
(2)设所求双曲线的方程为x22−y2=t（t≠0），
将点2,2代入双曲线方程，可得t=−1，
因此，所求双曲线的标准方程为y2−x22=1．
【考点】
椭圆的准线方程
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)依题意，设椭圆的方程为Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）．
因为椭圆过P−6,22，Q2,1两点，
所以6A+12B=1,4A+B=1,解得 A=18,B=12,
因此，该椭圆的标准方程为x28+y22=1．
(2)设所求双曲线的方程为x22−y2=t（t≠0），
将点2,2代入双曲线方程，可得t=−1，
因此，所求双曲线的标准方程为y2−x22=1．
【答案】
(1)证明：因为asinB=bcsA+1，
所以sinAsinB=sinBcsA+1．
因为0所以sinA=csA+1，
所以sinA−csA=1，即2sinA−π4=1，
所以sinA−π4=22.
因为0所以A−π4=π4，
故A=π2，即△ABC是直角三角形．
(2)解：因为A=π2，且AD=6，
所以a=12，所以b2+c2=a2=144．
因为b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时等号成立），
所以2bc≤144，即bc≤72，
故△ABC的面积S=12bc≤36，即△ABC面积的最大值为36．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
三角形的形状判断
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】


【解答】
(1)证明：因为asinB=bcsA+1，
所以sinAsinB=sinBcsA+1．
因为0所以sinA=csA+1，
所以sinA−csA=1，即2sinA−π4=1，
所以sinA−π4=22.
因为0所以A−π4=π4，
故A=π2，即△ABC是直角三角形．
(2)解：因为A=π2，且AD=6，
所以a=12，所以b2+c2=a2=144．
因为b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时等号成立），
所以2bc≤144，即bc≤72，
故△ABC的面积S=12bc≤36，即△ABC面积的最大值为36．
【答案】
解：(1)由题意可知，
当0g(x)=300x−5x2−50x−500−1000=−5x2+250x−1500；
当x≥40，100x∈N时，
gx=300x−301x−2500x+3000−1000=2000−x+2500x．
综上，gx=−5x2+250x−1500,0(2)当0gx=−5x2+250x−1500=−5x−252+1625，
且当x=25时，gx取得最大值1625；
当x≥40，100x∈N时，
gx=2000−x+2500x≤1900，
当且仅当x=50时，gx取得最大值1900．
综上，当x=50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
【考点】
分段函数的解析式求法及其图象的作法
函数解析式的求解及常用方法
函数最值的应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】


【解答】
解：(1)由题意可知，
当0g(x)=300x−5x2−50x−500−1000=−5x2+250x−1500；
当x≥40，100x∈N时，
gx=300x−301x−2500x+3000−1000=2000−x+2500x．
综上，gx=−5x2+250x−1500,0(2)当0gx=−5x2+250x−1500=−5x−252+1625，
且当x=25时，gx取得最大值1625；
当x≥40，100x∈N时，
gx=2000−x+2500x≤1900，
当且仅当x=50时，gx取得最大值1900．
综上，当x=50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
【答案】
解：(1)因为曲线C上每一点到直线x=−12的距离
等于该点到点F12,0的距离，
所以曲线C是顶点在原点，x轴为对称轴，
F12,0为焦点的抛物线，
所以曲线C的轨迹方程为y2=2x．
(2)设Px1,y1，Qx2,y2，
线段PQ的中点M的坐标为(x0，y0).
因为点P和Q关于直线l对称，
所以直线l垂直平分线段PQ，
所以直线PQ的斜率为−1.
设其方程为y=−x+b，
由y=−x+b,y=2x,消去x，整理得y2+2y−2b=0，
由题意，y1≠y2，
从而Δ=4−4×1×(−2b)=8b+4>0①，
所以y1+y2=−2，
所以y0=y1+y22=−1．
又因为M(x0，y0)在直线l上，
所以x0=1，
所以点M的坐标为(1,−1)，
此时b=0，满足①式．
故线段PQ的中点M的坐标为1,−1．
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】


【解答】
解：(1)因为曲线C上每一点到直线x=−12的距离
等于该点到点F12,0的距离，
所以曲线C是顶点在原点，x轴为对称轴，
F12,0为焦点的抛物线，
所以曲线C的轨迹方程为y2=2x．
(2)设Px1,y1，Qx2,y2，
线段PQ的中点M的坐标为(x0，y0).
因为点P和Q关于直线l对称，
所以直线l垂直平分线段PQ，
所以直线PQ的斜率为−1.
设其方程为y=−x+b，
由y=−x+b,y=2x,消去x，整理得y2+2y−2b=0，
由题意，y1≠y2，
从而Δ=4−4×1×(−2b)=8b+4>0①，
所以y1+y2=−2，
所以y0=y1+y22=−1．
又因为M(x0，y0)在直线l上，
所以x0=1，
所以点M的坐标为(1,−1)，
此时b=0，满足①式．
故线段PQ的中点M的坐标为1,−1．
【答案】
解：(1)∵ x2+y2+2x−15=0，
整理，得x+12+y2=16，
∴ 点A的坐标为−1,0，如图，
∵BE//AC，
∴△ADC∼△EDB，
∴EBAC=EDAD.
又∵ |AC|=|AD|，
∴|EB|=|ED|，
∴|EA|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4，
∴ 点E的轨迹为一个除去点±2,0的椭圆，
∴ 点E的轨迹方程为x24+y23=1y≠0．
(2)△MON的面积存在最大值．
因为直线l′过点A，可设直线l′的方程为x=my−1或y=0（舍去），
则3x2+4y2=12,x=my−1,整理得3m2+4y2−6my−9=0，
Δ=6m2+363m2+4=144m2+1>0．
设点Mx1,y1，Nx2,y2，则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
则|y1−y2|=y1+y22−4y1y2
=6m3m2+42−4×−93m2+4
=12m2+13m2+4，
所以S△MON=12|OA|⋅|y1−y2|
=12×1×12m2+13m2+4=6m2+13m2+4．
设t=m2+1≥1，则m2=t2−1，则S△MON=6t3t2−1+4=63t2+1=63t+1t．
设gt=3t+1t，易知它在区间[1,+∞)上为增函数，所以gtmin=g1=4，
所以S△MON≤32，当且仅当m=0时取等号，
因此，△MON面积的最大值为32．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
轨迹方程
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】

无
【解答】
解：(1)∵ x2+y2+2x−15=0，
整理，得x+12+y2=16，
∴ 点A的坐标为−1,0，如图，
∵BE//AC，
∴△ADC∼△EDB，
∴EBAC=EDAD.
又∵ |AC|=|AD|，
∴|EB|=|ED|，
∴|EA|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4，
∴ 点E的轨迹为一个除去点±2,0的椭圆，
∴ 点E的轨迹方程为x24+y23=1y≠0．
(2)△MON的面积存在最大值．
因为直线l′过点A，可设直线l′的方程为x=my−1或y=0（舍去），
则3x2+4y2=12,x=my−1,整理得3m2+4y2−6my−9=0，
Δ=6m2+363m2+4=144m2+1>0．
设点Mx1,y1，Nx2,y2，则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
则|y1−y2|=y1+y22−4y1y2
=6m3m2+42−4×−93m2+4
=12m2+13m2+4，
所以S△MON=12|OA|⋅|y1−y2|
=12×1×12m2+13m2+4=6m2+13m2+4．
设t=m2+1≥1，则m2=t2−1，则S△MON=6t3t2−1+4=63t2+1=63t+1t．
设gt=3t+1t，易知它在区间[1,+∞)上为增函数，所以gtmin=g1=4，
所以S△MON≤32，当且仅当m=0时取等号，
因此，△MON面积的最大值为32．