2020-2021学年浙江省温州市某校高二（上）8月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年浙江省温州市某校高二（上）8月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知全集U={−1,0,1,2,3}，A={0,1}，B={1,2,3}，则∁UA∩B=( )
A.{1}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{−1,0,2,3}

2. 函数f(x)=lg2(3−x)的定义域为( )
A.(−∞,3)B.(−∞,1)∪(1,3)
C.(3,+∞)D.(−∞,2)∪(2,3)

3. 若aA.aba2D.1a>1b

4. 要得到函数y=sin2x+π3的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向右平移π6个单位B.向左平移π6个单位
C.向右平移π3个单位D.向左平移π3个单位

5. 已知两个单位向量a→，b→满足2a→+3b→=7，则a→与b→的夹角是( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

6. 数列{an}中，a3=5，a7=2，若4an−1(n∈N*)是等比数列，则a5=( )
A.−1或3B.−1C.3D.10

7. 若关于x的不等式|x+2|+|x−a|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A.[−3,−1]B.(−∞,−3]∪[−1,+∞)
C.[1,3]D.(−∞,1]∪[3,+∞)

8. 函数f(x)=sinx|x|的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.

9. 已知函数f(x)=12x−1,x≤0,−x2+2x,x>0.若f(f(t))+3≥0，则实数t的取值范围是( )
A.[3,+∞)B.(−∞,−2]C.(−∞,3]D.[−2,+∞)

10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinC=asinA+(b−a)sinB，csAcsB>ba，则( )
A.a二、填空题

若幂函数f(x)=xα经过点(3,9)，则α=________．

已知a→=(1,2)，b→=(−1,1)，则a→⋅b→=________，|a→+2b→|=________．

已知角α的终边经过点P(−3,4)，则tanα=________，sin2α=________．

若实数lg3a=blg23=1，则a=________，ab=________．

已知a>0，b>0，a+b=4，则ab的最大值是________，1a+4b的最小值是________．

已知函数f(x)=x|x|，则不等式f(2x−1)≥9的解集是________．

设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，若存在常数λ，使得a2n=λan(n∈N*)恒成立，则910nSn取最大值时，n=________．
三、解答题

已知集合M={x|(x−t)(x+1)≤0}，N={x||x−2|<1}．
(1)当t=2时，求M∪N；

(2)若N⊆M，求实数t的取值范围．

设函数f(x)=3sin2x−2cs2x．
(1)求f(0)的值及函数f(x)的最小正周期；

(2)当x∈0,π2时，求函数f(x)的值域．

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m→=(b,3)，n→=(−sinC,a−ccsB)，m→⊥n→．
(1)求角C的大小；

(2)若c=23，AB边上的中线CD长为5，求△ABC的面积．

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，6Sn=3nan+1−2n(n+1)(n+2)，n∈N*，记bn=ann．
(1)求证：{bn}为等差数列，并求bn；

(2)若cn=2n−1bn，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．

设a，b∈R，已知函数f(x)=|ax2+bx−2|．
(1)若a>0，b=a−2，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若对任意b∈12,2，x∈1,1a时，不等式f(x)≤2x恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年浙江省温州市某校高二（上）8月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
根据补集的运算得到∁UA=−1,2,3，再根据交集的运算即可得解.
【解答】
解：∵ U=−1,0,1,2,3，A=0,1，B=1,2,3，
∴ ∁UA=−1,2,3，
∴ ∁UA∩B=2,3.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
对数函数的定义域
【解析】
根据解析式为对数型函数，只要真数大于零即可.
【解答】
解：要使函数有意义，只需3−x>0，
解得x<3，
所以函数的定义域为−∞, 3.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的性质将各个选项进行逐一分析求解即可.
【解答】
解：A，∵ a∴ ab>b2，故A错误；
B，∵ a∴ a2>ab>b2，故B错误；
C，∵ a∴ a2>ab，故C错误；
D，∵ a∴ 1a−1b=b−aab>0，1a>1b，故D正确.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
y=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，根据平移规律：左加右减可得答案．
【解答】
解：y=sin2x+π3=sin2x+π6，
故要得到y=2sin2x+π3的图象，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由2a→+3b→=7得出2a→+3b→2=7，求出cs=−12，即可求出结果.
【解答】
解：因为两个单位向量a→，b→满足2a→+3b→=7，
所以2a→+3b→2=7，
所以4a→2+12a→⋅b→+9b→2=7，
即4+12cs+9=7，
所以cs=−12.
因为∈0,π，
所以=23π.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
等比中项
等比数列的性质
【解析】
利用4a5−12=4a3−1⋅4a7−1=4，求出4a5−1=±2，即可求出结果.
【解答】
解：因为a3=5，a7=2，
所以4a3−1=1，4a7−1=4.
因为数列4an−1是等比数列，
所以4a5−12=4a3−1⋅4a7−1=4，
所以4a5−1=2，4a5−1=−2(不合题意，舍去)，
所以a5=3.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
原问题等价于fxmin≥1,结合三角不等式求解即可.
【解答】
解：关于x的不等式|x+2|+|x−a|≥1的解集为R，
可设fx=|x+2|+|x−a|，可得fx≥1在R上恒成立，
由fx=|x+2|+|x−a|≥|x+2−x−a|=|2+a|，
当且仅当x+2x−a≤0时上式取得等号，
则|2+a|≥1 ，
解得a≥−1或a≤−3.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】
函数fx=sinxx为奇函数，排除B，D；利用特值排除C可得结果.
【解答】
解：f(−x)=sin(−x)|−x|=−sinx|x|=−f(x)，
所以函数fx=sinxx为奇函数，
即图象关于原点对称，故排除BD；
又当x→∞时，f(x)→0，故排除C.
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
其他不等式的解法
分段函数的应用
【解析】
由题意，首先画出函数图象，设ft=a，由fa≥−3得到a≤3，即ft≤3，结合函数图像得到，只要解12t−1≤3即可.
【解答】
解：函数图象如图所示：
设ft=a，
f(f(t))+3≥0，则fa≥−3，
由函数图象得到a≤3，
即ft≤3，
由函数图象得到，12t−1≤3，
解得t≥−2.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
两角和与差的正弦公式
两角和与差的余弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
根据
【解答】
解：∵ csinC=asinA+b−asinB，
由正弦定理得，c2=a2+b−ab，
∴ a2+b2−c2=ab，
由余弦定理得，csC=a2+b2−c22ab=12．
∵ C∈(0,π)，
∴ C=π3，
∴ A+B=2π3.
∵ csAcsB>ba>0，
∴ csAcsB>sinBsinA，且csA>0，csB>0，
即sin2A>sin2B，
∴ sin4π3−2B>sin2B，
整理得cs2B−π6<0，
∴ π2<2B−π6<3π2，
∴ π3∴ A=π−B−C<π3，
∴ Ac>a.
故选A.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
函数经过某点，即某点的坐标可以代入函数的解析式中.
【解答】
解：把点3,9代入幂函数fx=xα中，得3α=9，
所以α=2.
故答案为：2.
【答案】
1,17
【考点】
平面向量数量积
向量的模
【解析】
根据向量的数量积计算即可.
【解答】
解：∵ a→=1,2，b→=−1,1，
∴ a→⋅b→=1×−1+2×1=1.
∵ |a→|2=12+22=5，|b→|2=−12+12=2，
∴ |a→+2b→|2=|a→|2+4a→⋅b→+|2b→|2
=5+4×1+4×2
=17，
∴ |a→+2b→|=17.
故答案为：1；17.
【答案】
−43,−2425
【考点】
二倍角的正弦公式
任意角的三角函数
【解析】
根据任意角的三角函数的定义，根据已知求出角a的余弦、正弦值．由角α的终边经过点 (−3,4)，分别求出角α的正弦、余弦、再求tanα,sin2a，即可得到答案．
【解答】
解：∵ 角α的终边经过点−3,4 ，
∴ sinα=45，csα=−35，
∴ tanα=sinαcsα=−43，
sin2α=2sinαcsα=−2425.
故答案为：−43；−2425.
【答案】
3,2
【考点】
对数的运算性质
指数式与对数式的互化
对数及其运算
【解析】
先由lg33=1求得a，再利用blg23=1，求出b，再利用3lg32=2，求得ab.
【解答】
解：∵lg3a=1，
∴a=3.
又blg23=1，
∴b=1lg23=lg32，
∴ab=3lg32=2.
故答案为：3；2.
【答案】
4,94
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
【解答】
解：因为a>0，b>0，a+b=4，
所以a+b≥2ab，当且仅当a=b=2时，等号成立，
所以ab≤2，ab≤4.
因为a>0，b>0，a+b=4，
所以1a+4b=14a+b1a+4b=145+ba+4ab≥145+2ba⋅4ab=94，
当且仅当b=2a，即a=43，b=83时等号成立，
所以1a+4b的最小值是94.
故答案为：4；94.
【答案】
[2,+∞)
【考点】
分段函数的应用
函数单调性的性质
函数的图象
【解析】
先确定分段函数解析式，再画出图象判断出函数的单调性，利用函数的单调性解不等式
【解答】
解：由函数f(x)=x|x|得：
f(x)=x2,x>0,0,x=0,−x2,x<0.
画出函数图象如图所示：
结合图象可知，函数f(x)为R上的增函数，
f(2x−1)≥9=f(3)，
所以2x−1≥3，
解得x≥2.
故答案为：[2,+∞).
【答案】
18或19
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列与一次函数的关系
【解析】
由题意求出等差数列的通项和前n项和，再利用函数的单调性进行求解即可.
【解答】
解：由题意可得：a2=2λ，a4=λa2=2λ2，
设等差数列an的公差为d(d≠0)，
则2+d=2λ，2+3d=2λ2，
解得λ=2，d=2，
故an=2+(n−1)×2=2n，
Sn=n2+2n2=nn+1.
设fn=910nSn=910nnn+1，n∈N*,
则fn+1=910n+1Sn+1=910n+1(n+1)n+2，n∈N*,
则fn+1−fn=910nn+1910n+2−n
=910nn+195−n10，
当n∈N*且n<18时，fn+1>fn；
当n∈N*且n=18时，f19=f18；
当n∈N*且n>18时，fn+1故当n=18或19时，fn=910nSn=910nnn+1，n∈N*取得最大值.
故答案为：18或19.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵N={x||x−2|<1}，
∴N=(1,3).
当t=2时，M=−1,2，
∴M∪N=−1,3.
(2)∵N⊆M，
∴t≥3，
∴t的取值范围是3,+∞.
【考点】
绝对值不等式
一元二次不等式的解法
并集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】


【解答】
解：(1)∵N={x||x−2|<1}，
∴N=(1,3).
当t=2时，M=−1,2，
∴M∪N=−1,3.
(2)∵N⊆M，
∴t≥3，
∴t的取值范围是3,+∞.
【答案】
解：(1)f(x)=3sin2x−2cs2x
=3sin2x−(1+cs2x)
=3sin2x−cs2x−1
=232sin2x−12cs2x−1
=2sin2x−π6−1，
∴f(0)=−2，
T=2π2=π．
(2)∵x∈0,π2，
∴2x−π6∈−π6,56π，
∴sin2x−π6∈−12,1，
∴f(x)=2sin2x−π6−1∈[−2,1]，
∴f(x)的值域为[−2,1]．
【考点】
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
正弦函数的周期性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f(x)=3sin2x−2cs2x
=3sin2x−(1+cs2x)
=3sin2x−cs2x−1
=232sin2x−12cs2x−1
=2sin2x−π6−1，
∴f(0)=−2，
T=2π2=π．
(2)∵x∈0,π2，
∴2x−π6∈−π6,56π，
∴sin2x−π6∈−12,1，
∴f(x)=2sin2x−π6−1∈[−2,1]，
∴f(x)的值域为[−2,1]．
【答案】
解：(1)∵m→⊥n→，
∴m→⋅n→=0，
即−bsinC+3(a−ccsB)=0，
∴3sinA=sinBsinC+3sinCcsB，
∴3sin(B+C)=sinBsinC+3sinCcsB，
∴3sinBcsC+3csBsinC
=sinBsinC+3sinCcsB，
∴3sinBcsC=sinBsinC.
∵在△ABC中，sinB≠0，
∴3csC=sinC，即tanC=3.
∵C∈(0,π)，
∴C=π3．
(2)∵c2=a2+b2−2abcsC，
且C=π3，c=23，
∴12=a2+b2−ab①.
∵D为AB中点，
∴2CD→=CA→+CB→，
∴4CD→2=CA→2+CB→2+2CA→⋅CB→，
即20=a2+b2+ab②，
∴由①②得，ab=4，
∴S△ABC=12absinC=3，
∴△ABC的面积为3．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角形的面积公式
解三角形
余弦定理
正弦定理
平面向量数量积
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)∵m→⊥n→，
∴m→⋅n→=0，
即−bsinC+3(a−ccsB)=0，
∴3sinA=sinBsinC+3sinCcsB，
∴3sin(B+C)=sinBsinC+3sinCcsB，
∴3sinBcsC+3csBsinC
=sinBsinC+3sinCcsB，
∴3sinBcsC=sinBsinC.
∵在△ABC中，sinB≠0，
∴3csC=sinC，即tanC=3.
∵C∈(0,π)，
∴C=π3．
(2)∵c2=a2+b2−2abcsC，
且C=π3，c=23，
∴12=a2+b2−ab①.
∵D为AB中点，
∴2CD→=CA→+CB→，
∴4CD→2=CA→2+CB→2+2CA→⋅CB→，
即20=a2+b2+ab②，
∴由①②得，ab=4，
∴S△ABC=12absinC=3，
∴△ABC的面积为3．
【答案】
(1)证明：当n=1时，6S1=3a2−2×1×2×3，
∴ a2=8；
当n≥2时， 6Sn=3nan+1−2nn+1n+2，
6Sn−1=3n−1an−2n−1nn+1，
∴ 6an=3nan+1−3n−1an−2nn+1n+2+2n−1nn+1，
∴ 6an=3nan+1−3n−1an−2nn+1n+2−n+1，
∴ nan+1−n+1an=2nn+1，
∴ an+1n+1−ann=2，即bn+1−bn=2 .
∵ a22−a11=b2−b1=2，符合上式，
∴ bn是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴ bn=2+n−1×2=2n.
(2)解：cn=2n−1⋅2n=n⋅2n，
Tn=1×21+2×22+⋯+n⋅2n，
2Tn=1×22+2×23+⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1，
∴ −Tn=1×21+22+⋯+2n−n⋅2n+1
=21−2n1−2−n⋅2n+1
=1−n2n+1−2，
∴ Tn=2+n−1⋅2n+1.
【考点】
数列的求和
数列递推式
等差关系的确定
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：当n=1时，6S1=3a2−2×1×2×3，
∴ a2=8；
当n≥2时， 6Sn=3nan+1−2nn+1n+2，
6Sn−1=3n−1an−2n−1nn+1，
∴ 6an=3nan+1−3n−1an−2nn+1n+2+2n−1nn+1，
∴ 6an=3nan+1−3n−1an−2nn+1n+2−n+1，
∴ nan+1−n+1an=2nn+1，
∴ an+1n+1−ann=2，即bn+1−bn=2 .
∵ a22−a11=b2−b1=2，符合上式，
∴ bn是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴ bn=2+n−1×2=2n.
(2)解：cn=2n−1⋅2n=n⋅2n，
Tn=1×21+2×22+⋯+n⋅2n，
2Tn=1×22+2×23+⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1，
∴ −Tn=1×21+22+⋯+2n−n⋅2n+1
=21−2n1−2−n⋅2n+1
=1−n2n+1−2，
∴ Tn=2+n−1⋅2n+1.
【答案】
解：(1)∵ b=a−2，a>0，
∴ f(x)=|ax2+(a−2)x−2|
=|(x+1)(ax−2)|，
此时−1<2a，对称轴为x=2−a2a，
∴ fx的单调递增区间为−1,2−a2a和2a,+∞.
(2)∵ x∈1,1a，
∴ 1<1a，即a∈0,1.
∵ fx≤2x恒成立，
∴ |ax2+bx−2|≤2x，
即−2≤ax−2x+b≤2，
∴ −ax+2x−2≤b≤−ax+2x+2，
令y1=−ax+2x−2 ，
则y1=−ax+2x−2在x∈1,1a上单调递减，
∴ y1max=−a≤12，即a≥−12.
令y2=−ax+2x+2，
则y2=−ax+2x+2在x∈1,1a上单调递减，
∴ y2min=2a+1>2，即a≥12.
∵ a∈0,1，
∴ a∈12,1.
【考点】
函数恒成立问题
函数单调性的判断与证明
函数的单调性及单调区间
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ b=a−2，a>0，
∴ f(x)=|ax2+(a−2)x−2|
=|(x+1)(ax−2)|，
此时−1<2a，对称轴为x=2−a2a，
∴ fx的单调递增区间为−1,2−a2a和2a,+∞.
(2)∵ x∈1,1a，
∴ 1<1a，即a∈0,1.
∵ fx≤2x恒成立，
∴ |ax2+bx−2|≤2x，
即−2≤ax−2x+b≤2，
∴ −ax+2x−2≤b≤−ax+2x+2，
令y1=−ax+2x−2 ，
则y1=−ax+2x−2在x∈1,1a上单调递减，
∴ y1max=−a≤12，即a≥−12.
令y2=−ax+2x+2，
则y2=−ax+2x+2在x∈1,1a上单调递减，
∴ y2min=2a+1>2，即a≥12.
∵ a∈0,1，
∴ a∈12,1.