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2020-2021学年河北省衡水市某校高二(上)11月月考数学试卷人教A版
展开1. 若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限,则系数A,B,C需满足条件( )
A.A,B,C同号B.AC<0,BC<0
C.C=0,AB<0D.A=0,BC<0
2. 过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为( )
A.6B.2C.2D.不确定
3. 关于x,y的方程a2−a−2x+2−ay+5=0是直线的方程,则( )
A.a=2B.a=−1C.a≠2D.a≠1
4. 圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是( )
A.相离B.相切C.相交D.内含
5. 如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,则( )
A.D=0,E=0,F≠0B.E=0,F=0,D≠0
C.D=0,F=0,E≠0D.F=0,D≠0,E≠0
6. 直线3x+4y−2=0与直线6x+8y−5=0间的距离是( )
A.3B.7C.110D.12
7. 平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y−5=0
B.2x+y+5=0或2x+y−5=0
C.2x−y+5=0或2x−y−5=0
D.2x−y+5=0或2x−y−5=0
8. 若方程x2+y2−x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( )
A.m<12B.m<0C.m>12D.m≤12
9. 已知圆C与直线x−y=0及x−y−4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
A.x+12+y−12=2B.x−12+y+12=2
C.x−12+y−12=2D.x+12+y+12=2
10. 经过点A−2,2并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程是( )
A.x+2y−2=0或x+2y+2=0
B.x+2y+2=0或2x+y+2=0
C.2x+y−2=0 或 x+2y+2=0
D.2x+y+2=0或x+2y−2=0
11. 过点P(4, 2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是( )
A.(x−2)2+(y−1)2=5B.(x−4)2+(y−2)2=20
C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20
12. 使得方程16−x2−x−m=0有实数解,则实数m的取值范围为( )
A.−42≤m≤42B.−4≤m≤42C.−4≤m≤4D.4≤m≤42
二、填空题
过点(3, 1)作圆(x−2)2+(y−2)2=4的弦,其中最短的弦长为________.
过点1,2,倾斜角是120∘的直线方程的点斜式是________.
过点A0,1与B4,0的直线l1与过点4,1,3,k+1的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k为________.
已知圆C过点(1, 0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x−1被该圆所截得的弦长为22,则圆C的标准方程为________.
三、解答题
(1)直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R).若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(2)已知A(−2, 4),B(4, 0),且AB是圆C的直径,求圆C的标准方程.
一光线从M−3,1发出,经x轴反射后,射到y轴上,再经y轴反射后,反射光线的斜率为−12.求光线与x轴交点的坐标.
已知圆x2+y2−4ax+2ay+20(a−1)=0.
(1)求证:对任意实数a,该圆恒过一定点;
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.
直线y=−33x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC,如果在第一象限内有一点P(m,12)使得△ABP和△ABC的面积相等,求m的值.
已知圆C:x2+y2−2x+4y−4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
已知点P(2, 0)及圆C:x2+y2−6x+4y+4=0.
(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;
(2)设过点P的直线l1与圆C交于M,N两点,当|MN|=4时,求以线段MN为直径的圆Q的方程;
(3)设直线ax−y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市某校高二(上)11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
化直线的一般式方程为斜截式,由直线通过二、三、四象限可得直线的斜率小于0,在y轴上的截距小于0,从而得到A,B,C同号.
【解答】
解:由Ax+By+C=0,得y=−ABx−CB,
∵ 直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限,
∴ −AB<0,−CB<0,,则A,B,C同号.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
两点间的距离公式
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行,可得b−a5−4=1,即b−a=1.再利用两点之间的距离公式即可得出.
【解答】
解:∵ 过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行,
∴ b−a5−4=1,
∴ b−a=1.
∴ |AB|=(5−4)2+(b−a)2=1+1=2.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程
【解析】
无
【解答】
解:由题意知a2−a−2和2−a不同时为0,
∴ a≠2.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
由题意可得两圆的圆心都为O(O, O),半径分别为r1=1,r2=2,从而得到它们的圆心间的距离小于半径之差的绝对值,所以两圆内含.
【解答】
解:∵ 圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的圆心都为O(0, 0),半径分别为r1=1,r2=2,
∴ 两圆的圆心间的距离等于d=0,而半径之差的绝对值|r1−r2|=1.
因此,d<|r1−r2|,可得两圆内含.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
圆的一般方程
【解析】
圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为:(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4.可得圆心(−D2,−E2),半径r=12D2+E2−4F.根据圆与x轴切于原点,即可得出.
【解答】
解:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为:
(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4.
圆心(−D2,−E2),半径r=12D2+E2−4F.
∵ 圆与x轴切于原点,
∴ −D2=0,F=0,−E2≠0,r>0,
解得D=F=0,E≠0.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
根据两直线平行的距离公式进行计算即可得到结论.
【解答】
解:直线3x+4y−2=0等价为6x+8y−4=0,
则直线6x+8y−4=0与6x+8y−5=0平行,
则根据平行直线的距离公式可得两直线的距离:
d=|−4−(−5)|62+82=110.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
圆的切线方程
点到直线的距离公式
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,即可求出直线方程.
【解答】
解:设所求直线方程为2x+y+b=0,
所以|b|5=5,所以b=±5,
所以所求直线方程为:2x+y+5=0或2x+y−5=0.
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
圆的标准方程
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m,此方程表示圆时,应有12−m>0,由此求得实数m的取值范围.
【解答】
解:方程x2+y2−x+y+m=0,
即(x−12)2+(y+12)2=12−m,
此方程表示圆时,应有12−m>0,
解得m<12.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:由圆心在直线x+y=0上,不妨设为Ca,−a,
∴ r=|a−−a|2=|a−−a−4|2,
解得a=1,r=2,∴ 圆C:x−12+y+12=2.
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
设直线在x轴、y轴上的截距分别是a,b,由三角形的面积可得ab=±2,设直线方程为xa+yb=1,根据直线过点 −2,2,求出a=−1b=−2,或a=2b=1,即可得解直线方程为2x+y−2=0或 x+2y−2=0.
【解答】
解:设直线在x轴、y轴上的截距分别是a,b,
则由S=12|a⋅b|=1,得ab=±2.
设直线方程为xa+yb=1,
∵ 直线过点 −2,2,
∴ −2a+2b=1,即b=2aa+2,
∴ ab=2a2a+2=±2,
解得a=−1,b=−2,或a=2,b=1,
∴ 直线l的方程为x−1+y−2=1或x2+y1=1,
即直线l的方程为2x+y+2=0或x+2y−2=0.
故选D.
11.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
由题意知OA⊥PA,BO⊥PB,四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上,此圆的直径是OP,△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆.
【解答】
解:由题意知,OA⊥PA,BO⊥PB,
∴ 四边形AOBP有一组对角都等于90∘,
∴ 四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上,此圆的直径是OP,
∵ OP的中点为(2, 1),OP=25,
∴ 四边形AOBP的外接圆的方程为 (x−2)2+(y−1)2=5,
∴ △AOB外接圆的方程为 (x−2)2+(y−1)2=5.
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
直线与圆的位置关系
【解析】
将原式化为16−x2=x+m,转化为y=16−x2与y=x+m函数图象有公共点时,确定m的范围.
【解答】
解:16−x2−x−m=0可化为
16−x2=x+m,即问题转化为y=16−x2与y=x+m有公共点.
做出函数图象:
容易算出当直线y=x+m与半圆相切时m=42,当直线过(4, 0)点时m=−4.
故m的范围是−4≤m≤42.
故选B.
二、填空题
【答案】
22
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
由圆的方程找出圆心与半径,判断得到(3, 1)在圆内,过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦,利用垂径定理及勾股定理即可求出.
【解答】
解:根据题意得:圆心(2, 2),半径r=2,
∵ (3−2)2+(1−2)2=2<2,
∴ 点(3, 1)在圆内.
∵ 圆心到此点的距离d=2,r=2,
∴ 最短的弦长为2r2−d2=22.
故答案为:22.
【答案】
y−2=−3x−1
【考点】
直线的点斜式方程
【解析】
无
【解答】
解:斜率是k=tan120∘=−3,所以直线方程是y−2=−3x−1.
故答案为:y−2=−3x−1.
【答案】
−4
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
无
【解答】
解:当围成四边形内接于一个圆时,l1⊥l2,
∴ k1⋅k2=−1,而k1=−14,∴ k2=4,
∴k+1−13−4=4,解得k=−4.
故答案为:−4.
【答案】
(x−3)2+y2=4
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
设圆心C的坐标为(a, 0),a>0,求得圆心到直线l:y=x−1的距离d的值,再根据半径r=|a−1|=(a−12)2+(2)2,解得a的值,可得圆心
坐标和半径,从而求得圆C的标准方程.
【解答】
解:设圆心C的坐标为(a, 0),a>0,
则圆心到直线l:y=x−1的距离为
d=|a−0−1|2=|a−1|2.
由于半径r=|a−1|=(a−12)2+(2)2,
解得a=3,或a=−1(舍去),
故圆C的圆心为(3, 0),半径为3−1=2,
故圆C的标准方程为(x−3)2+y2=4.
故答案为:(x−3)2+y2=4.
三、解答题
【答案】
解:(1)当a=−1时,直线化为y+3=0,不符合条件,应舍去;
当a≠−1时,分别令x=0,y=0,解得与坐标轴的交点(0, a−2),(a−2a+1, 0).
∵ 直线l在两坐标轴上的截距相等,
∴ a−2=a−2a+1,解得a=2或a=0.
(2)∵ A(−2, 4),B(4, 0),
∴ 线段AB的中点C坐标为(1, 2).
又∵ |AB|=(4+2)2+(0−4)2=213,
∴ 所求圆的半径r=12|AB|=13.
因此,以线段AB为直径的圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=13.
【考点】
直线的一般式方程
圆的标准方程
圆的一般方程
【解析】
(1)a=−1时,直接验证;当a≠−1时,分别令x=0,y=0,解得与坐标轴的交点(0, a−2),(a−2a+1, 0),根据直线l在两坐标轴上的截距相等即可得出a的值;
(2)根据中点坐标公式算出圆的圆心坐标,再由两点距离公式算出半径,即可得到所求圆的标准方程.
【解答】
解:(1)当a=−1时,直线化为y+3=0,不符合条件,应舍去;
当a≠−1时,分别令x=0,y=0,解得与坐标轴的交点(0, a−2),(a−2a+1, 0).
∵ 直线l在两坐标轴上的截距相等,
∴ a−2=a−2a+1,解得a=2或a=0.
(2)∵ A(−2, 4),B(4, 0),
∴ 线段AB的中点C坐标为(1, 2).
又∵ |AB|=(4+2)2+(0−4)2=213,
∴ 所求圆的半径r=12|AB|=13.
因此,以线段AB为直径的圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=13.
【答案】
解:设光线与x轴交点Aa,0,M点关于x轴对称点为M′(−3,−1),
则kM′A=1a+3.
又经y轴反射前后光线与y轴夹角相等,
∴ kM′A=12,即1a+3=12,∴ a=−1.
即光线与x轴的交点坐标为−1,0.
【考点】
直线的斜率
与直线关于点、直线对称的直线方程
直线的倾斜角
【解析】
无
【解答】
解:设光线与x轴交点Aa,0,M点关于x轴对称点为M′(−3,−1),
则kM′A=1a+3.
又经y轴反射前后光线与y轴夹角相等,
∴ kM′A=12,即1a+3=12,∴ a=−1.
即光线与x轴的交点坐标为−1,0.
【答案】
(1)证明:将圆的方程整理为:
(x2+y2−20)+a(−4x+2y+20)=0,
令x2+y2=20,−4x+2y+20=0,可得x=4,y=−2,
所以该圆恒过定点(4, −2).
(2)解:圆的方程可化为:
(x−2a)2+(y+a)2=5a2−20a+20=5(a−2)2,
所以圆心为(2a, −a),半径为5|a−2|.
若两圆外切,则5|a|=2+5|a−2|,
由此解得a=1+55.
若两圆内切,则5|a|=|2−5|a−2||,
由此解得a=1−55或a=1+55(舍去).
综上所述,两圆相切时,a=1−55或a=1+55.
【考点】
圆的综合应用
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
(1)将a分离,可得(x2+y2−20)+a(−4x+2y+20)=0,对任意实数a成立,则x2+y2=20−4x+2y+20=0,由此可得结论;
(2)利用两圆外切,内切,分别求出a的值,即可得到结论.
【解答】
(1)证明:将圆的方程整理为:
(x2+y2−20)+a(−4x+2y+20)=0,
令x2+y2=20,−4x+2y+20=0,可得x=4,y=−2,
所以该圆恒过定点(4, −2).
(2)解:圆的方程可化为:
(x−2a)2+(y+a)2=5a2−20a+20=5(a−2)2,
所以圆心为(2a, −a),半径为5|a−2|.
若两圆外切,则5|a|=2+5|a−2|,
由此解得a=1+55.
若两圆内切,则5|a|=|2−5|a−2||,
由此解得a=1−55或a=1+55(舍去).
综上所述,两圆相切时,a=1−55或a=1+55.
【答案】
解:由已知可得直线CP // AB,
设CP的方程为y=−33x+c(c>1),
∵ A(3,0),B(0, 1),
∴ AB的中点D(32,12),
∵ △ABC是等边三角形,∴ CD=3,
点D到直线CP的距离:
d=c−11+13=AB×32=3,c=3,
则CP的方程为y=−33x+3.
∵ CP过P(m,12),
∴ 12=−33m+3,
解得m=532.
【考点】
两条直线平行的判定
点到直线的距离公式
【解析】
先由已知条件得到CP // AB,设CP的方程为y=−33x+c,(c>1),先求出AB的中点D的坐标,由点到直线的距离公式求出点D到直线CP的距离,从而得到c的值,再把P(m,12)代入直线CP的方程,求出m的值.
【解答】
解:由已知可得直线CP // AB,
设CP的方程为y=−33x+c(c>1),
∵ A(3,0),B(0, 1),
∴ AB的中点D(32,12),
∵ △ABC是等边三角形,∴ CD=3,
点D到直线CP的距离:
d=c−11+13=AB×32=3,c=3,
则CP的方程为y=−33x+3.
∵ CP过P(m,12),
∴ 12=−33m+3,
解得m=532.
【答案】
解:圆C化成标准方程为(x−1)2+(y+2)2=9,
假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a, b).
∵ CM⊥l,即kCM⋅kl=b+2a−1×1=−1,
∴ b=−a−1,
∴ 直线l的方程为y−b=x−a,即x−y−2a−1=0,
∴ |CM|2=(|1+2−2a−1|2)2=2(1−a)2,
∴ |MB|2=|CB|2−|CM|2=−2a2+4a+7.
∵ |MB|=|OM|,
∴ −2a2+4a+7=a2+b2,得a=−1或32,
当a=32时,b=−52,此时直线l的方程为x−y−4=0,
当a=−1时,b=0,此时直线l的方程为x−y+1=0,
故这样的直线l是存在的,方程为x−y−4=0或x−y+1=0.
【考点】
点到直线的距离公式
圆的一般方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
将圆C化成标准方程,假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a, b).因为CM⊥l,则有kCM⋅kl=−1,表示出直线l的方程,从而求得圆心到直线的距离,再由:d2+(l2)2=r2求解.
【解答】
解:圆C化成标准方程为(x−1)2+(y+2)2=9,
假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a, b).
∵ CM⊥l,即kCM⋅kl=b+2a−1×1=−1,
∴ b=−a−1,
∴ 直线l的方程为y−b=x−a,即x−y−2a−1=0,
∴ |CM|2=(|1+2−2a−1|2)2=2(1−a)2,
∴ |MB|2=|CB|2−|CM|2=−2a2+4a+7.
∵ |MB|=|OM|,
∴ −2a2+4a+7=a2+b2,得a=−1或32,
当a=32时,b=−52,此时直线l的方程为x−y−4=0,
当a=−1时,b=0,此时直线l的方程为x−y+1=0,
故这样的直线l是存在的,方程为x−y−4=0或x−y+1=0.
【答案】
解:(1)设直线l的斜率为k(k存在)则方程为y−0=k(x−2),即kx−y−2k=0.
圆C:x2+y2−6x+4y+4=0可化为(x−3)2+(y+2)2=9,
∴ 圆C的圆心为(3, −2),半径r=3,
由|3k+2−2k|k2+1=1,解得k=−34.
所以直线方程为y=−34(x−2),即3x+4y−6=0;
当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.
(2)由P(2,0),C(3,−2),
可得|CP|=5,而弦心距d=5,
所以d=|CP|=5,所以P为MN的中点,
所以所求圆的圆心坐标为(2, 0),半径为12|MN|=2,
故以MN为直径的圆Q的方程为(x−2)2+y2=4.
(3)把直线ax−y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,
消去y,整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0.
由于直线ax−y+1=0交圆C于A,B两点,
故Δ=36(a−1)2−36(a2+1)>0,即−2a>0,解得a<0,
则实数a的取值范围是(−∞, 0).
设符合条件的实数a存在,
由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3, −2)必在l2上,
所以l2的斜率kPC=−2,
而kAB=a=−1kPC,
所以a=12.
由于12∉(−∞, 0),
故不存在实数a,使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB.
【考点】
直线与圆的位置关系
直线的点斜式方程
点到直线的距离公式
两点间的距离公式
圆的标准方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
(1)分两种情况:当直线l的斜率存在时,设出直线l的斜率为k,由P的坐标和设出的k写出直线l的方程,利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d,让d等于1列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,利用求出的k和P写出直线l的方程即可;当直线l的斜率不存在时,得到在线l的方程,经过验证符合题意;
(2)由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离,再根据弦长|MN|的一半及半径,利用勾股定理求出弦心距d,发现|CP|与d相等,所以得到P为MN的中点,所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标,半径为|MN|的一半,根据圆心和半径写出圆的方程即可;
(3)把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程,因为直线与圆有两个交点,所以得到△>0,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范围,利用反证法证明:假设符合条件的a存在,由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上,根据P与C的坐标即可求出l2的斜率,然后根据两直线垂直时斜率的乘积为−1,即可求出直线ax−y+1=0的斜率,进而求出a的值,经过判断求出a的值不在求出的范围中,所以假设错误,故这样的a不存在.
【解答】
解:(1)设直线l的斜率为k(k存在)则方程为y−0=k(x−2),即kx−y−2k=0.
圆C:x2+y2−6x+4y+4=0可化为(x−3)2+(y+2)2=9,
∴ 圆C的圆心为(3, −2),半径r=3,
由|3k+2−2k|k2+1=1,解得k=−34.
所以直线方程为y=−34(x−2),即3x+4y−6=0;
当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.
(2)由P(2,0),C(3,−2),
可得|CP|=5,而弦心距d=5,
所以d=|CP|=5,所以P为MN的中点,
所以所求圆的圆心坐标为(2, 0),半径为12|MN|=2,
故以MN为直径的圆Q的方程为(x−2)2+y2=4.
(3)把直线ax−y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,
消去y,整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0.
由于直线ax−y+1=0交圆C于A,B两点,
故Δ=36(a−1)2−36(a2+1)>0,即−2a>0,解得a<0,
则实数a的取值范围是(−∞, 0).
设符合条件的实数a存在,
由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3, −2)必在l2上,
所以l2的斜率kPC=−2,
而kAB=a=−1kPC,
所以a=12.
由于12∉(−∞, 0),
故不存在实数a,使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB.
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