2020-2021学年河北省霸州市某校高一（下）3月月考数学试卷人教A版（2019）

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这是一份2020-2021学年河北省霸州市某校高一（下）3月月考数学试卷人教A版（2019），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合 P=x|0A.x|x<3B.x|−1C.x|00

2. 命题“∀x∈0,π4，csx≥sinx”的否定是（）
A.∃x∉0,π4， csxB.∃x∈0,π4， csxC.∀x∉0,π4 ，csxD.∃x∈0,π4， csx≤sinx

3. 2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID−19(新冠肺炎)新冠肺炎，患者症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征．“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热、干咳、浑身乏力”的( )
已知该患者不是无症状感染者
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 函数y=e|x|⋅sinx的图像大致为( )
A.B.
C.D.

5. 若a=lg53，b=lg0.7，c=30.1，则( )
A.b
6. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据:2≈1.414，3≈1.732）( )

米米米米

7. 如图，在△ABC中，BN=14BC，设AB→=a→，AC→=b→，则AN→=( )

A.14a→−34b→B.34a→−14b→C.14a→+34b→D.34a→+14b→

8. 已知x>0，y>0，且x+3y−5xy=0，则3x+4y的最小值是( )
A.5B.6C.7D.8

9. 已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=4，且a→+b→⋅2a→−b→=−12，则a→，b→的夹角为( )
A.5π6B.2π3C.π3D.π6

10. 如果已知sinα⋅csα<0，sinα⋅tanα<0，那么角α2的终边在( )
A.第一或第二象限B.第一或第三象限
C.第二或第四象限D.第四或第三象限

11. 如图， AB=1，AC=3，∠A=90∘，CD→=2DB→，则AD→⋅AB→=( )

A.43B.1C.23D.13

12. 已知函数fx=sinωx−π6ω>0，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则下列四个结论中正确的是( )
A.函数fx的图象关于5π12,0中心对称
B.函数fx在区间−π2,0上单调递增
C.函数fx的图象关于直线x=−π8对称
D.函数fx在区间−π,π内有4个零点
二、填空题

若平面向量m→，n→满足|m→|=2，|n→|=3，且|3m→−2n→|=6，则m→与n→夹角的大小为________．
三、解答题

已知A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1或x<−6}.
(1)若A∩B=⌀，求a的取值范围；

(2)若A∪B=B，求a的取值范围．

已知|a→|=4，|b→|=3，(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=61.
(1)求a→与b→的夹角θ；

(2)若c→=ta→+(1−t)b→，且b→⋅c→=0，求t及|c→|．

定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x，y满足：f(xy)=f(x)+f(y)，且当0(1)求f(−1)及f(1)的值；

(2)求证：f(x)是偶函数.

已知sinx=45，x∈π2,π.
(1)求csx−π4的值；

(2)求sin2x+π3的值．

设函数fx=x2−2ax+3，a∈R.
(1)当x∈−1,1时，求函数fx的最小值ga的表达式；

(2)求函数ga的最大值．

已知函数fx=Asinωx+φ(A>0，ω>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示．

(1)求函数fx的解析式；

(2)若gx=fx+tt∈0,π为偶函数，求t的值；

(3)若hx=fx⋅fx−π6，x∈0,π4，求hx的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省霸州市某校高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
并集及其运算
【解析】
直接求并集即可.
【解答】
解：∵ P={x∣0∴ P∪Q={x∣−1故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
全称量词命题的否定
【解析】
利用全称量词命题的否定为特称量词命题进行求解即可.
【解答】
解：全称量词命题的否定为特称量词命题，
∴ 命题“∀x∈0,π4，csx≥sinx”的否定是∃x∈0,π4， csx故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：新冠肺炎患者症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征，充分性成立，
但有发热、干咳、浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，必要性不成立，
即为充分不必要条件．
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
利用函数的奇偶性，排除BC，再利用正负，排除A，即可得出答案.
【解答】
解：∵ y=fx=e|x|⋅sinx，x∈R，
则f−x=e|−x|⋅sin−x=−e|x|⋅sinx=−fx，
∴ f(x)为奇函数，故排除BC.
∵ 当x∈(0,π)，y>0，故排除A.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用对数函数和指数函数的性质求解即可比较大小．
【解答】
解：∵ a=lg53∈(0,1)，b=lg0.7<0， c=30.1>1，
则b故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
弧长公式
解三角形
【解析】
先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离．
【解答】
解：弓形所在的扇形如图所示，
则AB的长度为π2+π8=5π8，
故扇形的圆心角为5π854=π2，
故AB=2×54≈54×1.414=1.7675≈1.768.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
根据向量的加减法法则和平面向量基本定理可以解决.
【解答】
解：根据向量减法法则，可得：
BC→=AC→−AB→=b→−a→，
由BN=14BC，得BN→=14BC→=14b→−14a→，
由向量加减法则可得：
AN→=AB→+BN→=34a→+14b→.
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：因为x>0，y>0，且x+3y−5xy=0，
所以3x+4y=(3x+4y)35x+15y
=159+3xy+12yx+4≥1513+23xy⋅12yx=5，
当且仅当3xy=12yx即x=1,y=12,时取等号.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵|a→|=1，|b→|=4，
∴a→+b→⋅2a→−b→=2a→2+a→⋅b→−b→2
=2×12+a→⋅b→−42=−12，
解得a→⋅b→=2．
设a→，b→的夹角为θ，
∵|a→|=1，|b→|=4，
∴csθ=a→⋅b→|a→||b→|=21×4=12，
∴θ=π3.
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
三角函数值的符号
【解析】
sinα⋅csα<0，sinα⋅tanα<0，则sinα>0，csα<0，tanα<0，可得α在第二象限，进而得出结论．
【解答】
解：∵ sinα⋅csα<0，sinα⋅tanα<0，
∴ sinα>0，csα<0，tanα<0，
∴ α在第二象限，
∴ 2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈Z．
∴ kπ+π4<α2当k为偶数时，角α2的终边第一象限；
当k为奇数时，角α2的终边第三象限．
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
利用向量的三角形法则和数量积的定义即可得出．
【解答】
解：∵CD→=2DB→，
∴CD→=23CB→，
AD→=AC→+CD→
=AC→+23CB→
=AC→+23(AB→−AC→)
=23AB→+13AC→，
则AD→⋅AB→=23AB→+13AC→⋅AB→
=23|AB→|2+13AC→⋅AB→
=23×12+13×|AC→|⋅|AB→|⋅cs90∘
=23+0
=23.
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
正弦函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则函数fx的最小正周期为T=π，
可得ω=2πT=2，所以fx=sin2x−π6 .
A中，f5π12=sin2×5π12−π6=sin2π3=32≠0，A错误；
B中，当x∈−π2,0时，2x−π6∈−7π6,−π6，所以函数fx在区间−π2,0上不单调，B错误；
C中，f−π8=sin2×−π8−π6=sin−5π12≠±1，C错误；
D中，当x∈−π,π时，−13π6<2x−π6<11π6，当2x−π6=−2π或−π或0或π时，
即当x=−11π12或−5π12或π12或7π12时，sin2x−π6=0，D正确.
故选D .
二、填空题
【答案】
60∘
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
根据题意，由数量积的计算公式可得9m→2+4n→2−12m→⋅n→=36，将|m→|=2，|n→|=3代入可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设m→与n→夹角为θ，
|3m→−2n→|=6，
则9|m→|2+4|n→|2−12m→⋅n→=36，
又由平面向量m→，n→满足|m→|=2，|n→|=3，
则有72−72csθ=36，
解可得csθ=12.
又由0∘≤θ≤180∘，则θ=60∘．
故答案为：60∘．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1或x<−6}，
若A∩B=⌀，
则a≥−6，a+3≤1，
解得−6≤a≤−2，
即a的取值范围为[−6, −2].
(2)∵ A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1或x<−6}，
若A∪B=B，
则A⊆B，
则a+3<−6或a>1，
解得a<−9或a>1，
即a的取值范围为(−∞, −9)∪(1, +∞).
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
(1)根据A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1或x<−6}，A∩B=⌀，可知两个集合无公共元素，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得a的取值范围；
(2)根据A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1或x<−6}，A∪B=B，可知A的元素都是B的元素，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得a的取值范围.
【解答】
解：(1)∵ A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1或x<−6}，
若A∩B=⌀，
则a≥−6，a+3≤1，
解得−6≤a≤−2，
即a的取值范围为[−6, −2].
(2)∵ A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x>1或x<−6}，
若A∪B=B，
则A⊆B，
则a+3<−6或a>1，
解得a<−9或a>1，
即a的取值范围为(−∞, −9)∪(1, +∞).
【答案】
解：(1)由|a→|=4，|b→|=3，(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=61得
4|a→|2−4a→⋅b→−3|b→|2=61，
即4×42−4a→⋅b→−3×32=61，得a→⋅b→=−6，
∴ csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−64×3=−12.
∵ 0≤θ≤π，
∴ θ=2π3.
(2)∵ c→=ta→+(1−t)b→，
∴ b→⋅c→=b→⋅[ta→+(1−t)b→]
=ta→⋅b→+(1−t)|b→|2
=−15t+9=0，
∴ t=35，
则|c→|=c→2=(35a→+25b→)2
=925|a→|2+1225a→⋅b→+425|b→|2=635．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
平面向量数量积
【解析】
（1）直接展开数量积，代入已知向量的模求得a→与b→的夹角θ；
（2）由b→⋅c→=0列式求得t值，再由|c→|=c→2展开求得|c→|．

【解答】
解：(1)由|a→|=4，|b→|=3，(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=61得
4|a→|2−4a→⋅b→−3|b→|2=61，
即4×42−4a→⋅b→−3×32=61，得a→⋅b→=−6，
∴ csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−64×3=−12.
∵ 0≤θ≤π，
∴ θ=2π3.
(2)∵ c→=ta→+(1−t)b→，
∴ b→⋅c→=b→⋅[ta→+(1−t)b→]
=ta→⋅b→+(1−t)|b→|2
=−15t+9=0，
∴ t=35，
则|c→|=c→2=(35a→+25b→)2
=925|a→|2+1225a→⋅b→+425|b→|2=635．
【答案】
解：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，
则f(1)=f(1)+f(1)，
∴ f(1)=0，
再令x=y=−1，
则f(1)=f(−1)+f(−1)，
∴ f(−1)=0.
(2)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令y=−1，
则f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，
∴ f(−x)=f(x)，
∴ f(x)为偶函数.
【考点】
抽象函数及其应用
函数的求值
函数奇偶性的判断
【解析】
（1）分别令x=y=1，x=y=−1，求出f(1)和f(−1)的值；
（2）令x=x，y=−1，即可求出f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数
【解答】
解：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，
则f(1)=f(1)+f(1)，
∴ f(1)=0，
再令x=y=−1，
则f(1)=f(−1)+f(−1)，
∴ f(−1)=0.
(2)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令y=−1，
则f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，
∴ f(−x)=f(x)，
∴ f(x)为偶函数.
【答案】
解：1∵ sinx=45，x∈π2,π，
∴ csx=−1−sin2x=−1−452=−35，
∴ csx−π4=csxcsπ4+sinxsinπ4
=−35×22+45×22=210.
2由1知csx=−35，
∴ sin2x=2sinxcsx=2×45×−35=−2425，
cs2x=1−2sin2x=1−2×452=−725，
∴ sin2x+π3=sin2xcsπ3+cs2xsinπ3
=−2425×12+−725×32=−24+7350.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的余弦公式
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
【解析】
1利用同角三角函数的基本关系求得csx−π4的值，再利用两角和的余弦公式求得csx=csx−π4+π4的值．
2由csx的值，求得sinx的值，可得2x的余弦值和正弦值，从而求得sin2x−π3的值．
【解答】
解：1∵ sinx=45，x∈π2,π，
∴ csx=−1−sin2x=−1−452=−35，
∴ csx−π4=csxcsπ4+sinxsinπ4
=−35×22+45×22=210.
2由1知csx=−35，
∴ sin2x=2sinxcsx=2×45×−35=−2425，
cs2x=1−2sin2x=1−2×452=−725，
∴ sin2x+π3=sin2xcsπ3+cs2xsinπ3
=−2425×12+−725×32=−24+7350.
【答案】
解：1f(x)=(x−a)2+3−a2，对称轴x=a，
当a≤−1时，f(x)在[−1, 1]上是增函数，f(x)min=f(−1)=2a+4；
当a≥1时，f(x)在[−1, 1]上是减函数，f(x)min=f(1)=−2a+4；
当−1综上，f(x)在[−1, 1]上的最小值g(a)=2a+4，a≤−1，3−a2，−12 g(a)=2a+4，a≤−1，3−a2，−1当a≤−1时，g(a)在(−∞, −1]上是增函数，g(a)max=g(−1)=2×−1+4=2；
当a≥1时，g(a)在[1, +∞)上是减函数，g(a)max=g(1)=2；
当−1综上，g(a)max=3．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数最值的应用
【解析】
1求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性可得最小值；
2讨论a的范围，由一次函数和二次函数的单调性，即可得到最大值．
【解答】
解：1f(x)=(x−a)2+3−a2，对称轴x=a，
当a≤−1时，f(x)在[−1, 1]上是增函数，f(x)min=f(−1)=2a+4；
当a≥1时，f(x)在[−1, 1]上是减函数，f(x)min=f(1)=−2a+4；
当−1综上，f(x)在[−1, 1]上的最小值g(a)=2a+4，a≤−1，3−a2，−12 g(a)=2a+4，a≤−1，3−a2，−1当a≤−1时，g(a)在(−∞, −1]上是增函数，g(a)max=g(−1)=2×−1+4=2；
当a≥1时，g(a)在[1, +∞)上是减函数，g(a)max=g(1)=2；
当−1综上，g(a)max=3．
【答案】
解：1由题意得，A=3，34T=7π12−−π6=3π4，
故T=π，则ω=2ππ=2，
则f(x)=3sin(2x+φ)，将7π12,−3代入得，
3sin2×7π12+φ=−3，
所以2×7π12+φ=3π2+2kπ，k∈Z，
解得φ=π3+2kπ，k∈Z.
又0<φ<2π，
则φ=π3，
故f(x)=3sin2x+π3.
2由1得，f(x)=3sin2x+π3，
所以g(x)=f(x+t)=3sin2x+2t+π3.
由于gx为偶函数，
所以2t+π3=π2+kπ，k∈Z，
解得t=π12+kπ2，k∈Z.
由于t∈(0,π)，
所以t=π12或7π12.
3由题意得，
hx=3sin2x+π3⋅3sin2x−π6+π3
=312sin2x+32cs2x⋅sin2x
=32sin22x+332sin2xcs2x
=32×1−cs4x2+334sin4x
=32sin4x−π6+34，
由于x∈0,π4，4x−π6∈−π6,5π6，
则sin4x−π6∈−12,1，
则h(x)=32sin4x−π6+34∈0,94，
即函数hx的取值范围为0,94.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的对称性
奇偶函数图象的对称性
正弦函数的定义域和值域
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
【解析】
1直接利用图象，求出解析式即可；
2直接利用函数的奇偶性，即可得出答案；
3利用三角恒等变换，即可得出答案.
【解答】
解：1由题意得，A=3，34T=7π12−−π6=3π4，
故T=π，则ω=2ππ=2，
则f(x)=3sin(2x+φ)，将7π12,−3代入得，
3sin2×7π12+φ=−3，
所以2×7π12+φ=3π2+2kπ，k∈Z，
解得φ=π3+2kπ，k∈Z.
又0<φ<2π，
则φ=π3，
故f(x)=3sin2x+π3.
2由1得，f(x)=3sin2x+π3，
所以g(x)=f(x+t)=3sin2x+2t+π3.
由于gx为偶函数，
所以2t+π3=π2+kπ，k∈Z，
解得t=π12+kπ2，k∈Z.
由于t∈(0,π)，
所以t=π12或7π12.
3由题意得，
hx=3sin2x+π3⋅3sin2x−π6+π3
=312sin2x+32cs2x⋅sin2x
=32sin22x+332sin2xcs2x
=32×1−cs4x2+334sin4x
=32sin4x−π6+34，
由于x∈0,π4，4x−π6∈−π6,5π6，
则sin4x−π6∈−12,1，
则h(x)=32sin4x−π6+34∈0,94，
即函数hx的取值范围为0,94.

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