浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理课后练习题

这是一份浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理课后练习题，共20页。
A．40°B．50°C．80°D．100°
2．（2020秋•北海期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AB＝2BDC．∠1＝∠2D．AD⊥BC
3．（2021春•成都月考）等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角是（ ）
A．40°B．100°C．70°D．100°或40°
4．（2020秋•慈溪市期中）已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A的度数不能取的是（ ）
A．20°B．50°C．60°D．80°
5．（2020秋•滦州市期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
6．（2020春•碑林区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（ ）
A．40°B．70°C．40°或140°D．70°或20°
7．（2020秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝20°，则∠CDE＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
8．（2020春•历下区期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
9．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°
二．填空题
10．（2020秋•绥中县期末）若等腰三角形的一个外角是110°，则其底角为 ．
11．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，∠ADB＝58°，则∠CAD＝ °．
12．（2020秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，CB＝CA，点D在AB上，若BD＝BC，AD＝CD，则∠ACB＝ ．
13．（2020秋•新都区月考）如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，D是BC边上一点，且DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于F，则∠EDF等于 ．
14．（2020秋•萧山区期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 ．
15．（2019秋•萧山区期中）如图钢架中，∠A＝x度，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架，若P1A＝P1P2，这样的钢条至多需要6根，那么x的取值范围是 ．
16．（2019•沂水县二模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝40°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是 ．
三．解答题
17．（2021•温州）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
18．（2021春•普陀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°，求∠ADE的大小．
19．（2020春•碑林区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）∠1＝∠2＝ °．
（2）∠1与∠3相等吗？为什么？
（3）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
20．（2019秋•平邑县期中）如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）请观察AR与AQ，它们相等吗？并证明你的猜想．
（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．
21．（2020秋•惠山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明．
（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：
（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？
22.（2020春•郓城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋•定西期末）已知一个等腰三角形的底角为50°，则这个三角形的顶角为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【解答】解：180°﹣50°×2
＝180°﹣100°
＝80°．
故这个三角形的顶角的度数是80°．
故选：C．
2．（2020秋•北海期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AB＝2BDC．∠1＝∠2D．AD⊥BC
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，
∴∠B＝∠C（故A正确）
∠1＝∠2（故C正确）
AD⊥BC（故D正确）
无法得到AB＝2BD，（故B不正确）．
故选：B．
3．（2021春•成都月考）等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角是（ ）
A．40°B．100°C．70°D．100°或40°
【解答】解：分两种情况讨论：
①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；
②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2＝100°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
故选：D．
4．（2020秋•慈溪市期中）已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A的度数不能取的是（ ）
A．20°B．50°C．60°D．80°
【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°，另外两个角的度数都为50°；
当100°的角是底角的外角时，两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°，顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故∠A的度数不能取的是60°．
故选：C．
5．（2020秋•滦州市期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
∴∠CHD＝∠CAD+∠ACE＝55°．
故选：D．
6．（2020春•碑林区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（ ）
A．40°B．70°C．40°或140°D．70°或20°
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，
故选：D．
7．（2020秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝20°，则∠CDE＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+20°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠EDC，
∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠C+∠EDC＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+20°﹣∠EDC，
解得∠EDC＝10°．
故选：A．
8．（2020春•历下区期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【解答】解：∵OC＝CD，
∴∠CDO＝∠O＝10°
∴∠DCE＝∠O+∠CDO＝20°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠CED＝20°，
∴∠EDF＝∠O+∠CED＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
同理∠GEF＝∠EGF＝40°，∠GFH＝∠GHF＝50°，∠BGH＝60°，
故选：B．
9．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°
【解答】解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
二．填空题
10．（2020秋•绥中县期末）若等腰三角形的一个外角是110°，则其底角为 70°或55° ．
【解答】解：
当110°外角为底角的外角时，则其底角为：180°﹣110°＝70°；
当110°外角为顶角的外角时，则其顶角为：70°，则其底角为：＝55°，
故答案为：70°或55°．
11．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，∠ADB＝58°，则∠CAD＝ 26 °．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∵∠ADB＝58°，
∴∠B＝∠C＝90°﹣58°＝32°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣32°﹣32°＝26°，
故答案为：26．
12．（2020秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，CB＝CA，点D在AB上，若BD＝BC，AD＝CD，则∠ACB＝ 108° ．
【解答】解：设∠A＝x°，
∵CA＝CB，DA＝DC，
∴∠B＝∠A＝∠ACD＝x°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠CDB＝2x°，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，
∴x+x+2x+x＝180，
∴x＝36°，
∴∠ACB＝3x°＝108°，
故答案为：108°．
13．（2020秋•新都区月考）如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，D是BC边上一点，且DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于F，则∠EDF等于 50° ．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝80°，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BED＝∠BDF＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝40°，
∴∠EDF＝90°﹣∠BDE＝50°，
故答案为：50°．
14．（2020秋•萧山区期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 75°或120°或15° ．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ADC＝＝75°．
②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
③当AC＝AD″时，∠AD″C＝＝15°，
故答案为：75°或120°或15°．
15．（2019秋•萧山区期中）如图钢架中，∠A＝x度，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架，若P1A＝P1P2，这样的钢条至多需要6根，那么x的取值范围是 ≤x＜15 ．
【解答】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，P4P5＝P5P6，P5P6＝P6P7，
∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∠P5P4P6＝∠P5P6P4，∠P6P5P5＝∠P6P7P5，
∴∠P5P7P6＝6∠A，
∵要使得这样的钢条只能焊上6根，
∴∠P7P6C＝7∠A，
由题意得，
∴≤x＜15．
故答案为：≤x＜15．
16．（2019•沂水县二模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝40°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是 80°或110° ．
【解答】解：分三种情况：
①当CD＝DE时，
∵∠CDE＝40°，
∴∠DCE＝∠DEC＝70°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝110°，
②当DE＝CE时，
∵∠CDE＝40°，
∴∠DCE＝∠CDE＝40°，
∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝80°．
③当EC＝CD时，
∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵∠ACB＝100°，
∴此时，点D与点A重合，不合题意．
综上所述，若△ADC是等腰三角形，则∠ADC的度数为80°或110°．
故答案为：80°或110°．
三．解答题
17．（2021•温州）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【解答】解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE,
∵∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
18．（2021春•普陀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°，求∠ADE的大小．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝50°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝65°，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝25°．
19．（2020春•碑林区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）∠1＝∠2＝ 22.5 °．
（2）∠1与∠3相等吗？为什么？
（3）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝ABD＝22.5°，
故答案为：22.5；
（2）∠1＝∠3，
理由是：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3；
（3）AB＝BD+DH，
理由是：∵在△BDH和△ADC中
，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DH，
∵AB＝BC，
∴AB＝BD+DH．
20．（2019秋•平邑县期中）如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）请观察AR与AQ，它们相等吗？并证明你的猜想．
（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．
【解答】（1）解：AR＝AQ．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PR⊥BC，
∴∠B+∠BQP＝90°，
∠C+∠PRC＝90°，
∴∠BQP＝∠PRC，
∵∠BQP＝∠AQR（对顶角相等），
∴∠AQR＝∠PRC，
∴AR＝AQ；
（2）AR＝AQ依然成立．
理由如下：如图，∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC＝∠PBQ（对顶角相等），
∴∠C＝∠PBQ，
∵PR⊥BC，
∴∠R+∠C＝90°，
∠Q+∠PBQ＝90°，
∴∠Q＝∠R，
∴AR＝AQ．
21．（2020秋•惠山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明．
（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：
（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？
【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下：
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）DE+DF＝CG．
证明：连接AD，
则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB•CG＝AB•DE+AC•DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
（3）当点D在BC延长线上时，（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．
理由：连接AD，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，
即AB•DE＝AB•CG+AC•DF
∵AB＝AC，
∴DE＝CG+DF，
即DE﹣DF＝CG．
同理当D点在CB的延长线上时，（2）中结论不成立，则有DF﹣DE＝CG，说明方法同上．
22.（2020春•郓城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．