重庆市第七中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 含答案

重庆七中高2023级高二（上）第一次月考试题

数学

一、单选题（共8小题，每小题5分，合计40分）

1．经过两点A(1, )和B(－1, )的直线l的倾斜角是（     ）

A．30°             B．60°           C．120°            D．150°

2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为B，关于轴的对称点为C，则B、C间的距离为（     ）

A．4 B． C．6 D．

3．圆x2＋y2－4y－1＝0的圆心和半径分别为（     ）

A．（0， 2），  B．（0，－2），       C．（2，0），5  D．（2，2），5

4．已知向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（     ）

A． B．1 C．1或 D．1或0

5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　）

A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0

6．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（     ）

A． B．

C． D．

7．过圆外一点P(m,n)，作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m,n满足的关系式为（      ）

A．                   B．

C．                   D．

8．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（     ）

A． B． C． D．

二、多选题（共4小题，每小题5分，合计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错的选得0分）

9．已知直线，则下列结论正确的是（　  　）

A．直线l的倾斜角是

B．直线l在y轴上的截距为1

C．过与直线l平行的直线方程是

D．若直线则

10．给出下列命题，其中为假命题的是（      ）

A．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则

B．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为

C．若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则

D．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得

11．圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0，直线l：3x－4y－7＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（　  　）

A．直线l与圆C相交

B．|PQ|的最小值是1

C．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3

D．直线y＝k(x－2)＋4与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是

12．如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．则下列结论中正确的有（      ）

A．当时，ME与CN相交

B．MN始终与平面BCE平行

C．异面直线AC与BF所成的角为

D．当时，MN的长最小，最小为

三、填空题（共4小题，每小题5分，合计20分）

13．圆关于点(1,2)的对称圆的方程是                     ．

14．一个向量在基底下的坐标为，2，，则在基底下的坐标为               ．

15．已知直线l：x﹣2y﹣4＝0与圆：x2+y2＝4交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝　      　．

16．在边长为2的菱形ABCD中，，沿对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成角，则此时B、D两点之间的距离为              ．

四、解答题（共6小题，合计70分，其中第17题10分，其余各题每题12分．解答时需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（1）已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，若l1∥l2，求a的值；

（2）已知直线l的方程为，直线l 与l垂直，且l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．

18．已知平行六面体，，，，，设，，；

（1）试用、、表示；

（2）求的长度．

19．求满足下列条件的圆的标准方程：

（1）圆心为C(0,－2)，且被直线2x－y＋3＝0截得的弦长为；

（2）过点A(－1,3)，B(3,－1)，且圆心在直线x－2y－1＝0上．

20．如图，在直四棱柱中，，，，为的中点，点在线段上．

（1）当时，求异面直线和所成角的余弦值；

（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？

21．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x－4y＋4＝0与圆C相切．

（1）求圆C的方程；

（2）若过点(0,－3)的直线l与圆C交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1x2＋y1y2＝3，求△AOB的面积．

22．如图，四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，，．是等边三角形，平面平面ABCD，点M在棱PC上．

（1）当M为棱PC中点时，求证：；

（2）是否存在点M使得平面DMB与平面CMB的夹角的余弦值为，若存在，求CM的长；若不存在，请说明理由．

重庆七中高2023级高二（上）第一次月考试题

数学答案及解析

一、单选题：

BCAC    BCDA

5解：线段AB的中点为（2，1），，

∴线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，

∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，

因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0，故选：B．

7提示：点P与圆心、两切点构成了正方形，点P到圆心的距离等于r

8解：，，

∴ ，，

即:，；

平面，直线，

所以当、最短时，平面，，

为的中心，为线段的中点，如图：

又正四面体的棱长为1，，

平面，，

．

故选：A．

二、多选题：

BC     AD     BCD     BD

12解：如图建立空间坐标系，则,

因为，所以，

若ME与CN相交，则四点共面．又M、C、E在平面ACE

所以当且仅当N在平面ACE时，ME与CN相交，此时，故A错误；平面BCE的法向量为，此时，∴MN始终与平面BCE平行，故B正确；

设异面直线AC与BF所成的角为，所以，所以异面直线AC与BF所成的角为60°．故C错误

D正确

三、填空题：

13、(x＋1)2＋(y－8)2＝1       14、       15、4或        16、2

16解：由题意，圆心到直线的距离d＝，∴|AB|＝2，

∵直线l：l：x﹣2y﹣4＝0，设其倾斜角为θ，则tanθ＝，∴cosθ＝，

则|CD|＝．故答案为：2．

四、解答题：

17 解：（1）∵l1∥l2，∴a(a＋1)＝6，解得：a＝－3或2

经检验：a＝－3符合题意

（2）由题意，设l 的方程为：4x－3y＋C＝0，

令x＝0得：；令y＝0得：；

∵l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，∴，解得：

∴直线l 的方程为：

18解：（1）

（2），，，

所以

．

的长度为．

19解：（1）圆心到直线的距离为：

设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得：

故所求圆的标准方程为：x2＋(y＋2)2＝25

（2）过AB的直线方程为y＝－x＋2，A、B的中点为(1,1)，∴AB的垂直平分线为y＝x，

由解得，即圆心坐标为(－1,－1)，半径为，

∴所求圆的标准方程为：(x＋1)2＋(y＋1)2＝16

20解：因为是直四棱柱，所以平面，且，平面，所以，.因为，所以，，两两互相垂直.

如图，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.

则由，，可得，，，.

因为M为的中点，所以.

设，所以.

（1）当时，.

此时，所以，，

于是.

所以异面直线MN和所成角的余弦值为.

（2）由题意，则，，.

设平面的法向量为，

则，即，令，解得，，

所以是平面的一个法向量.

因为直线MN与平面所成角的正弦值为，

所以，解得或（舍去），

所以.

21解：(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)，则圆C的方程为(x-a)2+y2=4.

因为圆C与直线3x-4y+4=0相切，所以=2，解得a=2或a=- (舍),

所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.

(2)依题意设直线l的方程为y=kx-3，由得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0,

因为l与圆C相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，所以

Δ=[-(4+6k)]2-4(1+k2)×9>0，且x1+x2=，x1x2=，

所以y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=-+9，

又因为x1x2+y1y2=3，所以+-+9=3，

整理得k2+4k-5=0，解得k=1或k=-5(不满足Δ>0，舍去).

所以直线l的方程为y=x-3.

所以圆心C到l的距离d==，则|AB|=2·=，

又△AOB的底边AB上的高h==.

所以S△AOB=|AB|·h=××=.

22解：（1）证明：连结，由题意，底面是等腰梯形且，

则，由余弦定理知，

，

平面平面，平面平面，平面，

平面，，

为棱中点，且是等边三角形，，

又，平面，

.

（2）