河南省原阳县第三高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题 含答案

这是一份河南省原阳县第三高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题 含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题(每题5分，共40分)
1．集合可化简为（ ）
A．B．C．D．
2．如果且，那么的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，若，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式①ab≤1； ②； ③a2+b2≥2； ④a3+b3≥3； ⑤2，对一切满足条件的a，b恒成立的所有正确命题是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．①②④D．③④⑤
6．已知是任意实数，，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的( )．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题(每题5分，多选、错选、不选0分，选不全3分，共20分)
9．下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列选项中，关于的不等式有实数解的充分条件有（ ）．
A．B．
C．或D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”；
B．命题“，”的否定是“，”；
C．，使得；
D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立；
第II卷（非选择题）
三、填空题(每题5分，共20分)
13．已知，则的最小值为___________.
14．已知集合，，若，则实数m的取值范围______________
15．不等式对任意恒成立的充要条件是__________．
16．对于实数x，y，若，，则的最大值为___________.
四、解答题(共70分)
17．(本题10分)（1）解不等式.
（2）若不等式的解集为，求实数，的值；
18．(本题12分)设集合，集合；
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
19．(本题12分)若a＞b＞0，m＞0，判断与的大小关系，并加以证明.
20．(本题12分)已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x＋1﹣m2≤0(m＞0)．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．
21．(本题12分)如图设计一幅矩形宣传画，要求画面（阴影部分）面积为，画面上下边要留空白，左右要留空白.
（1）设画面的高为，写出宣传画所用纸张面积关于高的函数关系式，并写出定义域.
（2）怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
22．(本题12分)已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】通过解方程，根据的含义进行求解即可.
【详解】解方程,得，因为，
所以，故选：B
2．C
【分析】先解不等式求出的范围，再根据条件可得大小关系．
【详解】由解得，
由可得，
．故选：C．
【点睛】本题考查代数式的大小比较，是基础题．
3．D
【分析】先求出集合A，再由可得答案
【详解】由，得，所以，
因为，观察可知选D.故选：D
4．C
【分析】将代数式因式分解，找出使得成立的等价条件，进而可得出结论.
【详解】，
对任意的，，
所以，.
因此，“”是“”的充要条件.故选：C.
5．B
【分析】对于①，根据2＝a+b≥2，可得ab≤1；对于②，取可知②错误；对于③，将两边平方后，变形可得，根据①的结论可知③正确；对于④，取可知④错误；对于⑤，利用基本不等式和①的结论可知⑤正确.
【详解】①∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴2＝a+b≥2，解得ab≤1，∴①正确；
②当时，，∴②错误；
③∵,所以，即，而ab≤1，∴a2+b2≥2成立，∴③正确；
④当a＝b＝1时，满足a＞0，b＞0，a+b＝2，但a3+b3＝2，∴④错误．
⑤∵a＞0，b＞0，a+b＝2，且ab≤1，∴2，故⑤正确．
故正确的是①③⑤．故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式，考查了特值排除法，属于基础题.
6．D
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】若，，则成立；
若，则成立；
若，则成立；
若，则不成立.故选：D
【点睛】本题主要考查了由条件判断所给不等式是否正确，属于基础题.
7．D
【分析】根据分式不等式的解法，求得，，再结合集合的并集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
根据集合的并集的概念及运算，可得.故选：D.
【点睛】本题主要考查了集合的并集的概念及运算，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解集合，结合集合的并集的运算求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
8．A
【解析】若“”，设 其中
即“”成立能推出“”成立
反之，例如 满足但，即成立，推不出
故“”是“|x-y|＜1”成立的充分不必要条件。故选A
9．CD
【分析】注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B.
【详解】对于A选项，集合的元素是，集合的元素是，故没有包含关系，A选项错误；
对于B选项，集合的元素是点，集合的元素是，故两个集合不相等，B选项错误；
对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；
对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.故选：CD.
10．AC
【分析】根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.
【详解】对于A选项, 由于,故,所以, 即,故A选项正确;
对于B选项, 由于,故, ,故,故B选项错误;
对于C选项, 因为,故,所以,所以,故C选项正确;
对于D选项,令,则,所以不成立,故D选项错误;故选:AC
【点睛】本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.
11．AD
【分析】根据题意进行分类讨论，然后求出或，结合充分条件的概念以及选项即可求出结果.
【详解】关于的不等式有实数解，
若，则，即，符合题意；
若，则，符合题意；
若，则，则需满足，即或，故或；
综上：或；
结合充分条件的概念以及选项可知选AD，故选：AD
12．BD
【分析】A. 命题的否定是“，”，所以该选项错误；
B. 由特称命题的否定判定该选项正确；
C. 当时，不存在实数，使得，所以该选项错误；
D.利用子集和补集的定义可以判定该选项正确.
【详解】A. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项错误；
B. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项正确；
C. 当时，不存在实数，使得，所以该选项错误；
D. 若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立,所以该选项正确.
故选：BD
13．1
【分析】直接利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为。故答案为：.
14．
【分析】由得到，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解．
【详解】，，
由，，
当时，满足，
此时，；
当时，，
则，解得．
综上，．故答案为：．
15．
【分析】先根据一元二次不等式恒成立得，再根据充要条件概念即可得答案.
【详解】解：当时，显然满足条件，
当时，由一元二次不等式恒成立得：，解得：
综上，，
所以不等式对任意恒成立的充要条件是，
故答案为：
【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，是基础题.
16．5
【解析】此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，，再解出y的范围，，最后综合解出x-2y+1的范围，那么绝对值最大就是5
17．（1）不等式的解集为;（2）,.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求出；
（2）根据函数与方程的思想即可求出.
【详解】（1）即为,而的两根为,所以不等式的解集为或.
（2）由题意可知的两根为,所以,
,解得,.
18．（1）；（2）．
【分析】（1）求出集合B，由交集的定义求；（2）因为，分情况讨论A为空集和A非空时的范围，求解即可.
【详解】（1）当时，，∴
（2）∵
当时，，即，
当时，
综上所述：
19．【解析】
=
∵a>b>0，m>0，
∴b-a>0，a+m>0，
∴ ，
∴
考点：本题考查比较大小-作差法
点评：解决本题的关键是掌握比较大小的方法，作差比较，注意作差后整理，再进行讨论
20．（1）；（2).
【分析】（1）求出命题，成立时的的范围，利用充分条件，根据包含关系列出不等式求解即可．
（2）讨论p真q假或p假q真，分别利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可．
【详解】(1)对于，
对于，是的充分条件，
可得，，．
(2)若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，
此时命题q对应得集合为B=，
则p真q假或p假q真，
所以①当p真q假时，x∈，且x∈，则此时无解；
②当p假q真时，x∈，且x∈，
．
综上所述，x的取值范围为．
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的应用，集合的关系，考查转化思想以及计算能力．
21．（1），；（2）当画面高为，宽为时，所用纸张面积最小.
【分析】（1）设画面高为，宽为，，从而可求出所需纸张面积的表达式；
（2）结合（1），利用基本不等式求解即可．
【详解】（1）设画面高为，宽为，
依意有，，
则所需纸张面积，
即，
（2），．
当且仅当，即，时等号成立．
即当画面高为，宽为时，所需纸张面积最小为
【点睛】本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查转化思想与建模能力，考查计算能力，属于中档题．
22．（1）；（2）.
【分析】（1）分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，即可求出范围；（2）分析讨论二次不等式对应方程的两个根的大小，写出解集A, 是 的充分不必要条件得出,求出的范围.
【详解】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，
得在时恒成立，
∴，得，即.
（2）不等式，
①当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，此时；
②当，即时，解集，满足题设条件；
③当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
，此时.综上①②③可得
【点睛】本题主要考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化，集合的交集运算等，属于中档题.解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.
高一数学第一次月考试卷分析
整体难度：一般
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、不等式选讲
细 / 目 / 表 / 分 / 析
知 / 识 / 点 / 分 / 析
题号
难度系数
能力维度分析
详细知识点
一、单选题
1
0.94
识记
列举法表示集合；
2
0.94
理解
由不等式的性质比较数（式）大小；解不含参数的一元二次不等式；
3
0.94
掌握
判断两个集合的包含关系；解不含参数的一元二次不等式；
4
0.85
识记
探求命题为真的充要条件；
5
0.85
掌握
判断命题的真假；由已知条件判断所给不等式是否正确；由基本不等式证明不等关系；
6
0.85
简单应用
由已知条件判断所给不等式是否正确；
7
0.65
掌握
并集的概念及运算；分式不等式；
8
0.4
理解
判断命题的充分不必要条件；
二、多选题
9
0.94
识记
判断两个集合的包含关系；判断两个集合是否相等；空集的性质及应用；
10
0.85
理解
由不等式的性质比较数（式）大小；作差法比较代数式的大小；
11
0.65
掌握
判断命题的充分不必要条件；由一元二次不等式的解确定参数；
12
0.65
理解
全称命题的否定及其真假判断；特称命题的否定及其真假判断；
三、填空题
13
0.94
识记
基本不等式求和的最小值；
14
0.85
理解
根据集合的包含关系求参数；根据并集结果求集合或参数；
15
0.65
掌握
探求命题为真的充要条件；一元二次不等式在实数集上恒成立问题；
16
0.4
理解
利用不等式求值或取值范围；
四、解答题
17
0.94
识记
解不含参数的一元二次不等式；由一元二次不等式的解确定参数；
18
0.94
理解
根据集合的包含关系求参数；交集的概念及运算；
19
0.85
理解
作差法比较代数式的大小；
20
0.65
掌握
根据充分不必要条件求参数；根据或且非的真假求参数；解不含参数的一元二次不等式；解含有参数的一元二次不等式；
21
0.65
掌握
基本不等式求和的最小值；基本不等式实际应用；
22
0.4
理解
根据充分不必要条件求参数；
知识模块
题量
题号
难度系数
详细知识点
集合与常用逻辑用语
14
1
0.94
列举法表示集合；
3
0.94
判断两个集合的包含关系；解不含参数的一元二次不等式；
4
0.85
探求命题为真的充要条件；
5
0.85
判断命题的真假；由已知条件判断所给不等式是否正确；由基本不等式证明不等关系；
7
0.65
并集的概念及运算；分式不等式；
8
0.4
判断命题的充分不必要条件；
9
0.94
判断两个集合的包含关系；判断两个集合是否相等；空集的性质及应用；
11
0.65
判断命题的充分不必要条件；由一元二次不等式的解确定参数；
12
0.65
全称命题的否定及其真假判断；特称命题的否定及其真假判断；
14
0.85
根据集合的包含关系求参数；根据并集结果求集合或参数；
15
0.65
探求命题为真的充要条件；一元二次不等式在实数集上恒成立问题；
18
0.94
根据集合的包含关系求参数；交集的概念及运算；
20
0.65
根据充分不必要条件求参数；根据或且非的真假求参数；解不含参数的一元二次不等式；解含有参数的一元二次不等式；
22
0.4
根据充分不必要条件求参数；
等式与不等式
不等式选讲
15
2
0.94
由不等式的性质比较数（式）大小；解不含参数的一元二次不等式；
3
0.94
判断两个集合的包含关系；解不含参数的一元二次不等式；
5
0.85
判断命题的真假；由已知条件判断所给不等式是否正确；由基本不等式证明不等关系；
6
0.85
由已知条件判断所给不等式是否正确；
7
0.65
并集的概念及运算；分式不等式；
10
0.85
由不等式的性质比较数（式）大小；作差法比较代数式的大小；
11
0.65
判断命题的充分不必要条件；由一元二次不等式的解确定参数；
13
0.94
基本不等式求和的最小值；
15
0.65
探求命题为真的充要条件；一元二次不等式在实数集上恒成立问题；
16
0.4
利用不等式求值或取值范围；
17
0.94
解不含参数的一元二次不等式；由一元二次不等式的解确定参数；
19
0.85
作差法比较代数式的大小；
20
0.65
根据充分不必要条件求参数；根据或且非的真假求参数；解不含参数的一元二次不等式；解含有参数的一元二次不等式；
21
0.65
基本不等式求和的最小值；基本不等式实际应用；
21
0.65
基本不等式求和的最小值；基本不等式实际应用；