黑龙江省哈尔滨市第六中学2022届高三上学期第一次月考数学（文）试题 含答案

哈尔滨市第六中学2019级高三上学期10月份月考

文科数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设向量，则下列结论中正确的是（    ）

A．          B．           C．            D．

4．在正方体中，则直线与直线所成角大小为（    ）

A．30° B．45°  C．60° D．90°

5．已知数列中，且，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的最小正周期为，则（    ）

A．1 B． C．0 D．

8．往正方形内随机放入个点，恰有个点落入正方形的内切圆内，则的近似值为（    ）

A．        B．       C．      D．

9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（    ）

A． B． 

C． D．

10．设数列满足：，，记数列的前项之积为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

11．某船从处向北偏东方向航行千米后到达处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达处，则处与处之间的距离为（    ）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米

12．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量，，，则______；

14．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是________；

15．已知，且是第四象限的角，则的值为______________；

16．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为   ．

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（共10分）已知正项的等比数列的前n项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和

18．（共12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，且，是棱上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求的值；

19．（共12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：

（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率.

参考公式：，其中.       

参考数据：

20．在中，角的对边分别为，，，且满足．

（1）求角；

（2）若，的中线，求的面积．

21．如图，在棱长为6的正方体中，点是的中点，点在棱上，且，设直线，相交于点.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

22．已知函数，．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：．

哈尔滨市第六中学2020—2021学年度上学期10月月考试

高三（文科）数学答案

一、选择题

二、13.    14.   15.   16.

17. 解：（1）由题意知，，
，得，
设等比数列的公比为q，又，
，化简得，解得，——————3分
.——————5分
（2）由（1）知，.——————6分
，
.————10分

18. (1)证明：因为，所以，

又，所以.

因为平面，平面，所以.

又，在平面内，且相交于点，所以平面.

又平面，所以平面平面.————————————6分

(2)

如图，连接，相交于点，过点作，交于点.

因为，平面，平面，所以平面.

故上述所作点为使得平面的点.

如图

在梯形中，有，

令，

因为，，三点共线，所以，.

即，所以，.

因为，所以，.————————12分

19. （1）由题中数据可得.

所以有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.——————6分（小数点后保留没有真实值扣1分，不足三位扣2分，没有与10.828比较扣2分，没有结论扣1分）

（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，其中男性车主有人，记为，，，；

女性车主有人，记为，.

从这6位车主中随机抽取2位车主包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种；——————9分（设事件1分）

至少有1位女性车主包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9种.————————11分

故所求概率.————————12分

20. （1）由正弦定理及已知条件，得，

两边同乘，得．

由余弦定理得．

∵，∴——————————6分

（2）延长至点，使，连接，，

则所得四边形是平行四边形，∴．

又∵，，可得为等边三角形，

∴，∴．

∴．——————12分

21. （1）证明：如图，连接，因为，所以，

所以，从而.

又由条件知，所以，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.————————————6分

（2）解：设到平面的距离为，由，得.

又，所以三棱锥的体积.

设到平面的距离为，在中，，

，，

所以，，.

由，得，解得，

即点到平面的距离为.————————12分

22. （1）当时，，，

则，又，

曲线在点处的切线方程为，即．—————4分

（2），

令，

在区间上有唯一的极值点，

又，所以只需，解得，

由，得，即，

，．

令，，

，即在上单调递增，且，

，

．—————————12分