黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022届高三上学期第一次月考数学（理）试题 含答案

哈师大附中2021-2022年度高三学年上学期第一次月考

数学试卷（理科）

考试时间：120分钟      满分：150分

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1.已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2.已知向量则（    ）

A． B．             C． D．5

3.若，则（    ）

A.               B.              C. 1                 D.

4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（    ）

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

5.若数列的通项公式为，则数列的前项和为（    ）

A.     B.       C.         D.

6.已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，，则=（    ）

A． B． C． D．

7.已知, 则的面积为（    ）

A．             B．              C．               D．

8.如图是函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)的部分图象，则f()＝（    ）

A．－ B．－1 C．1 D．

9.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最小值是（    ）

A.            B.             C.              D.  

10.函数的部分图象大致为（    ）

A．B．C．D．

11.已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

12.已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为（    ）

A． B．  C．  D．

二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知奇函数满足，且当时，，则的值为      .

14.已知，，则的值为      .

15.递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则     .

16.已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________．

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知向量，，，设

（Ⅰ）若，求函数的最大值和最小值；

（Ⅱ）若，且，求的值.

18.（本题满分12分）

数列的前项和为，，，等差数列的公差大于0.已知，且成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

19.（本题满分12分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若的面积为，求外接圆面积的最小值．

20.（本题满分12分）

已知数列，，满足，.

（Ⅰ）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，证明：.

21.（本题满分12分）

已知，分别是椭圆的左，右焦点，，当在上且垂直轴时，.

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）A为的左顶点，为的上顶点，是上第四象限内一点，与轴交于点，与轴交于点.

求证：四边形的面积是定值.

22.（本题满分12分）

已知，.

（Ⅰ）求在处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式对任意成立，求的最大整数解；

（Ⅲ）的两个零点为，且为的唯一极值点，求证：.

哈师大附中2021-2022年度高三学年上学期第一次月考

数学答案（理科）

一．选择题

1～6  CBADCA   7～12  BADACA

二．填空题

13.1     14.    15.364    16.

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17．解：（Ⅰ）因为向量，

则函数

，

若，则，

所以当，即时，；

当，即时，.

（Ⅱ）由，得，

因为，则，又，

所以，

则，

所以.

18．解：（Ⅰ）因为，所以，

所以，

即，

当时，，所以，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以.

（Ⅱ）设公差为，由，得，

因为成等比数列，

所以，即，

解得或（舍去），

所以，

所以.

所以，

因为，

所以，

.

19．解：（Ⅰ）因为，

所以，

所以，即．

因为，所以，所以．

因为，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则．

因为的面积为，所以，所以．

由余弦定理可得，则．

设外接圆的半径为r，则，即，

故外接圆的面积，当且仅当时，等号成立．

即当时，外接圆面积的最小值为．

20．解：（Ⅰ），，

又，两边同除以，可得，即，

所以是公差为2的等差数列.

又，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，

则，①

，②

由①②，得

，

.

又，，，

即.

21．解：（Ⅰ）由题意知，，，则，

得，又，，解得，

所以的标准方程是.

（Ⅱ）由题意知，，设，，，

因为，，三点共线，则，解得，

，，三点共线，则，解得，

，，，

.

.

22．解：（Ⅰ）所以定义域为，

，，，

所以切线方程为；

（Ⅱ）等价于，

，记，，

所以为上的递增函数，且，，

所以，使得，即，

所以在上递减，在上递增，且，

所以的最大整数解为；

（Ⅲ）证明：，

得，

当，；，；

所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，

即；

因为，，令，由，

，即，

，

而要证，

只需证，即证，即证，

由，只需证，

令，则，

令，则，

故在上递增，，

故在上递增，，

．